(位相幾何学)結び目と3次元多様体の不変量について研究している。理論にもとづいて膨大な数の不変量(量子不変量)が発見され,不変量の研究,すなわち,結び目の集合と3次元多様体の集合の研究という新しい研究領域(量子トポロジー)がもたらされた。場の理論の相関関数をトポロジーの立場から理解することにあったが,この分野に関してこの20年間になされたさまざまな研究によりその作業はほぼ完了し,今後のこの分野の研究は,そのようにして得られた膨大な数の不変量を研究の基礎として,さまざまな新しい研究の方向性を創出するべき段階にある。関連」などが今後の発展のために重要ではないかと筆者は考えている。「体積予想」は,双曲結び目のKashaev不変量(この不変量は1のN乗根における結び目の色つきJones多項式に等しい)の極限に双曲体積が現れることを主張する予想である。1970年代にはじまった双曲幾何の研究と1980年代にはじまった量子トポロジーの研究は,それぞれ別々に発展してきたが,体積予想はこれらの研究領域を結び付ける重要な予想である。最近,筆者はKashaev不変量の漸近展開を比較的簡単ないくつかの双曲結び目について具体的に計算し,それらの場合について体積予想が成り立つことを確認した。あるとおもわれ,筆者は多くの結び目でこれを確認した。高次の項は未知のべき級数不変量になっているようである。これらの不変量について,さらに詳しく調べることをめざす。筆者は「結び目の不変量」について著書を執筆した。(非線形力学の数値解析的研究)非線型微分方程式で記述される現象では,その複雑さ故に様々な手法が要求される。中でも数値的手法,即ち,コンピュータを使って大規模かつ精密な近似解を構成し,それに基づいて現象の解析を行なうことの有用性は今では広く認識されている。数値的手法は,流体などの連続体の偏微分方程式の研究ではとくに盛んであり,実社会からの強い要請もあって,極めて多くの研究者が競い合っている分野である。ところが,主に次の二つの理由によって,数学的な研究がスーパーコンピューターの発展と同じ位望まれているのである。ひとつには,スーパーコンピューターですら解けない巨大な問題が存在することである。このような問題に対しては理論的考察やモデルの構築なしに,単にスーパーコンピューターを走らせても無意味である。ふたつには,より大規模な計算が進むにつれて,より深い問題が新たに発見されることである。このような状況では新しい数学的なアイデアが要求されるので,``インプットデータを与えて計算機を走らせたら全て解決''という(一部に標傍されているような)事態は決して来ないのである。このような現状に鑑み,流体力学に現れる非線型現象の解明のため,アルゴリズムの解析,実際の計算,及びその理論的解釈を総合的に行なっている。最近は精度保証計算にも興味がある。登高(作用素環と離散群の研究)私は作用素環と離散群の関わりを研究している。(離散)群とは,任意の対象の対称性を記述するための数学言語である。ある結晶が与えられたとき,その結晶構造を変えない変換(回転操作,鏡映操作,反転操作など)全体を考えたものが群である。人間には線形的な構造の方が理解しやすいので,群の各要素を適当な(線形)空間上の作用素とみなして取り扱うことにする。した作用素全体が生成する代数系を考え,適当な位相で完備化すれば作用素環と呼ばれる対象ができる。Neumann環の二種類が存在する。)位相の存在により,群論のような代数的な問題に対しても解析的なテクニックを使えるところが作用素環論の特徴である。Neumannが量子力学の数学的取り扱いを目指して始めたものであったが,現在では数理物理だけでなく,群論やエルゴード理論などに幅広い応用がある。私の研究は双方向的で,これらの分野への作用素環論の応用とその逆を同時に扱っている。伝統的な作用素環論の他にも,作用素論,Banach環論,Banach空間論,群表現の摂動理論,離散距離幾何学等の研究を行っている。現在の作用素環論において最も重要な未解決問題は「Connesの埋め込み予想」である。Neumann環が適当な意味で有限次元環で近似できるというものである。Neumann環の技術的な問題に過ぎなかったが,その後,作用素環論におけるいくつかの見掛けの全く異なる重要予想と同値であることが判明している。私はこの予想に対する新たなアプローチを研究し,この予想が量子情報理論におけるTsirelson問題と同値であることを示した[1,2]。Tsirelson問題は,2人の独立した観測者の間に起こりうる量子相関に対する2つの異なる定式化が実は一致するという予想である。F_rのユニタリ表現に関する問題であるということが明らかになっている。最近研究され始めた分野であって,実群環などの非可換実代数における等式や不等式を扱う分野である。