(位相幾何学の研究)3次元トポロジーにおける代数的および圏論的な構造に興味を持ち研究している。Jones多項式やWitten-Reshetikhin-Turaev不変量などの量子不変量は,タングルの圏やコボルディズムの圏などから,ベクトル空間の圏や加群の圏など代数的に定義される圏への関手として構成される。このような関手を定義するには,量子群と呼ばれるHopf代数が用いられる。次元多様体と絡み目のクラスパーに沿った手術により生成される同値関係について研究した。よる)と対応している。代数の「作用」を許容するようなものと,その量子不変量への応用について考察した。型の不変量を構成した。不変量を統一するような不変量を構成した。代数に付随する量子不変量に一般化した。手術により与えるための必要十分条件を与える。よる予想)を証明した。最近は量子群の圏化についても研究を行っている。の圏化においてリボン元に対応する複体を構成した。ホモロジー群)について考察した。圏化された量子群のいろいろな代数的構造を明らかにすることと,それをトポロジーへ応用することを目標として研究を進めている。竜輝(確立論)主にランダム媒質中の確率過程の研究を行っている。この分野の研究は空間的に一様でない媒質における物理現象を理解するという動機から始まったが,二重のランダムネスが生み出す多様な現象の定式化や解析の過程で数学的にも新しい概念や手法が生まれてきた。模型に関わる研究を中心に行ってきた。Anderson模型は不純物を含む結晶中での電子の運動を記述するモデルとしてP.W.Andersonによって提唱されたモデルであり,そこではとくに低いエネルギーを持つ電子が結晶の中の小さな領域に局在することが議論されている。Andersonの議論は数学的に厳密な証明ではなかったが,その後の多くの数学者の努力によりとくに合金型と呼ばれる,ポテンシャルの配置は規則的であるが高さ(形状)がランダムなモデルに対しては理解が進んできている。一方でポテンシャルの配置がランダムなモデルについては研究が遅れており,合金型に近いと見なせるPoisson配置の場合を除いてほとんど結果が無かった。そこで[1,2,3]では格子点をランダムに揺動したモデルを考察し,作用素の無限体積極限におけるスペクトル分布の挙動を決定した。Anderson模型に対応する拡散過程の局在についても,精密な定量的評価を目指して研究している。MolchanovやSznitmanによる先行研究があり,合金型のポテンシャルで短距離の影響力を持つ場合には拡散過程が通常の時間の平方根のスケールより小さい領域に局在することは知られていた。一方で長距離の影響力を持つ場合は異なるスケールで局在が起こることが予想されていたが,これを[4,5]において実際に確かめた。一般の確率場として長距離相関を持つポテンシャルを扱うことは今後の課題である。最近はAnderson模型のポテンシャルに小さな因子を掛けたときにそれがあるランダムでない作用素で近似される,いわゆる均質化の問題も考えている。ポテンシャルの分布に適当な仮定をおけば一次近似は比較的容易であるが,その周りでの揺らぎに関する中心極限定理にあたる結果も示すことができた。高次元では中心極限定理における揺らぎの中心を,均質化の極限ではなく統計平均に取る必要があるように思われ,両者の違いを記述することはこれからの課題である。polymerと呼ばれるモデルの研究も行い,とくに劣加法エルゴード定理が使えない状況で自由エネルギーの存在を示す方法などについて調べている。和久(離散最適化とアルゴリズムの研究)グラフ理論,あるいは,組合せ論などの離散的な構造を解析する研究,あるいは,それらの構造を利用した最適化やアルゴリズムの研究を行っている。代表的な研究としては,単調な論理関数の双対化問題を研究している[1]。単調な論理関数の双対化問題とは,与えられた論理積形からそれと等価な単調な論理和形を求める問題であり,数理計画,人工知能,データベース,分散システム,学習理論など様々な分野に現れる数多くの重要かつ実用的な問題と(多項式時間還元の意味で)等価であることが知られている。よる準多項式時間で解けることは示されているが,未だに多項式時間で解けるかどうか分かっていない。この双対化問題は,単調論理関数の論理積形,論理和形という2つの双対的な表現が与えられたときに,それらが等価であるかを判定する問題や人工知能分野において重要な役割をもつホーン理論におけるホーンルールと特性ベクトル集合という双対表現の等価性判定問題とも関連する[2]。