曲がり方がわかれば、対象全体がどんな形か分かる→大域解析学が発展ガウス・ボンネの定理:微分幾何的データが,位相幾何的分野を復元する。この主題は、計量が正定値であるリーマン幾何学においては、20世紀以来の幾何学における大きな潮流となり、著しい発展をとげてきた。相対性理論における時空(ローレンツ空間)のように不定値の計量をもつ空間では、等長変換からなる離散群の作用は真性不連続とは限らない。このような現象も、大域的な構造に重要な役割を果たすはず。20世紀の幾何学の潮流に乗り遅れた感があった。(小野薫先生)https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/51/1/51_1_81/_pdf1998年10月の会議報告。Riemann-Rochの定理とその拡張とAtiyah-Singerの指数定理とその拡張とを並べることから始まった講演は「大域的対象と局所的対象,及びそれらをつなぐもの」をKeywordに進められた。ガウス曲率や平均曲率などが一定という条件が付くと、曲面の大域的な性質がどこまで決定されるかと言う事をメインテーマとしている。「大域トポロジー」もある。変分原理を通ることなく、運動方程式を書き下すことが出来る。運動方程式を求積するには第一積分(保存量)が必要である。方程式の自由度を落とすことができるからである。第一積分を見つけることは系における対称性を見つけることに等しい。系が対称性をもてば、その対称性に対応する保存量を見付けられるからである。並進対称性があれば運動量が保存し、回転対称性をもてば角運動量が保存する。このように、系の対称性と第一積分の存在との関係を一般的な状況下で研究したのは、ネーターが最初であるとされる。シンプレクティック幾何の歴史は物理とともに始まり進展していった。シンプレクティック幾何は大域的幾何としての発展を期待されていた。物理と密着な関わりを持ちすぎたが故に、シンプレクティック幾何学は20世紀前半から始まる大域的解析学とは一線を画している面がある。グロモフ以降のシンプレクティック幾何学は、大域解析学の大きな柱へと成長を遂げることになる。それ以降シンプレクティック幾何学は大域的トポロジーの一分野(シンプレクティックトポロジー)に躍り出ることとなる。微分幾何学や複素解析のいくつかの大域的な問題と関連があり、現在もなお多くの数学者によって研究されています。局所解析とは何か?大域解析とペアになるのが,局所解析という分野。局所解析の中の1分野が,超局所解析。理工学群数学類/大学院数学専攻http://nc.math.tsukuba.ac.jp/4fields/analysis/解析学とは、一言で言えば、微積分という操作に対する関数の性質を研究する数学の一大領域です。研究に関するフーリエ変換に基づく、1950年代以後に発展した技術を伴う解析のことを言う。パラ微分作用素の研究などが含まれる。「超局所」(microlocal)という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。大きい多様体に対して、重要な意味を持つ。微分方程式に対するガロア理論,すなわち「微分ガロア理論」について知るためのわかりやすい解説。歴史的な背景や,数学的なツール,応用例など。代数的ガロア理論と,微分ガロア理論の違い群を使って,微分方程式の解きやすさを測ることができる。ガロア理論の入門書のうち,わりと読みやすいもの。代数的ガロア理論と,微分ガロア理論の違い「微分ガロア理論」とは,微分方程式に対するガロア理論のこと。代数方程式に対するガロア理論は,「どのような代数方程式は解けるのか」を明らかにする。微分ガロア理論の研究を進めると,「どのような微分方程式は解けるか」がわかる。代数方程式の代わりに,微分方程式を考察したものが微分ガロア理論,というわけだ。代数的ガロア理論では「体の拡大」がテーマだった。微分ガロア理論では「微分体の拡大」を研究する。(微分体とは,通常の加減乗除に加えて微分操作を持つ体。)両者は非常に似通っている。代数的ガロア理論は,「ある対象が解けるとはどういうことか?」をうまく定義している。この理論をひな形・テンプレートにして,ほかの色んな対象に考察を広げることができる。現代数学における,ガロア理論の重要性がよくわかるだろう。線形微分方程式の可解性に応用できるようです。群を使って,微分方程式の解きやすさを測ることができる。微分ガロア群の大きさで測る理論」と言える。ある微分方程式が解きやすいかどうか,それは,「その微分方程式が持つ群(=対称性)」しだいで測られる,というわけ。この群を具体的に求めて計算するのはとても難しい。