Ballセパタクローのボールは、6本のバンドを編むようにして作られています。これをPPバンド(荷造り用のバンド)で作ってみました。セパタクローのような編みボール(6本)これは非常にバランスの良い形をしています。一つ一つのバンドは、ただの輪っかなのですが、これが上下上下・・・と互い違いに組み合わさることで、強度が増しています。この、セパタクローのボールの形状について、数学的な特徴を考えると、以下の点があげられます。各バンドの中心の線は、球面上の大円であるどの3つの大円も、1点で交わらない大円とは、球面と球の中心を通る平面の交線で表される、球面で最も大きな円です。2は、球面上の3つの大円が以下のように1点で重ならないことを表しています。3本が1点で交わるこのようにならずに、必ず上下上下・・・と交互に編まれた形となっている、ということです。このような条件を満たす編み方は、他にはないのでしょうか?気になります。気になったので、作ってみました。本数を増やすことはできるか?本数を10本に増やすと、以下の形が作れます。セパタクローのような編みボール(10本)6本に比べて、少し複雑度が上がりましたね。そもそも、球面上に6個の大円をバランスよく配置したものが、6本のバンドで作るセパタクローのボールだったわけですが、この6つの大円とはどのような配置だったのでしょうか。大円を6個選ぶというと分かりづらいですが、これは、球の中心を通る平面を6個選ぶことと同値であり、それはつまり、その平面に垂直な直線を6本選ぶことと同値です。球の中心を通る6本の直線を引くことと同じです。セパタクローのボールの場合、正二十面体の各頂点とその対極にある点を結ぶ対角線6本が、その直線になります。正二十面体は、頂点の数が12個なので、正反対にある位置同士の組がちょうど6つになります。これは、正十二面体の各面の中心と、その反対側の面の中心を結ぶ直線としても同じことです。正十二面体あるいは正二十面体が、セパタクローのボールのベースにあることを考えれば、5角形が12個できる形であることも納得がいきます。正十二面体の頂点20個を使って10本の直線を引いても同じようなことができるのではないか?と思い至ります。実際、その通りに考えて作ると、上記のような10本で編んだ形が出来上がるのです。「各辺の中心を通る直線15本を基準に作ったらどうか?」ということです。これはうまくいきません。3つの大円が1点で交わる場所が出てきてしまうからです。10本より増やす方法は他にもあります。方針を変えて、正八面体(もしくは立方体)をベースに、12本をうまく配置して作ったのがこちらです。セパタクローのような編みボール(12本)8角形の穴が6個、立方体の各面に対応する位置にできています。12本でバランスよく編む編み方は、他にも何通りか考えられます。12本が限界?12本が限界かというと、もちろんそんなことはありません。複雑かつ大きくなりすぎて、実際に作ることはできませんでしたが、30本を以下のように編むことができます。セパタクローのような編みボール(30本)立体視(交差法)で見えるように、微妙に視点を変えた絵を並べています。寄り目をするような感じで重ねて見ると、立体的に見えますちょっと複雑すぎてどこに対称性があるのかわかりづらいので、同じ形の穴を同じ色で塗り分けてみました。いう超巨大なボールになってしまうことがわかり、作成を断念しています。家の中に置いておけないサイズですよね・・・。「同じ本数で他の編み方はないのか?」ということを考えてみます。セパタクローのボールは6本のバンドで編んで作ったのですが、実は、同じ6本でも、以下のように他の3通りの編み方があります。同じ6本で編んで作ったものでも、穴の形が違っていて、何角形がいくつあるかで区別できます。・一番左(セパタクローのボール)5角形×123角形×20・左から2番目6角形×24角形×183角形×12・左から3番目5角形×64角形×143角形×12・左から4番目5角形×44角形×163角形×12となっています。ちなみに、5本だと1通りしかありません。7本以上だとどうか?本数が増えればパターンの数も増えます。した数は分かりませんが、少なくともこれくらいはありそうです。・ランダムにn個の大円を選ぶ・何角形が何個ずつになったか確認するというのを100万回ずつ調べただけで、正確な数である保証がないからです。「何角形が何個ずつ」という数自体が同じでも、配置の仕方によっては別物になる可能性もあります。30本バージョン、どなたか是非作ってみてください!以上、セパタクローのボールから始まる数学的考察と工作でした。10本で編むボールの解説をしているページはあるのですが、それ以上の本数で作ったという情報は、軽くググった限りでは見つかりませんでした。30本で編んで作ったら世界初かも!?個人的には見てみたいので、どなたか興味を持った方は是非作ってみてください。Ochiai数学科出身のソフトウェアエンジニアです。タローと呼ばれています。撮影できる、全天球パノラマ写真の球面印刷のサービスをやっています。球面プリントサービスあと、写真やイラストを切り絵にするサービスも。