列挙分野においてその計算量が未解決であった多くの問題がこの双対化問題に準多項式帰着可能であることがわかってきた[3,4]。推論分野における論理仮説の補完問題に対して,広く信じられていた予想を覆し,最も重要なクラスであるホーン推論において,逐次多項式時間で可能であることを示した[5]。発展作用素は,放物型方程式ほど顕著ではないが,その分散性(異なる周波数の波が異なる速度で伝播する性質)に由来する平滑化効果を持ち,これは非線形方程式を解析する際に重要な道具となる。研究を飛躍的に進展させた。現在までの研究では,方程式の線形部分の性質に基づいたフーリエ制限ノルム法に,個々の方程式の非線形部分がもたらす相互作用の影響を考慮した修正を加えるというアイデアにより,精密な結果を得ることに成功した[1-5]。ここ数年は主として周期境界条件下での(即ちトーラス上での)初期値問題に取り組んでいる。トーラスのようなコンパクトな空間上では,解の分散性に由来する平滑化効果は大幅に制限されるが,方程式の線形部分のもつ振動の周波数が非線形部分の周波数からずれている状況(非共鳴状態)において,フーリエ制限ノルム法や部分積分により方程式を繰り返し変形する手法(一種のノーマルフォーム)を用いることである程度の平滑化効果を引き出せる。これを活用し,初期値問題の適切性や解の爆発等について非周期的な場合と対応する結果を得た[5-8]。現在は初期値問題の解の一意性を証明するための一般的な枠組みの開発や,微小摂動させた方程式から元の方程式への解の収束問題に取り組んでいる。周期境界条件下では,十分な平滑化効果を得られない共鳴状態にある周波数がどれくらいあるかを見積もることが重要となるが,波の振動は離散的な波数(格子点)に制限されているので,特定の条件をみたす格子点の組の個数を評価することが必要であり,組合せ論的な知識がしばしば有用となる。現在までに非線形シュレディンガー方程式[9]や,より複雑な共鳴構造を持つ回転流体の方程式[10]に対して初等的な組合せ論に基づいた共鳴構造の解析を行っており,共鳴相互作用が解の振る舞いに与える影響について今後解明したい。裕一郎(数論幾何の研究)私は,遠アーベル幾何学という観点を中心として,双曲的な代数曲線,及び,それから派生する代数多様体の数論的基本群の研究を行っている。つの予想を定式化した。[5],[7]において遠アーベル予想の研究が,そして,[1],[6]においてセクション予想の研究が行われている。性を保つことが同値であるという事実が証明されている。以下の多重双曲的曲線に対する遠アーベル予想が解決されている。版の成立と対比すると興味深い。セクションが有理点から生じるためのいくつかの必要十分条件が与えられている。[2],[3]では,望月新一氏と共同で,組み合わせ論的遠アーベル幾何学の研究を行った。表現の忠実性を証明した。捻りの一般論を展開して,その帰結として,曲線のモジュライ空間上の普遍曲線に対する幾何学版遠アーベル予想を解決した。数論的基本群という観点を通じて,しばしば,アーベル多様体に対する概念の類似的概念を,双曲的曲線に対して考察することができる。[4],[8],[10]では,そういった概念に関する研究を行った。[4]では,玉川安騎男氏と松本眞氏によって研究が始められた双曲的曲線に対するモノドロミー充満性についての研究が行われている。双曲的曲線に対するモノドロミー充満性という性質は,楕円曲線に対する虚数乗法の非存在という性質の類似と考えられる。場合に否定的に解決した。[8],[10]で行われている研究の中心的な対象は,数体上の双曲的曲線の穏やかな点である。これは,松本眞氏によってその研究が始められた概念であり,アーベル多様体の等分点の双曲的曲線に対する類似と考えることができる。予想との関連についての議論が与えられている。[10]では,数体上の一点抜き楕円曲線の穏やかな有理点の有限性が証明されており,この有限性は,数体上のアーベル多様体の有理等分点の有限性の曲線類似と考えることができる。理論の研究を行っている。作用素を通じて特徴付けて,そして,その系として,望月新一氏による巾零固有束の通常性の有限エタール被覆に対する安定性の問題を否定的に解決した。理論など数学・物理の様々な分野と関連する面白い対象である。