その表現論を通して作用素環論を利用できるところが私にとっての魅力である。定理に関数解析による新証明を付けた[8]。この定理は幾何学的群論における基本定理であり,群の幾何学的な性質から代数的な性質を導くものである。新証明は極めて簡明なもので,更なる応用が期待される。Neumann環がいつ充足という条件を満たすかを調べた[9]。構造,の幾何学の研究をしている。幾何学が興味深い研究対象であることを数々の予想とともに指摘し,その後の研究に大きな影響を与えた。予想をトーラス上で証明した。幾何学の研究を大きく進展させた。呼ばれる理論を創始した。技術的な困難を避けるために条件はついていたが,新たな数学が切り開かれた。幾何に限らず,低次元トポロジーなどでも強力な道具となっている。不変量の構成し,期待される性質が満たされることを示した。一般には定義できないが,境界作用素を適当に修正することで定義できる場合もある。トーラスの記述に関する成果を得た[8],[9],[10]。理論は,深谷圏の基盤であり,ホモロジー的ミラー対称性の研究に不可欠である。して順次纏めて発表している。理論に基礎を置いている。氏,太田氏とともに書き,順次公表している。(確率論)複雑な系の上の物理現象の解明を目指して,系の上の確率過程と対応する作用素について研究を進めている。基礎を固める研究を行ってきた。当該分野の重要な未解決問題の一つであったシェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性を証明した[6]。フラクタル上の拡散過程は,劣拡散的である,すなわちユークリッド空間のブラウン運動に比べて,拡散のオーダーが小さい(拡散が遅い)。確率過程のこのような性質は摂動安定性を持つであろうか?熱核が上下からガウス型評価を持つ拡散過程については,安定性の問題は古くから研究され,対応する作用素に多少の摂動を加えても大域的な挙動に大きな変化が現れないことが知られている。私は,一般の測度つき距離空間において,熱核が劣ガウス型の評価を持つことと,ある種の放物型ハルナック不等式が成り立つことが同値であり,さらにいくつかの関数不等式と同値であることを示した[1,2]。これは,劣ガウス型熱核評価の安定性を意味する。このような評価が空間のquasi-isometricな変形で保たれるという安定性の理論を構築し,この理論を発展させることにより,相転移を持つ確率モデルの臨界確率における熱伝導の研究を推し進めている[3,5]。その成果の一つとして,統計力学の基礎モデルであるパーコレーションクラスターの,臨界確率における熱伝導についての数理物理学者の予想(アレキサンダー・オーバッハ予想)を,いくつかの具体例で肯定的に解決した。これらの手法を有限グラフの列の上のマルコフ連鎖に応用し,混合時間の評価等を行っている[9]。複雑な系の上の確率過程の研究の近況は,講義録[B1]にまとめられている。複雑な系の上の確率過程の研究を通じて,非対称拡散過程や飛躍型確率過程論に新たな方向性を与える研究も行っている。離散で非対称なマルコフ連鎖の自然なクラスにおいて,熱核がガウス型の評価を持つことを示し,さらにそのスケール極限が非対称な拡散過程に収束するための十分条件を解析した[10]。ハルナック不等式や熱核評価の研究を,飛躍型確率過程にも発展させている[4,7,8,11]。飛躍型確率過程の調和解析では,従来の解析学の手法が適用できない状況が多く,熱核評価に関する研究は限定的であった。熱核の精密な評価を行い,その一般化を行っている。代数多様体,特に代数曲線やそのモジュライ空間の被覆と基本群に関する数論幾何は,近年内外の多くの研究者によってさまざまな視点から研究されている。geometry)を軸として活発に研究が進められ,当該分野を世界的にリードしている。体上の結果,有限体の代数閉包上の結果を得てきた。以下では,当該所員が近年得た,いくつかの結果を簡単に紹介する。編投稿中)などを証明した。有限生成体上の曲線に対するセクション予想に関連して,離散的セルマー群や離散的シャファレビッチ・テイト群という,有限生成体上のアーベル多様体の新しい数論幾何的不変量を導入した(論文投稿中)。次元の場合を肯定的に解決した([2][6])。進ガロア表現で幾何的基本群の像がある種の弱い条件を満たすものが与えられた時,その表現を曲線の(剰余次数を制限した)閉点の分解群に制限して得られるガロア表現に対する像の下界の存在を証明した([7][9])。進表現の場合に,部分的な肯定的結果を得た([10])。三名共著論文を準備中)。アーベル多様体のねじれ点に対する普遍上界予想と曲線のヤコビ多様体のねじれ点に対する普遍上界予想の定量的な比較をした([8])。