理論の面では非常に美しいのだが,実用的な計算の面では,まだまだブラッシュアップが期待される・・・といったところ。hiroyukikojimaの日記http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20110404/1301921889竹縄知之さんの「リー群と可積分性」。これは、「微分方程式のガロア理論」と呼ばれる理論の歴史を総覧してくれる記事だ。ガロアが解いたのは「n次方程式が、四則とべき乗根で解ける条件」だったこれを「微分方程式が、ふつうの積分とか、指数関数とかで解ける条件」に応用したものが、「微分方程式のガロア理論」なのである。竹縄さんは、これについてリッカチ方程式とかパンルヴェ方程式とかを主役に据えて解説している。微分方程式が解けることにも、「対称性とそれを表現する群」が本質的に関わっている、ということが理解できた。忘れさられそうになったこの分野の研究が、物理におけるソリトンとかイジング模型とかの研究で再び脚光を浴びる最後には、梅村浩やマルグランジュによって確立された最新の理論「微分ガロア理論」のおおまかな説明がついている。線形常微分方程式に対するガロア理論は,ピカール・ヴェッシオ理論と呼ばれる。微分ガロア群を求める方法として,モノドロミー行列やストークス行列たちの閉包を取るやり方があります。ガロア理論では、微分作用素から微分環、微分体などが定義され、そこに微分ガロア群というものを考えることができる。加減乗除の他に微分演算をもつ微分体を用いる。本書では,数学科3年までに学ぶ標準的な群,環,体,ガロワ理論の知識を前提として,微分体の理論を基礎から厳密に解説する。これは他書にはみられないものである。微分体の万有拡大の存在証明が大きな目標であり,またPicard-Vessiot拡大や強正規拡大のガロワ理論を解説する。微分方程式の解が初等的な演算で得られるかという問題,エアリー関数やベッセル関数の代数的独立性,パンルヴェ方程式の既約性などを論じる。つの公理を追加したものである。理論の創設者は,リー群で有名なLieさん微分ガロア理論を作りだしたのは,リー群で有名なLieである。Lieは,もともと「微分方程式の可解性」を調べたかった。場合は,解けないサインは「次数が5以上」というシンプルな条件だった。微分方程式の場合も,解ける条件・解けない条件をシンプルに,対称性を使って表現できるのではないか?彼はそのために,様々な代数的なアイデアを作りだした。Lieのアイデアをもとに,Lie群論の発展を手掛けたのが,カルタンやキリングといった数学者たちだ。おかげでLie群,Lie環といったツールが整った。線形の場合は,ピカール・ベッシオ理論が確立しているLieがもともとやりたかった事を引き継いだ人がいる。微分方程式はどんな場合に解けるのか?をLieの後で研究した後継者だ。「線形の常微分方程式」に限られるものの,ピカールやベッシオといった数学者が,Lieの志を継いで,微分ガロア理論を進歩させた。19世紀末~20世紀初頭にかけて研究された。のちに,コルチンという人が「微分体」という概念を使ってこの理論を整理し,微分ガロア理論はめでたく「微分体の理論」として定式化された。ここまでの成果を「有限次元の微分ガロア理論」という。edu-proj-001.pdfhttps://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/education/project/download/edu-proj-001.pdf19世紀にS.Lieは,GaloisとAbelの理論を微分方程式に打ち立てられたら。0302-0000-0537.pdfhttp://mcarchive.sfc.keio.ac.jp/ekamo/tmpDocRoot/books/sfcac/0302-0000-0537/0302-0000-0537.pdf?20110413164044線形微分方程式の解法は比較的初期からよく考察されていた。よる群論的アプローチがある。群論を微分方程式の解法に役立てようと努力した。流とは限らないが)で研究するのが本流となった。理論が見直され、再考察された。群論的考察への回帰である非線形の場合は難しく,発展途上にあるところが,線形の場合は,まあ何とか考察できたものの,非線形の場合は難しかった。ドラッホとかベッシオが頑張った割には,「非線形な微分方程式に対する微分ガロア理論」は労多くしてなかなか進歩せず,困難が見られたのだった。偏微分方程式ともなると,まだ全然理論が整備されていない。微分ガロア理論にはいまだに,興味深い未解決問題がたくさんある。環という形で大きな実を結んだ。