理論と関係のある予想値で次元を上からおさえることを示した([6]も参照)。進多重ゼータ値に膨大な線形関係式が存在することを示している。理論だけでは説明できない関係式が存在し,その一部は保型形式と関係することも分かった([2],[6])。進等圧予想との関係も明らかにした([2],[6])。型の非可換化”の方向性の疑問についても[2]で言及した。[4]の内容は玉川安騎男氏からの質問へ返答である。数跳躍軌跡についての結果を拡張した。理論を用いて局所普遍変形環を調べることが核心になってくる。進体だけでなくその有限次不分岐拡大にも拡張した)。可除性などにより統制される事実を見つけた([7])。還元についてこれまで知られていなかった現象である。還元の研究において部分的にであれ一般的な規則を見出したので,それと手がかりにより統一的な視点も模索したい。対応の拡張の研究への応用や相互作用も期待される。近年は,望月新一氏による宇宙際幾何学のさらなる発展の方向性で同氏と共同研究をしている。ゼータ関数との関連性を示唆する1/2が現れる。ゼータ関数と関係する。変換の現象が起きている。ゼータ関数と関係させることができるのではないかと期待して共同研究を進めている。モチーフなどでそれぞれ関連する専門家と議論を進めることもしている。慶(幾何学の研究)シンプレクティック幾何学(特にハミルトン系のフレア理論)と,関連する主題について研究している。大域シンプレクティック幾何学における記念碑的な結果であるグロモフの圧縮不可能性定理は,擬正則曲線を用いてシンプレクティック多様体の「二次元的な幅」(シンプレクティック容量)を測ることで示された。その後ホーファーらは,シンプレクティック容量の研究と,ハミルトン系の周期軌道の研究とが密接に関わることを見出した。(定量的なフレア・ホモロジー)の理論へと深化した。私はこれらの研究の発展や応用を目標にしている。レーブ流に対して証明した[6]が挙げられる。級の閉補題が成立しない(エルマンによる結果)ことと比較すると驚くべき結果である。対して定義される一種のフレア・ホモロジーである埋込接触ホモロジーの理論,特にそれに伴うスペクトル不変量(一種のミニマックス値)に関する最近の進展(ハッチングスとその共同研究者達による)を用いる。級の閉補題を証明した。これは,球面の場合に限っても長年未解決であった問題である。それと並行して,いわゆるストリング・トポロジーの基礎付けにも取り組んでいる。閉多様体の余接束のフレア・ホモロジーと,自由ループ空間のホモロジーが同形であるのは(ヴィテルボ等による)基本的な事実であるが,この対応においてフレア・ホモロジー上の自然な積(パンツ積)は,自由ループ空間のホモロジー上の(チャス・サリバン)ループ積に対応することが知られている。フレア・ホモロジー上の代数構造の研究においては高次の積や余積が自然に現れるが,これらを記述するにはストリング・トポロジー側の代数構造を鎖複体のレベルで実現する必要があると考えられる。(横断正則性をはじめとする)諸々の技術的な困難のためこの方向の研究はあまり進んでいない。[8]においてド・ラム鎖という道具を用いて多様体の自由ループ空間の新しい鎖複体モデルを提案し,チャス・サリバンにより発見されたホモロジー上のBV(バタリン・ヴィルコヴィスキー)構造を鎖複体レベルで再現することに成功した。同変ホモロジー上の演算を扱う枠組みをつくる研究が進行中である。その他の研究として,シンプレクティック幾何の手法(特に,シンプレクティック・ホモロジーを用いて定義される容量)を応用して周期ビリヤード軌道の長さの評価を与えた[1]とそれに関連する[2],[4],[5]や,シンプレクティック・ホモロジーの積構造を利用して(ハミルトン系の立場からは)最も重要なシンプレクティック容量のひとつであるホーファー・ゼンダー容量の評価を与えた[3]などがある。(数値解析,数値計算法の開発)数値解析の分野での基礎的な数値計算法の開発およびその解析を中心に行っている。これまでの主な研究内容は,フーリエ型積分変換の高速高精度計算の研究である。無限区間の収束の遅いフーリエ型積分の計算はさまざまな理工学の分野で必要とされるが,絶対収束しないような収束の遅いフーリエ積分は,十数年ほど前までは計算機で値を計算することが困難であった。この計算困難性の問題は,無限区間のフーリエ積分の計算が応用上非常に重要であるという背景から,日本や海外の多くの研究者を悩ませてきた。