下表は,マーケティング調査会社Xが,ある1日に顧客に郵送した2種類のレポート(A・B)の重量です。送付の前にそれぞれ数百あるレポートの中から無作為に15のアイテムを抽出し,それを記録したものです。このデータから,両者の分散・標準偏差と変動係数を求めます。以下文中※印注の用語については,一意的に使用されているものではありません(cf.「名称の混乱」標準偏差―"Wikipedia")。このサイトでは,これら用語の字句としての適否は無視し,分母を区別する“記号”としてのみ扱います。ここにいう「不偏標準偏差」は字句の指すところとは性格を異にします。標準偏差」などに適宜読みかえてください。筆者個人は,無用の混乱を防ぐためレポート・分析資料などのかたちで第3者の目に入れる場合,アルファベット・ギリシャ文字による表記の方法も含め,数式による定義を入れておいた方がbetterだとは思います。Var.s関数エクセルでは,分散は関数でも求めることができます。この場合,偏差平方和をサンプルサイズnで割るか(標本分散※:標本の分散),n-1で割るか(不偏分散※:母分散の推定量)エクセルのバージョンが2007か,2010以上かによって適した関数が存在します。laterVAR.PVAR.Sこれらの関数を利用してレポートA・Bの分散をともに求めるとき,式は下図のようになります(両バージョンでの場合を併記しています)。1関数を利用しない場合,次の式を利用します。このとき,式中の記号i,xは順に「no.」「重量」の各列が相当します。xiは「重量」列のi番目の要素のことを意味します。barは「重量」列の平均を意味します。最初に,式の中のこの部分(赤い囲み)に注目したいと思います。これは1から15番までの各レポートの重さと平均との差(偏差)であることがわかります。具体的にこの偏差を求めると,下の図のようになります。ここで再度式に視点を移すと...分散の計算においては,これら偏差の合計をとるようです。...たしかに偏差をすべて足し合わせれば,全体の“ばらつき”が表現できそうな気もします。...ということですが,実際にこれを求めると0になってしまいます。要素と平均との差(偏差)にはプラス・マイナス両方向の符号が出現します。したがってこれを単純に合計しても,両方向性は打ち消し合うようにはたらきます(0になる)。これでは,“ばらつき”を表現するといった役割にかなわないため,式のこの部分がいきてきます。式のとおりに,各要素についてあらためて偏差の2乗をとってみます。これによって符号をプラスで揃えることができるので,他の要素を足していっても打ち消し合うことがありません。したがって,個々の要素の偏差を合計した値の大小が,“ばらつき”の程度をあらわすものとして意味をなすこととなります。先に掲げた分散を求める式の分子の部分に関するものです。この分子の式によって求められる値は偏差平方和と呼ばれます。この偏差平方和について,Excelにはこれを求めるための関数が別途あります(DevSq関数。下図のように引数には元データを指定)。ここでふたたびもとの式に戻り,今度は分母に注目したいと思います。欲するものが標本分散か不偏分散かによってこの分母は選択を要します。前者の場合はnを,後者の場合はn-1を用います。と見ることができます。いうことで,下のようなシートの構成の場合,それぞれの値は具体的には次のような式で求めることができます。この場合,単位も2乗[この例ではg2(グラムの2乗)]されているので「分散は××g」という表現はできません。2分散・計算完了レポートA・Bの分散は,次のとおりです。Stdev.s関数つづいて標準偏差を求めます。こちらも関数で求めることができます。この場合も同様に,標本分散の√をとるか(標本標準偏差※:標本の標準偏差),不偏分散の√をとるか(不偏標準偏差※)エクセルのバージョンが2007か,2010以上かによって適した関数が存在します。laterSTDEV.PSTDEV.Sこれらの関数を利用してレポートA・Bの標準偏差をともに求めるとき,式は下図のようになります(両バージョンでの場合を併記しています)。2関数を利用しない場合,次の式を利用します。1で掲げた分散の定義式です。ともにそのルートをとるだけです。この場合,単位は元に戻るので「標準偏差は××g」とわかりやすい表現が可能です。レポートA・Bの標準偏差は,次のとおりです。5変動係数の計算/標準偏差÷平均たとえば不偏標準偏差に関して,レポートAとBとでは大きな差があります(上表。13.9gと39.7g)。そのまま単純な比較をすれば,Bの方がバラツキが大きいことは明白です。平均の違いに明らかなように,レポートAとBは同性質の商品ではありません。分布が異なる以上,そのまま単純に比較をしても腑に落ちないところがあります。した場合,元データが比尺度であれば,変動係数で(平均の大きさをモノサシ[=いくつ分か]にして)相対的に比較することができます。算術平均エクセルの上では,これは下表のように求められます(固有の組み込み関数はありません[2016.10月時点])。不偏標準偏差をもとに計算した変動係数は,下のようにレポートA(平均の15.7%)>レポートB(平均の8.1%)となりました。よって両者の比較においては,Bの方が重量のバラツキが少ないことがわかります。計算式において自明なように,分母に算術平均をとる以上,これが0や負の値をとるような性質の対象に変動係数を利用することはできません。設定項目Statcel4(4Stepsエクセル統計)「基本統計量」その他の参照メインサイト「ひとりマーケティングのためのデータ分析」の基本統計に関連するHow-toです。