冪ねじれ点の研究(論文準備中)を行った。共同研究)とモジュラー曲線の場合に,それぞれこの有限集合を具体的に決定した。加群やそのモジュライ空間に関する研究を以前行った。(表現論,代数幾何学,微分幾何学)理論物理学に起源を持つゲージ理論を数学的に研究することを中心テーマとしている。この研究がカッツ・ムーディー・リー環や,その変形と関係することから,これらの対象の表現論も同時に研究している。主要な成果として,次のようなものを得た。空間とよばれる,複素二次元の単純特異点の特異点解消の上で,ゲージ群をユニタリ群とするインスタントン方程式の解のモジュライ空間を考える。この空間は,箙の表現による記述を持つ。そのホモロジー群には,カッツ・ムーディー・リー環の表現が構成される。群には,量子ループ環の表現が構成される。分配関数の研究を行っている。一点ブローアップの上のインスタントンのモジュライ空間との関係を,神戸大の吉岡康太氏との共同研究で詳しく調べ,分配関数の持ついろいろな性質を導いた。氏を加えた共同研究で行った。部分コンパクト化をとり,その同変交叉コホモロジー群を考える。W-代数の表現が構成される。[1]以下,昨年度得た研究成果を簡単に紹介する。超対称性ゲージ理論とよばれる場の量子論を考え,特にそのゲージ理論のクーロン枝とよばれる,超ケーラー多様体を研究していた。その定義には,「量子補正」とよばれる数学的に厳密な取り扱いがなされていない手続きが含まれており,クーロン枝の数学的な定義は与えられていなかった。そこで,数学的に厳密な定義を与える試みを始めた。一昨年度[8]において,クーロン枝の構造環になっていると期待される,次数付きベクトル空間をあるモジュライ空間の,自然な消滅サイクルに係数を持つコホモロジー群として導入した。分解しているという仮定のもとに,上のモジュライ空間を若干変更した上で,その同変ボレル・ムーア・ホモロジー群を考え,この上に可換な積構造を定義した。して,クーロン枝のアファイン・スキームとしての定義が与えれたことになる。構成から自然に座標環の非可換変形が同時に得られる。いくつかの例について,クーロン枝を今まで知られていた多様体と同定する研究が進行中であり,論文を準備中である。(理論計算機科学の研究)今日の電子計算機において実現されている,もしくはされつつある多様なソフトウェアについて統一的かつ厳密に議論することを可能にするために,計算現象が根底に持っている数学構造を抽出し,分析することを研究の目的としている。基本的な考え方は,複雑な計算現象を表現・分析するために,適切に抽象化された構造を特定し,そのような構造に関する考察から,計算現象に関する有益な情報を得ようというものであり,いわば「計算の表現論」である。プログラミング言語における制御構造の数学モデル(意味論)の,主に代数的・圏論的な手法と,証明論・型理論的な枠組みを用いた分析および応用に取り組んでいる。線型論理に基づく型理論とそのモノイダル圏によるモデルに関するものである。密接に関連していた)を出発点に,領域理論における最小不動点演算子の一様性原理をトレース付きモノイダル圏に拡張した研究などを行なってきた。圏論を直接には用いないが関連する方向では,巡回構造を持つ必要呼びラムダ計算の操作的意味論を調べている[7]。ついては,副作用を伴う制御構造を用いた再帰プログラムの意味論の研究を行ない,特に再帰と第一級継続の組み合わせから生じる計算を分析した[2]。第一級継続を用いた多相型プログラムが満たすパラメトリシティ原理を与えた[6]。関しては,線型論理に対応する線型ラムダ計算とその圏論的モデルに関する理論の整備を行なっている[4]。またがる仕事として,制御構造の数学モデルに内在する一種の線型性に着目することにより,効果的に用いられた制御構造の持つ,明快かつ有用な性質を調べてきた[3]。Grothendiek-Verdier圏)がトレースを持つのは,実はコンパクト閉圏である場合に限られることを示した[10]。新しいテーマとして,プログラム意味論と量子トポロジーの接点を模索している。(代数幾何学とモジュライ)対象としてはEnriques曲線,K3曲面と3次元Fano多様体を中心に,手法・概念としてはモジュライや自己同型を中心に研究を続けている。モジュライの基礎理論(文献[5])との関係で不変式論や群の表現と関係する代数多様体も研究している。80年代に発見したK3曲面と大Mathieu群M_{24}との関係(文献[13])の類似を考え,Enriques曲面への(指標的に)Mathieuな有限群作用を小Mathieu群M_{12}と関連づけて任意標数の閉体上で分類することができた(文献[13])。球の配置を統制するルート系(文献[9])を使うと理解しやすい。