(DE公式)の提案を行い,この困難を克服した[1],[2],[3],[8],[11]。これらの公式の提案により,収束の遅いフーリエ積分が通常の有限区間の積分と同程度の手間で計算可能となった。本論文のアルゴリズムは,有名な数学ソフトウェアMathematicaでの数値積分``NIntegrate''で採用されている。[4],[5],[7],[10]がある。連続オイラー変換は,収束の遅い,または緩やかに発散するフーリエ積分を速く収束するフーリエ積分に変換するための方法として私が考案したものである。この連続オイラー変換を応用することで,今まで計算が困難だった収束の遅いまたは緩やかに発散するフーリエ積分に対する高速高精度の数値計算が可能になった。definition)の連続版は存在しないと記されていて(pp.11),この連続オイラー変換の発見はその記述を覆すものであり,数値解析の分野において,この発見は今後さらに大きな革新をもたらすものであるとの予測がついている。今後の研究課題は,この連続オイラー変換の研究を発展させ,さまざまな数値計算に応用することである。高速高精度化を行った[6],[9],[12]。)の信頼性と計算効率をともに向上させる方法の提案を行った。この方法を用いることでDE公式の誤差の信頼性を大きく向上させることができ,さらに計算時間の短縮も可能となった。IMT公式と,高橋秀俊・森正武のDE公式があるが,IMT公式はその多くの改良版も含めて,DE公式に漸近性能で劣っていた。この論文では,DE公式と同じ漸近誤差を達成するIMT型積分公式を初めて提案した。フーリエ積分の計算の一環として,汎用で高速なFFT(高速フーリエ変換)ライブラリの作成を行った。FFTに再帰的なバタフライ演算をさせることでメモリーアクセスを高速化したものである。このライブラリはWEBで一般公開し,多くの教育機関や企業で用いられている。今後はさらに多くの数値計算ライブラリの開発および改良を行う予定である。(理論計算機科学の研究)計算機科学の一分野にプログラミング言語の意味論がある。これはプログラミング言語が供える様々な機構を数学的および論理学的にモデル化して調べ,得られた知見を実際の言語の設計や改良に還元する研究分野である。この分野において以下の研究を行ってきた。プログラムの最適化や安全性の検証を行う上で必要不可欠なのがプログラムの挙動の静的な分析である。プログラムが引き起こす入出力やメモリのアクセス,非決定的選択といった副作用の分析には,エフェクトシステムと呼ばれる型理論的なアプローチが広く用いられている。現在はモナドに類似した構造である次数付きモナドに関心がある。[7]では一般的なエフェクトシステムの圏論的意味論を次数付きモナドを用いてを与えた。氏との共同研究[8]で与えた。プログラミング言語の性質を調べることの多くは,「プログラムの解釈がある性質を満たす」ことを示す問題に帰着される。この問題を解くには,その性質を満たす部分モデルの存在を示せばよく,特にラムダ計算では論理関係と呼ばれる手法が頻繁に用いられてきた。年代に入り,ラムダ計算をモナド型で拡張してプログラミング言語の持つ様々な機構を表現することが提案されると,モナド型に対する論理関係の定義が様々な研究で問題となった。いうモナドのための論理関係の構成法を提案した。この構成法の特徴はパラメータを変える事で様々な論理関係を導く事ができる柔軟さにある。この柔軟さを応用し,[5]で,値呼び関数型プログラミング言語の二つのモナド的意味論の間に大域的な関係が成立することを示すための十分条件を与えた。この結果は幅広いクラスの表示的意味論に対して適用でき,副作用を持つ関数型プログラミング言語の意味論の比較や,安全性の検証に有用である。関数型プログラミングに関連する話題として,融合変換の研究を行った。いう手法を背景としていることが知られている。[3]の研究後,これらの融合変換と属性文法の両者をシステマティックに分析,導出する枠組として,トレース付きモノイダル圏における属性文法の定式化を[2]で提案した。関手の合成として定式化できる事を示した。帆(代数幾何学の研究)代数幾何学,特に正標数の代数多様体の特異点解消について研究している。特異点解消は代数幾何学の重要な問題の一つである。次元までしか知られていない。大学の松木謙二氏と共同で研究を進めている。