個以上)の誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な語句に改訳できる方を求めています。theorem)とは、確率分布がどのように時間発展するかを予言する定理であり、フランスのジョゼフ・リウヴィル(リュービル、リウヴィユ)によって発見された。中に見つかる確率である。個の粒子の系において、変数の組を表すのに便利な簡潔的表現である。H\,\}}が成り立つ。ここで中括弧はポアソン括弧を表す。これをリウヴィル方程式と呼ぶ。この定理の結果で興味深いのは、時間発展に対して相空間中の体積が保存するということである。系が相空間で、ある体積を持って始まると分かっているとき、時間が経った後でも系は同じ体積を持つ部分空間にある。参考文献リウヴィル方程式[編集]相空間内の古典系のアンサンブルの発展(top)。1-次元の井戸型ポテンシャル(赤い曲線、下方の図)の中のひとつのある質量からなる。アンサンブルの個々のメンバーの運動はハミルトン方程式により与えられるが、リウヴィル方程式は全体の分布のフローを記述する。運動は非圧縮性流体中の浮かぶ微小な粒子の運動に類似している。リウヴィル方程式は、相空間上の分布関数の時間発展を記述する。この方程式は通常、「リウヴィル方程式」と呼ばれる。ウィラード・ギブズは、最初に統計力学の基本方程式としてのこの方程式の重要性を認識した[1][2]。この非標準的な系の微分を、1838年にリウヴィルが導入するとき、最初の等式を使ったことから、リウヴィル方程式と呼ばれるようになった[3]。持つハミルトン力学系を考える。^{n}p}を決定する。(p,q;t)}の時間発展を統制する。{p}}_{i}\right)=0.}リウヴィル方程式は相空間の分布函数(英語版)の時間発展を記述する。方程式は、通常「リウヴィルの方程式」と呼ばれていてるが、最初に統計力学の基本方程式として重要であることを認識したのは、ウィラード・ギブズである[4][5]。非正準力学系の方程式の導出は、1828年にリウヴィルによって導かれた恒等式を使っているので、リウヴィル方程式と呼ばれる[6]。時間微分はドットで表され、系のハミルトン方程式に従い値が求められる。この方程式は、相空間における密度の保存を表している(この定理には、ウィラード・ギブスの名前が付けられた定理であった)。「分布函数は相空間内のすべての軌跡に沿って定数である」という定理である。p_{i}}}\right)=0}に基づいている。{p}}_{i})}は保存カレント(英語版)である。q_{i}}}\right)=0,}との差異に注意する。ハミルトニアンで、ハミルトンの方程式が使われている。あることが、連続の方程式に従う。ひとつの別な説明は、相空間を通る点の集まりの軌跡を考えることである。定数のままであることを、直接示すことができる。同じことであるが、保存カレントの存在は、ネーターの定理を通して、対称性の存在を導く。対称性は時間変換に対し不変で、対称性の生成子(もしくは、ネーター保存電荷はハミルトニアンである。=0}として言い換えることがよくある。エルゴード理論[編集]エルゴード理論と力学系では、与えられた物理的な考え方に動機を持っていたが、リウヴィルの定理として対抗する結果もある。ハミルトン力学では、相空間は自然に滑らかな測度(局所的には、6n-次元ルベーグ測度)を持つ微分可能多様体である。エルゴード理論の定理によると、この滑らかな測度はハミルトンフローの下に不変である。一般的には、滑らかな測度がフローの下に不変である必要充分条件を記述することができるので、ハミルトニアンの場合は一般的結果の系となる。シンプレクティック幾何学[編集]シンプレクティック幾何学のことばでは、相空間はシンプレクティック多様体として表される。従って、定理はシンプレクティック多様体上の自然な体積形式はハミルトンフローの下に不変である。ウェッジ積の和として表される。体積形式はシンプレクティック形式の最高次数外積であり、まさに上記の相空間の測度の別の表現である。あることをいっている。実際、シンプレクティック構造自身は、最高次数外積のみならず、それ以下の次数についても保存される。量子リウヴィル方程式[編集]正準量子化によってこの定理の量子力学版がもたらされ、密度行列の時間発展を記述する。正準量子化によりこの定理の量子力学版がもたらされる。この手続きは古典系から量子系の類似法則を作り出すのによく使われるが、そのためにはハミルトン力学を使って古典系を記述することが必要となる。古典力学的な変数は、量子力学的な演算子に解釈し直され、ポアソン括弧は交換子に置き換えられる。ここでρは密度行列である。これを量子リウヴィル方程式(またはフォン・ノイマン方程式)と呼ぶ。観測量の期待値へ適用するとき、対応する方程式はエーレンフェストの定理により与えられ、次の形をとる。符号の違いは、作用素が定常的であり状態は時間依存するという前提からくることに注意する必要がある。リウヴィルの定理は、統計力学の基礎としても重要である。粒子の衝突など、正準方程式に従わない場合はリウヴィルの定理はそのままでは成り立たず、これを記述するのがボルツマン方程式である。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。開発者Cookieに関する声明モバイルビュ。