最近はこれの理解が進展し,概アーベル的ではない無限自己同型群の決定がいくつかのEnriques曲面に対して得られている(例えば,文献[12])。曲面を分類し,それらの幾何学的実現を与えることもできた。コホモロジーに鏡映で作用する対合の研究(文献[8])は主偏極Abel曲面のモジュライの自己射に関する結果(文献[10])を副産物として生んだ。K3曲面の関連では,高次数偏極K3曲面の研究(特に,モジュライ空間の単有理性)に,新しい場合(30次)を付け加えることができた(文献[11])。不変式論においては,Hilbertの第14問題(永田の反例がある)を肯定的に復活する試みとして,次を提出した(文献[6])。表現や共形ブロックの個数に関するVerlinde公式)とも深く結びついている。ベクトル束のモジュライ空間とも関係深い。(数論幾何の研究)数体や局所体あるいは有限体の上で定義された楕円曲線は数論幾何の中でも中心的な研究対象の一つであり,その研究は20世紀初頭まで遡る。そのような楕円曲線の等分点へのガロア群の作用や楕円曲線の上で定義されるテータ関数は楕円曲線の数論幾何の研究では重要なテーマである。種数が2以上の代数曲線をはじめとする双曲的な代数曲線の数論幾何は比較的最近まで余り熱心に研究されてこなかった。双曲的代数曲線の場合,非アーベルな基本群への基礎体の絶対ガロア群の外作用は楕円曲線の等分点へのガロア群の作用の「双曲的な類似物」と見ることができ,双曲的代数曲線の数論幾何の自然な出発点となるが,その研究は1980年代後半の伊原康隆の仕事以降,日本の数論幾何において,取り分け数理解析研究所を中心に重要な研究テーマの一つとなった。1990年代半ばに得られた遠アーベル幾何の様々な結果もこの文脈の中で興ったものである。1990年代の後半以降,一点抜き楕円曲線の上で定義されたテータ関数を従来の「アーベル系」の視点とは決定的に異なる「遠アーベル的」な視点で扱うホッジ・アラケロフ理論の研究も大きく進展している。([8])を中心に,上の三つのテーマの「相互作用」や「融合」に関心の対象が移った。[7])の下で再定式化することにより,「宇宙際タイヒミューラー理論」(=「数体に対する一種の数論的なタイヒミューラー理論」)を構築することが大きな目標となった。「宇宙際タイヒミューラー理論」に関する4篇からなる連続論文は2012年8月,プレプリントとして公開した(理論の要約については[9]を参照)。4篇で500頁にも上る連続論文の内容を一言で総括すると,数体上の楕円曲線に付随するテータ関数の値やその周辺にある数論的次数の理論を,絶対遠アーベル幾何等を用いて(比較的軽微な不定性を除いて)「異なる環論」にも通用するような形で記述することによってディオファントス幾何的な不等式を帰結するという内容である。理論を構築し,長年未解決問題であった基礎体の絶対ガロア群の外部表現の単射性に関する定理を証明したり([8]),またその延長線上にある「組合せ論的遠アーベル幾何」に関する,4〜5篇からなる連続共著論文の執筆に2010年度から取り組んでいる。プレプリントとして公開済みである。2010年度から2011年度に掛けて,特に双曲的曲線に付随する配置空間の副有限基本群の惰性群の群論的特徴付けの理論やアンドレ氏による「緩和基本群」の理論への応用において大きな進展があり,それによって得られた結果は第二および第三論文に収録済みである。第四論文では,組合せ論的セクション予想や理論の副有限版と離散版の間の比較が主なテーマとなっている。(微分幾何,代数幾何の研究)[2,7]において私は調和バンドルの特異性についての研究を行い,漸近挙動の大雑把な分類を得ました。[1,3,4,7]においてワイルド調和バンドルや純ツイスターD加群を研究し,小林・ヒッチン対応や半単純ホロノミックD加群の強レフシェッツ定理などを得ました。(arXiv:1104.3366)において混合ツイスターD加群の理論の整備に取り組みました。その過程で,不確定特異点やストークス現象にも関心を抱き,有理型平坦束の局所構造の研究[5,7],ホロノミックD加群のベッチ構造の研究[10]などを行ってきました。最近は,これまでの研究で得られた結果・知見を,調和バンドルやツイスターD加群に関連する対象や,より具体的な題材に適用することを試みています。ワイルド調和バンドルの小林・ヒッチン対応はヒッグス束上の調和バンドルの分類をパラボリック構造の分類に帰着するものといえます。ある種の物理的な対象の分類と関連づけられるため興味深いです。そこで,[8]では小林・ヒッチン対応を用いて,二次元戸田方程式の実数値解の分類を行い,さらに同伴する有理型平坦束のストークス構造やモノドロミーを具体的に計算しました。