場合の特異点解消の構成的証明を正標数の場合にも通用するように翻訳することをその骨子とする。場合の構成的証明は,代数多様体の各閉点に不変量を導入し,その最大軌跡を爆発するという方針で与えられる。この不変量の定義の際に鍵となる概念が,最大接触超曲面と呼ばれる非特異な超曲面であるが,正標数の場合は最大接触超曲面が常に存在するとは限らない。いう概念を導入してその構造を解析することで,先頭生成系と呼ばれる最大接触超曲面の代替物を導入する。先頭生成系は正標数においては必ずしも非特異な超曲面を与えるとは限らず,このことに由来する様々な困難が現れる。基礎付けを与えたのが[1],[2]である。設定下で機能させる為には様々の変更,調整が必要である。実際に機能する不変量を確立するため,現在は以下の二通りの方向から研究を進めている。一つの方向は本来想定していた対数微分飽和を相対微分飽和と呼ばれる特殊な微分によるより小さな飽和で置き換える方法である。この場合不変量の非増加性は保証されるが,最終状態の一つである単項型における非特異性が保証されず,更なる解析が必要となる。枠組み下での再証明を与えた。この結果は初めての構成的な証明という意味で価値があり,技術的懸案の一つであった同伴改変の代数化と共に松木氏との共著として[3]にまとめた。当面の目標はこの手法を未解決の全空間四次元の場合に拡張することである。この単項型用の不変量は,巧妙に機能するがその意味付けは明らかではない。そこで高次元に拡張する為の指針を得るために,[3]と同じ状況下で単項型用の新しい不変量を導入した[6]。この不変量は,その後の処方箋が確立している緊密単項型と呼ばれる状況を単項型における最終状態の一つと捉え,緊密単項型への近さの尺度と古典的な剰余重複度を組み合わせることによって定義される。安定性と呼ばれる剰余重複度の制御を特殊な状況下ではあるが確立したことなどが長所である。一つの方向は技術的理由から一旦退けていた根基的飽和を組み込んだより大きな飽和を用いる方法である。概説と共に[4]に所収)。哲学上は根基的飽和を含める方が自然なのでこの方針で進展を得る為に特異点解消のアルゴリズムを根基的飽和と両立するべく基礎から改造する試みを進めている。最後に,特異点解消とはやや趣きが異なるが超平面配置の自由性についても研究している。枚以下の中心的平面配置に関する寺尾予想の別証を与えた。(離散数学・離散アルゴリズムの研究)離散幾何学における一研究課題であるグラフやリンケージの剛性に関してその組合せ的側面の研究を行なってきた。ユークリッド空間内に埋め込まれたグラフの各辺を棒材,各頂点を節点と捉えることでグラフの局所剛性や大域剛性を定義することが出来る。一般的な埋め込みに対する剛性は一般剛性と呼ばれており,Asimov-Roth(1978)によって一般局所剛性が,Gortler-Healy-Thurston(2010)によって一般大域剛性がグラフの性質であることが示されている。2次元の場合,Maxwellの条件によってグラフの一般局所剛性が組合せ的に特徴付けされることがLaman(1971)によって示されているが,3次元以上の場合においてはMaxwellの条件は十分ではなく,特に3次元一般剛性の組合せ的特徴付けは剛性理論における重要な未解決問題である。同様に大域剛性に対しては,2次元の場合Jackson-Jordán(2005)によるConnelly予想の肯定的解決によって組合せ的特徴付けが与えられているが,3次元以上は未解決である。この一般剛性/大域剛性の組合せ的特徴付け問題を解決することを目標として,これまで幾つかの部分的成果をあげてきた。一般性の仮定が成立たない対称な埋め込みのリンケージに対する理論展開や関連するアルゴリズム設計問題に対しても一定の成果を得ている。TayとWhiteleyは,分子グラフと呼ばれる特殊なグラフクラスに対しMaxwellの条件が3次元一般剛性の必要十分条件であると予想した。[1]では,この予想を肯定的に解決した。この主張から導かれる高速かつ頑健な分子構造の自由度計算アルゴリズムは,幾つかのタンパク質の挙動解析ソフトウェアに組み込まれており,本結果はこれらの応用研究に対する理論的妥当性を与えている。[4]ではグラフの大域剛性の組合せ的特徴付け問題に取り組み,大域剛グラフを逐次的に構成するための新たな手法を提案し,局所剛性に対する頂点冗長性が大域剛性の十分条件であることを証明した。