Abstract短い区間での約数の分布と約数の和の関係を明らかにするために、Voseの手法と私たちのN=n!に対する手法でもあった整数Nの平方根の近くの短い区間での約数の分布についての研究を数論的関数のフーリエ変換を用いて行ないN_<kappa>=PI^<kappa>_<i=1>p_<iota>,p_<iota>素数,N_<kappa>=kappa!,N_<kappa>=lcm{1,2,3,...,kappa}などの整数N_<kappa>において、〓と〓の間で整数iotaとN_<kappa>の約数の中でiotaより大きくて最小のものをd^+(iota)としたとき、d^+(iota)とiotaの差はiotaepsilon_<kappa>ただしepsilon_<kappa>=exp{-(logkappa)^<beta>},0<beta<1/2より必ず小さくなることを得た。1からN_<kappa>までの整数をN_<kappa>の約数を用いて表わすとき必要な異なる約数の最小な個数をl(N_<kappa>)とするとき、上で記したbetaが0とlog_2N_<kappa>/(log_3N_<kappa>-log2)の間にあるとき、l(N_<kappa>)の上からの評価はexp{log_2N_<kappa>-beta(log_3N_<kappa>-log2)}で与えられることが分かった。下からの評価として(logN)/(logtau(N))(1+〓)を得た。これらの研究はそれぞれの剰余数がPを法として1/iotaと合同であるとき、それらの和をとることによりPを法とするすべての剰余数を表わすのに必要な最小な剰余数の個数と密接な関係があることが分かってきた。Pを法とするすべての剰余数を表わすのに必要な最小な剰余数の個数がlogP(log_<2P>)^<1+mu>,mu>0で与えられるならば、約数の和の上からの評価の改良につなげることができることが分かってきた。これがこれからの研究のテーマになる。