theory)とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。T}の周期関数である。よるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対する標準形(英語版)を与えるものである。y=Q^{-1}(t)x}を与え、これは周期系を典型的な実係数の線型系へと変換する。固体物理学において、(3次元へと一般化された)同様の結果はブロッホの定理として知られている。線型微分方程式の解はベクトル空間を構成することに注意されたい。solution)であるとは、その全ての列が線型独立な解であることを言う。t_{0}}が存在することを言う。\,}^{-1}(t_{0})}を使うことで基本行列から構成することが出来る。\,}^{-1}(0)x_{0}}である。\,(t)}は任意の基本行列である。A(t+T)=A(t)}が成立する)。\,(t)}をこの微分方程式のある基本解行列とする。}はモノドロミー行列として知られるものである。}を満たすようなものが存在する。}を満たすようなものが存在する。{y}}=Ry}になる。Q(t)}は連続かつ周期的であるため、有界である。R}の固有値によって決定される。form)」と呼ばれる。e^{TB}}の固有値は、その方程式系の特性乗数と呼ばれる。x(t+T)}の固有値でもある。T}}が成立することより、フロケ指数は一意的ではないことに注意されたい。exponents)と呼ばれる。すべてのリアプノフ指数が負であればゼロ解は漸近安定となり、非正であればリアプノフ安定となり、それ以外の場合では不安定となる。フロケ理論は力学系の研究において非常に重要となる。フロケ理論は、周期的な重力場における調和振動子として月の運動を近似するヒルの方程式(ジョージ・ウィリアム・ヒルによって考えられた)において、安定性を示すものである。強レーザー場におけるボンドソフト化(英語版)およびボンドハード化(英語版)は、フロケの定理により得られる解によって表現される。フロケの定理のマシュー方程式への応用[編集]マシュー方程式とは、楕円柱に対する波動方程式に関連するものである。}に対するマシュー方程式とは、次のようなものである。2w)y=0.}マシュー方程式は、周期係数を持つ二階の線型微分方程式である。対するマシュー方程式の解は次の形式で表現される。exponent)と呼ばれる。}(-w)}は線型独立な解である。}(-w)}に対して成立する。y(w)}は実軸上で有界であるものと仮定する。}は非整数)次のような形式で記述される。c_{2}}は任意定数である。分数次あるいは整数次のすべての有界な解は、振動数が増加するにつれて振幅が減少するような調和振動の無限級数として表現される。