関する大域剛性予想が容易に導かれる事を示した。我々の例は,剛体ヒンジ構造と呼ばれる構造モデルの大域剛性特徴づけから得られたものである。Connelly-Jordán-Whiteley(2013)は剛体ヒンジ構造の大域剛性の十分条件を予想したが,その条件が実は必要十分で成立することを証明した。[2,3,9,6]ではゼオライト等の結晶構造の振動や対称性の高いメカニズムに潜む組合せ的性質の解明に向け,既存の有限グラフに対する理論の拡張を行った。次元周期グラフに拡張可能である事を証明している。この成果に触発され[3,9]では,群ラベル付き商グラフ上の新たなマトロイド構成法を構築し,既存の成果や幾つかの未解決問題がそのマトロイドの表現理論から従う事を示した。次元剛性定理の拡張を行った。論文[7]では,剛性判定問題と行列補完問題の類似性を利用して,階数制限付き行列補完問題の解の唯一性を解析し,組合せ的十分条件の導出を行った。論文[10]では,行列補完問題の解空間の構造を解析した。マイナーとして含まない球テンセグリティ構造の普遍剛性の特徴づけを導いた。Connelly-Gortler(2015)によって指摘された普遍剛性の特徴づけと半正定値計画問題の面的縮小法の関係に着目し,論文[11]では行列補完問題における面的縮小回数の組合せ的特徴づけを行った。理論は群の自由作用の分類について飛躍的な成果をおさめた。完全系列と呼ばれる道具を用いて,幾何学的対象を特性類の計算から求まる対象である「法写像類群」と,二次形式の線型代数から求まる対象である「L-群」とに帰着させる方法であった。群作用が自由作用でない,より一般の場合を考えれば問題設定は複雑になる。完全系列」の構成は,各部において様相の異なる作用を扱うために開発された道具であった。多様体の分類が特性類の計算に帰着できるが,偶数位数の群については新たな困難が伴う。Mackey構造のような代数的構造の構成が望ましい。構造を同変構造群に与えることができたが,一般の状況でも「同変向き付け」を利用した一般化が可能と思われる。構造のような代数的構造の構成が望ましい。構造を同変構造群に与えることができたが,一般の状況でも「同変向き付け」を利用した一般化が可能と思われる。具体的な分類問題に結び付ける立場からは,「同変(equivariant)」な分類に関する情報よりも「等変(isovariant)」な分類に関する情報の方がはるかによく知られている。後者の方がより直接に代数的構造に結び付けることができるからで,さまざまの特性類を用いた結果が多くの人たちによって得られている。多様体における「同変」な情報と「等変」な情報とを橋渡しする手掛かりが必要となる。群の作用が比較的単純な場合,とくに半自由な作用についてはいくつかの結果が得られているが,より一般的な群作用についての状況は極めて複雑でありより深い構造が存在していると考えられるので,その解明,特に偶数位数の群の作用の解明を目指して研究している。surgery)の方法は,ともにこうした代数構造の記述のために有効な道具と思われる。古典的な幾何的手法にこれらの新しい代数化やカテゴリー論的な手法と結果を適用することによって,多様体の幾何構造の解明のための結果を出してゆきたい。(幾何学的表現論の研究)幾何学的表現論の文脈において,あるスキームの位相的なコホモロジーと別のスキーム上の連接層のコホモロジーを結びつけるような現象を見つけ,定式化および証明することを目標に研究を行っている。スキームの代数幾何と結びついている。なす環の変形とみなすことができる。ホモロジーに実現することができる。予想と呼ばれる組み合わせ論の問題に現れる多項式と一致することを示した。位相的なコホモロジーを用いて解釈できることを示している。予想を理解できないか,というのが基本的な問題意識である。予想のような非自明な等式をより広く一般化できるのではないかと期待している。スキームの場合に証明した。最近ではこの予想を同変量子コホモロジー環の記述に一般化できないかと考えている。(代数幾何学の研究)代数幾何学,特にファノ多様体の研究を主にしている。ことで,極小モデル理論やケーラー幾何等で重要な対象である。私はファノ多様体の双有理的な側面に興味がある。安定性,の研究を進めてきた。現在は主として(4)に取り組んでいる。年に向井茂氏により提示された向井予想とは,ファノ多様体のピカール数と指数との関連性についての予想である。