多重周期性を持つインスタントンやモノポールは``無限次元のワイルド調和バンドル''とみなす見方が有効であり,これまでの調和バンドルの研究で培ってきた知見を活かせます。対応などを確立しました。混合ツイスターD加群の関手性と,各有理型関数に混合ツイスターD加群が同伴することを用いると,多くの自然なホロノミックD加群が自然に混合ツイスター構造を持つことがわかります。systems''(arXiv:1501.04146)では,特に超幾何ホロノミックD加群上の混合ツイスターD加群について調べています。これは,トーリック多様体の(局所)ミラー対称性の研究で自然にあらわれるものでもあります。混合ツイスターD加群の一般論を超幾何ホロノミックD加群の退化に適用することで,局所Aモデルと局所Bモデルに付随する混合TEP構造の同型を得ています。このような具体的な例や関連する対象の研究を通じて,調和バンドルや混合ツイスターD加群の理論を整備し,より多くの場面で使えるものに育てていきたいと考えています。方程式に従う流体の運動を研究している。対象となる流体運動は,流体乱流,回転乱流,微小生物に関わる遅い流れなどである。数学的手法の研究も行っている。相似則を初めとする統計性質が知られているが,それらが相空間の軌道の構造とどのような関係にあるのかということについては殆ど知見が得られていない。方程式について解軌道の解析を行うことは現状では非常に難しい。おいて,カオス平均と周期軌道平均の関係を調べ,従来から散見されていた短周期の軌道解析の有効性を支持する結果を得た。数の増大とともに,初め双曲的であった系が次第に非双曲系に近づき,あるReynolds数において非双曲化することを見出した。このときの流れの物理的特徴に注目し,特に流れ場に伴う長時間相関関数の形が双曲/非双曲転移に伴って変化することを見出した。乱流を取り上げ,乱流の自己維持過程として知られている過程を共変リヤプノフ解析を用いて調べ,ストリークの崩壊は解軌道の不安定性によること,及び,ストリークの再形成過程には解軌道の不安定性が存在しないことを見出した。エネルギー収支解析より,ストリーク構造に対叡るモードには常にエネルギーが流入しているが,エネルギーが増加すると蛇行モードへのエネルギー流出が生じこれがストリークモードの消長を制御していることを見出した。・回転を含む系の流体運動これまでに高精度の数値実験によって,回転球面上の自由減衰2次元乱流では両極域に東風周極ジェットが形成されることを見出し,この現象の定量的記述のため回転角速度が非常に大きな場合の両極域における周極ジェットに特徴的な漸近挙動を明らかにした。回転球面上の強制2次元乱流についても長史の数値実験を実行し,従来知られていた多数本の帯状ジェット形成が遷移状態に過ぎず,最終的には少数本(2本または3本)のジェットからなる状態に落ち着くことを見出した。そこで,回転球面上で少数本のジェットをもつ基本的な(流れ関数が球面調和関数)解の安定性および分岐構造を調べることにより,回転が流れを安定化させることを見出し,乱流の終状態との関連を議論した。分岐解析によって得られた定常解の張る低次元空間によって乱流状態を近似し,乱流の平均量がよく近似されることを見出した。ロスビー波とジェットの相互作用の基本的なモデルは,\beta-平面上における平行流とロスビー波の相互作用である。この相互作用は従来,臨界層を通じた運動量輸送として定性的な描像が与えられてきた。この定量的記述を目的として,平行流の周りの線形摂動解の遠方の漸近形,特にロスビー波の反射係数と透過係数を用いて平均流加速量の表式を導いた。これは臨界層を通じた運動量輸送を平行流の安定性固有値問題に帰着させるもので,固有値問題の中立安定解に物理的意味を与えるものである。3次元の流れに回転が及ぼす影響を,回転球殻内の熱対流パターンについて調べた。これは地球や惑星の内部対流の典型的なモデルであるが,平面ベナール対流に比べ未知の部分が多い。求め,その安定性をしらべて分岐図を作成し,東西位相速度の反転現象を見出した。反転前後の対流パターンを調べることにより,この反転が解の分岐によるものではなく,赤道付近に生成される帯状流の強さの変化を原因とするものであることを見出した。この系において,流れが内側および外側境界に及ぼすトルクを求め,対流によって境界の回転角速度の違いが引き起こされることを見出し,内側および外側境界が3軸回転を行う場合の分岐解析を行い,境界が固定された場合の結果と比較した。流として扱うことができる。帆立貝定理」が知られている。これは微小生物の運動形態に強い制約を与える重要な定理であり多くの研究者が部分的な証明を試みてきたが,完全な証明は知られていなかった。そこで,周囲に流体が存在しない仮想的な生物を導入して生物運動を形状変形運動と重心・回転運動に分離することによって,この定理の完全な証明を与えた。・ウェーブレットおよびデータ解析法の研究データ解析に利用するために,与えられた波形に近い関数形を持つウェーブレット(双直交ウェーブレット)の構成方法を研究している。地震波形合成などを行っている。(表現論)主に無限次元代数の表現論を研究している。アフィンKac-Moody代数やVirasoro代数などの無限次元Lie環,その仲間であるW代数の表現論について興味がある。これらを統一的に扱う枠組みである頂点代数の理論にも興味がある。これらの無限次元代数は二次元の共形場理論に起源を持つが,可積分系,量子群,モジュラー表現論,幾何学的Langlands対応および4次元のゲージ理論などさまざまな話題とも密接に関係する興味深い対象である。一般に表現論における基本問題は(1)既約表現の指標を決定すること,(2)``良い''表現を決定すること,の二つに集約されると思われる。(1)の問題に関して,論文[1]では極小冪零元に付随する(スーパー)W代数の既約最高ウエイト表現の指標が(スーパー)アフィンリー環のそれから完全に決定される事を示し,特に2003年のKac-Roan-脇本の予想を肯定的に解決した。論文[2]では主冪零元に付随するW代数のすべての最高ウエイト表現の既約指標を決定し,特にモジュラー不変な表現の存在と構成に関する1992年のFrenkel-Kac-脇本の予想を肯定的に解決した。論文[3,4]ではカイラルD加群のアフィンKac-Moody代数の表現論への応用を行い,アフィンKac-Moody代数の臨界レベルにおけるG可積分な表現の指標公式の導出を行った。principleを証明した。有限性条件とアフィンリー環の表現の特異台との関係を明らかにした。アフィンリー環の許容表現の特異台に関するFeigin-Frenkelの予想を解決するとともにW代数のC_2有限性条件に関する2008年のKac-脇本の予想を肯定的に解決した。論文[9]ではアフィンリー環の許容表現に関する1995年のAdamovic-Milasの予想を肯定的に解決した。論文[8]では主冪零元に付随するW代数の極小系列表現の理性に関する1992年のFrenkel-Kac-脇本の予想を証明する事に成功した。代数の新しい「良い」表現の系列を発見した。今後は上記の結果の一般化とともに,物理への応用も視野に置き,徐々に応用も行っていく予定である。)手法としても研究対象としても2次元(超)共形場の理論と関連する数理物理に永らく興味を持ち続けているが,近年は超対称性のある場の理論や弦理論の物理が代数多様体の数え上げ幾何と関連している場合に関心がある。型弦理論と混成的弦理論(の適当なコンパクト化)の間に成立すると予想されている双対性の理解およびBPS状態の数え上げとしての定量的検証を近年の研究主題としている。混成的弦理論はゲージ理論や重力理論などの馴染みの物理との関係が見やすく,また数学的には表現論と近い関係にあるといってもよい。型弦理論では考えている楕円カラビ・ヤウ多様体のグロモフ・ウィッテン不変量やDブレーンの解釈としての「層の足し上げ」などの数え上げ幾何のテーマと関係する。BPS状態の数え上げに対する生成関数をボーチャーズ積の類似として解釈することを試みている。具体例で試行錯誤してみると上記の数え上げ幾何以外にもヤコビ形式,不変式論,保型形式,楕円コホモロジー,表現論などの諸分野が有機的にからみあっていることが分かってきた。これらの諸概念を何らかの意味で統一する様な形で弦理論双対性を理解できればと願っている。ゲージ理論と開カラビ・ヤウ多様体の対応は近年盛んに研究されているが,量子重力を含む場合を取り扱おうとすると閉(楕円)カラビ・ヤウ多様体を考えなければならない。考えている状況の限りでは量子重力の難しさは豊穣な「楕円」数学の世界と呼応しているようである。従って,困難ではあるが物理的にも数学的にも意義深く挑戦しがいがあると考えて日々研究している次第である。(代数幾何学)双有理幾何学における極小モデルプログラム(MMP)は,標準因子の比較によって各双有理同値類を代表する代数多様体を抽出する。らの努力により完成した。よって一般次元で示された。次元因子収縮写像の系統的研究を行った。次元では収縮先が点のときが本質的で,これらの写像を食違い係数が小さい場合を除き完全に分類し,残る場合も分類方法を確立した。目下の最重要な課題はフリップの終止予想である。過程で現れる特異点を極小対数的食違い係数を手掛かりに研究している。特異点は極小対数的食違い係数により定義され,さらにフリップの終止は係数の下半連続性と昇鎖律の二予想に還元されるからである。逆同伴問題を研究した。逆同伴とは,多様体と因子の組から因子上に新たな組が導入されるときの,両組の特異点の比較である。