私は[1,2,4]にて,主張を可約化,対数化するなどして,この予想をより一般化したうえで考察した。[1]では「向井予想が従えば一つ次元の大きい対数的向井予想が従う」という,帰納的に予想を考える上での第一段階に当たる結果を得た。,[3]にて可約な代数多様体上の半端末モデルの存在を証明した。これは,正規代数曲面の極小特異点解消の存在という有名な事実の,可約かつ高次元版に相当する。次元ファノ多様体のことを対数的デルペッツォ曲面という。全リストを与えることに成功した。分類方法を発展させることで得られた。7]にて様々な特殊な対数的デルペッツォ曲面を分類した。安定であることは同値である。氏により独立に証明された。安定性の定義は複雑で,判定が容易ではない。安定性の十分条件であることを証明した。氏と独立に証明した(論文は投稿中)。この付値安定性は体積函数を使って定義され,極小モデル理論的に自然な条件である。安定性が具体的に判定可能になるような理論が構築できることを期待している。Interaction,GoI)と実現可能性解釈の研究を行っている。GoIはGirardにより始められた線型論理の意味論の一つで線型論理のカット除去に関する研究がその端緒である。Curry-Howard同型を通してGoIを多相型線型ラムダ計算の意味論と見なすことができ,さらにプログラミング言語の重要な機構である不動点演算子のGoI解釈について研究がなされている。Scottらによって整備された圏論的枠組を持つことが挙げられる。与えれらたプログラミング言語に対する完全抽象性を満たすモデルを与えることはプログラム意味論の研究において1980年代から取り組まれてきた問題であり,その動機はプログラミング言語の計算可能性を特徴づけるという哲学的問題意識とプログラミング言語の検証への応用の2つ挙げられる。実際ゲーム意味論を用いたプログラミング言語の観測的同値を検証する研究がある。ゲーム意味論は完全抽象性問題に対し多くの結果をもたらした強力な意味論である一方で,ゲーム意味論の定義は初等的であり,また,与えられた言語に対して完全抽象性を満たすゲーム意味論があるか,どのようにそれを定義すべきかという問題は与えられた言語ごとに取り組まれている。いった状況に対し,GoIの圏論的枠組みを通してゲーム意味論を捉えなおすことで新たな「ゲーム意味論」を構成することを目指している。GoI意味論の研究においては不動転演算子の解釈をどのように与えるべきかという問題すら十分に議論されていなかった。[2]において星野は標準的なGoI解釈は不動転演算子の解釈の取り方によらず多相型線型ラムダ計算の妥当(adequate)な意味論とはならないことを観察し,実現可能性解釈を用いた圏論的モデルの構成から多相型線型ラムダ計算の為の妥当なGoI意味論を与えた。最近ではGoIの圏論的枠組みがもたらす一般性に着目することで量子的データを扱う量子ラムダ計算や計算効果をもつラムダ計算の為のGoI解釈を統一的な手法により与えることを行った。[6]の結果に応用することによる体系的なプログラム検証手法の構築を考えている。空間の幾何学について研究しています。次元ポアンカレ予想の証明に使われたことでも注目を集めました。私は特にリッチ流の幾何学的側面に興味を持って研究しています。論文[1-4]ではコンパクトとは限らない多様体上のリッチ流,特に古代解を扱っています。古代解とは,過去に無限時間存在するリッチ流方程式の解のことで,リッチ平坦計量や縮小リッチソリトン等を含み,リッチ流の特異点のモデルとなる重要な概念です。コンパクト多様体上のリッチ流は最大値原理により様々な非負曲率条件を保つことが知られていますが,一般に非コンパクト多様体上では最大値原理が成り立たないことがあり得ます。論文[4]では,非コンパクト多様体上で最大値原理的議論を用いて,曲率がピンチされた完備な古代解とリッチソリトンに関する剛性定理を証明しました。空間などの距離空間を扱っています。空間とは,その曲率がある定数以上であることを意味する不等式を満たす距離空間のことです。空間について研究しました。空間とは逆に,その曲率がある実数κ以下であることを意味する不等式を満たす距離空間のことで,三人の幾何学者の頭文字を並べてそのように呼ばれています。重心の一意存在を証明しました。性に似た性質を持つ事も証明しました。075-753-7272。