私は両組の対数的標準性の同値性を証明した。一般に両組の極小対数的食違い係数の一致が予想され,Ein,Musta\c{t}\u{a},安田のモチーフ積分論の手法を一般化した。極小対数的食違い係数の有界性は,下半連続性及び昇鎖律のどちらの系でもある予想である。端末特異点の特徴付けを回復した。Fernex,Ein,Musta\c{t}\u{a}は対数的標準閾のイデアル進半連続性を示し,イデアルの生成極限を用いて昇鎖律へ応用させた。私はその極小対数的食違い係数への拡張を研究し,多様体とイデアルの指数が指定された時の,対数的標準な組の対数的食違い係数全体の集合の離散性を示した。極小対数的食違い係数の昇鎖律を得た。イデアルの生成極限は形式的べき級数環上定義される。存在と正規性を証明した。以上の極小対数的食違い係数の昇鎖律を示した。(代数解析学の研究)ホッジ加群[1][2]やD-加群の理論の応用等について研究を続けている。関数の根との関係についての質問を受けたので,それに対する解答を考察した[3]。未解決の問題の否定的な答えを得る事が出来た。年間できなかったことも納得させられる。関数の根の重複度との間には或る程度の関係がある事などもだんだんと分かってきた[4]。関数の根との関係についてのヴァルター氏の結果がどうも納得出来なかったので,計算機を使って色々試してみた結果,定式化が多少誤っているのではないかという結論に至り,その修正を行った上で正しい証明も付け加えた。これはカスピダル有理曲線の場合のミルナー環の捻れ部分の次元に関するディムカ氏の予想ともかなり密接に関係しており,この予想についても随分考えたのではあるが,反例も証明も見つける事はできなかった。関数の根がミルナー環のヒルベルト数列だけでは決定されない例を発見する事などが出来た。関数の根をヒルベルト数列から決定する事ができる。関数の根が組合せ不変量ではないというヴァルター氏の例などもこの方法を使って直接確かめる事が出来る。関数を計算する事自体,普通の計算機ではかなり困難な様である。退化の証明は延期となった。次にヒルツェブルフ特性類に関しては,数年前の研究で得た超平面配置の場合の公式を更に精密化するために,スペクトラル・ヒルツェブルフ特性類というのを導入して,これがホッジ加群に対するトム・セバスチャニ定理とうまく組み合わされる事などを示した。この副産物として超平面の乗数イデアルに対するトム・セバスチャニ型定理というのも得る事が出来た[7]。その他には,フロベニウス多様体におけるいわゆる「再構成定理」に対する反例の可能性についての考察[8]を行ったり,ホッジ加群とツイスター加群との間にある幾つかの違いについての研究[9]を行ったりした。最後にホッジ加群の分かり易い入門[10]に関しては,うまく書くのはあまり容易ではなさそうに思われる。階の線型常微分方程式の解の大域解析に威力を発揮する。変換の構造が複雑な非線型方程式については,いまだ解明すべき多くの課題が残っている。解析のホロノミック系への拡張について諸々の視点からの研究を行っている。研究の方向は,大きく二つにわかれる。系)に変換されることが廣瀬により示された。この結果の非線型版を得ることが当面の課題である。系により与えられると予想している([6])。種変わり点における構造定理([1],[3])の証明を参考にしてこの予想を証明することが第一の目標である。廣瀬の結果やその非線型版である上記の予想は,高階常微分方程式の仮想的変わり点の問題とも密接に関連する([8])。解析にも新たな展開がもたらされると期待される。変換といった微分方程式に含まれるパラメータに関する離散構造を,元の微分方程式と連立させて一つの可積分系として捉えることにより解析しようとする方向である。現象を記述する接続公式を明示的に書き下すことに成功した[9])。方程式等の標準形への変換論([2],[5])に基づく従来の方法に加えてこの方向の研究が進展すれば,「動かない特異点」の解析に大きなブレークスルーが起きることも十分に期待できる。Painlevé方程式や線型の超幾何方程式を,この新たなアプローチを用いて解析することが現在の大きな関心事である。(地球および惑星流体力学の研究)地球および惑星などの天体での流体現象を記述し考察するための流体力学の研究を行なっている。相変化・領域が球形であること,といった点があげられる。惑星大気やマントル・中心核の現象の複雑な状況を単純化したモデルを構成し,その中に登場する自転速度や重力と密度成層の強さ,球の半径などのパラメターを様々に変えて,計算機を用いた数値実験によって流れの様子を求め,さらに数値実験結果に現れた流れの性質を統合的にとらえるための理論を構築することを試みる。このような作業を通じて地球や惑星のさまざまな流体現象に内在する基本的な流体力学的ふるまいを理解することを目指している。上記の研究を効率的に行なうための数値計算技法とソフトウェアの開発も行なっている[4,9]。単純化したモデルを用いて流れの基本的な性質を掌握しておくことは,さまざまな物理過程を取り込んだシミュレーションモデルにおいて表現されるべき流体力学過程を明らかにすることとなり,そのことが地球や惑星の構造とその進化に対する予言能力の獲得につながると期待される。惑星中心核の単純化したモデルである回転球殻内での熱対流の研究があげられる。この問題に対して,近年急速に発達した計算機を利用して線形安定性と弱非線形計算を数値的に実行し,球殻の回転角速度や厚さなどのパラメターを広い範囲で変化させて発生する熱対流の構造の変化の様子を調べ,その流れの支配要因の分析を詳細に行った[6,7]。程度のところで遷移すること,を見出した。バナナ型・柱型・螺旋型といった対流構造と伝播性質が,実は渦度の伸縮に伴う波動運動の性質の違いによるものであることを見出し,従来の単にみかけの形態による対流パターンの分類を力学的な構造に結びつけることに成功した[6,7]。加えて,対流の存在によって生成される平均帯状流の構造を,同様に広いパラメター範囲に渡って求めることを行い,さまざまに変化する帯状流分布の生成の仕組みを分類し明らかにした[10]。次元乱流運動[8]についても考察している。太陽や木星型惑星の表面の平均帯状流は観測可能な物理量であり,各天体の大気運動を特徴づけるものとしてそのパターンが以前から注目され,その生成過程を詳細に調べることは地球惑星科学的な面からも重要である。現在フランスのサクレー研究所と共同して太陽及び恒星内部の熱対流の臨界状態と有限振幅状態との関係について研究を進めている。(数理論理学の研究)「古典論理を理解するための非古典論理学」を推進する一方,計算量,プログラムの意味,評価戦略など,計算機科学にまつわる諸問題を数理論理学によって解明することを目指している。論理学といえば「前提→結論」という推論の研究に範囲が限定されていたが,現代においては「インプット→アウトプット」という計算や,「エージェント↔エージェント」というコミュニケーションをも十分視野に納めている。関心をもっているのは,(1)線形論理と(2)部分構造論理である。(1)線形論理,これは数学において線形代数が果たすのと同じ役割を論理学において果たすものである。証明やプログラムは線形的な部分と指数関数的な部分に分解できるというのがその核心である。これまでは,線形論理に基づく計算量クラスの特徴付け[8,9],線形論理から派生したルディクス(あそび)の理論に基づく計算論再構築の試みなどを行ってきた[3]。再帰型の一意的解釈[6]等の研究を行った。最近では,線形論理のモデルを用いて(単純型付き)ラムダ計算のブール型プログラムを高速に実行する方法を考案した。2001年に解決済み)に一定の条件付きではあるが一般解を与えることに成功した[1]。(2)部分構造論理,これは構造規則を弱めることによって得られる論理一般の系を考察することにより論理の本質に迫ろうという試みである。主な成果としては,まず与えられた部分構造論理(のシークエント計算)について証明論の基本定理(“補題を用いて間接的に証明できることは直接的にも証明できる”こと)が成り立つための必要十分条件を代数的に与えたことがあげられる[10]。現在提唱しているのは,非古典論理における代数的証明論のプログラムであり,これはさまざまな論理的公理を証明論的難易度に従って階層づけ,そして証明論的手法と代数的手法の相互作用を通じて新しいタイプの結果を出していこうというものである[2]。鍵となるのは,証明論の基本定理は代数の言葉でいえば完備化に相当するという洞察である。これにより証明論的研究と代数的研究を結び付けることが可能になり,部分構造論理一般の可能性と限界を画定するという目標が一気に現実味を帯びてきた。具体的成果としては,まず選言特性と計算量を関連付けることにより,多くの部分構造論理がPSPACE困難であることを証明した[4]。証明論的手法を代数の文脈に直接適用することにより,多くの剰余束の等式クラスが完備化について閉じていることを証明した[5]。研究)代数多様体や複素多様体の双有理幾何学を研究している。小平次元,多重種数,不正則数,代数次元などの双有理不変量を用いて多様体の構造を解明している。このうち標準因子に関係する不変量を特に重視している。標準因子についてのアバンダンス予想は飯高加法性予想などを導き,双有理幾何学の中心問題と考えられる。思われる多様体の具体的構造に興味があり,ザリスキ分解など代数多様体の因子の数値的性質に関わる研究や,楕円ファイバー空間,トーラスファイバー空間の構造についての研究などを行ってきた。