努力にもかかわらず忘れ去られた形となった。微分ガロア理論の活用例として,物理への興味深い応用がある。「運動方程式が解けない場合」を判定できるのだ。運動方程式とは微分方程式だから。この点で,もっとも有名なのは3体問題だ。運動方程式は立てられるのに,それを解くことができない。してなのか・・・という疑問に,微分ガロア理論は答えを出している。ある運動方程式が解けるかどうか,解析的に軌道が求められるかどうかというのは,結局は「微分方程式が解けるか?」ということだ。いうことはつまり,その運動方程式から微分ガロア群を作って,この群の大きさを調べれば,解けるかどうか判定できる。これを,ハミルトン系の可解性の判別問題という。物理学のジャンルでいうと,「可積分系」だ。求積法で積分して解が求められるような系を対象とした数理物理だ。「5次方程式の解の公式が,いくら頑張っても見つけられないのはどうしてなのか?」という疑問と同じように,「3体問題の解が,解析的に求められないのはどうしてなのか?」という長年の悩みにも,ガロア理論が回答しているのである。解いたらいくつになるのか,という疑問ではない。絶対に解けない,と断言できるのか?解けない理由は何か?解けるタイプの判定法は何か?という疑問だ。この手の質問は,ガロア理論の最も得意とするところだ。微分ガロア理論には,もっと根本的な応用もある。それは,「積分を計算できない理由」がわかる,というもの。積分を実行できないケースをご存じだろう。楕円積分とか,対数積分とか,計算不能な積分はいっぱいある。微分方程式を解けという問題に等しい。解こうとすると,右辺を積分することになるからだ。積分できるかどうか?という観点は微分方程式が解けるかどうか,つまり「微分ガロア群が可解かどうか」という群の問題になるのだ。その群が可解でなければ,微分方程式は解けない。積分の計算も実行できない...という話になる。微分の計算は必ずできるのに,積分の計算は難しい。高校,大学と,むずかしい積分の計算に悩まされて解析学の単位を取った記憶を持つ方は多いだろう。その原因が,こんな高度な理論によって説明されるとはなかなかの驚きではなかろうか。頭をひねったところで,楕円積分や対数積分は計算できない。それは,何百年か先に,もっと数学が進歩したら解決できる...というものではない。計算できないことが証明されているのである。積分という操作が,いかに奥の深いものかがわかってとても面白い。これも,微分ガロア理論がもたらす数々の益の一つだ。Wikipediahttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96「積分できない」ケースを明確化する。いわゆる初等関数の定義にいくら沢山の関数を追加しても、その不定積分が初等関数にならない関数が存在する。理論を用いれば、どの初等関数の不定積分が初等関数で表せないか、決定することができる。微分ガロア理論は、ガロア理論のモデルを基礎にした理論である。持つ体の拡大を研究する。微分ガロア理論の殆どは、代数的ガロア理論と類似している。両者の構成における大きな違いは、微分ガロア理論のガロア群は代数群であり、代数的ガロア理論ではクルル位相を備えた副有限群である点である。とる操作と代数的操作を有限回ほどこすことによって得られる関数を,初等関数論の類似として議論した。微分ガロア理論の入門書は,いくつか出版されている。代数的ガロア理論に比べると,まだ数が少ない。代数的ガロア理論をもとにして作られた応用的な理論だし,現在進行中で研究が進められているからだろう。数学セミナーの連載記事を読んでいたので、割とすんなり読めました。Amazon.co.jphttp://www.amazon.co.jp/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%81%E3%81%AE%E3%81%B2%E3%83%BB%E3%81%BF%E3%83%BB%E3%81%A4-%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E7%90%86%E7%94%B1%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%82%8B-%E4%BA%95%E3%83%8E%E5%8F%A3-%E9%A0%86%E4%B8%80/dp/4535786313あとがきから引用:上野氏との勉強を通じて、リーが作りたかった「リー理論」は「微分方程式に対するガロア理論」なのだと知りました。Web上で入手可能な資料を探すと,下記のスライドは,雰囲気をつかむのにはいいかもしれない。大学で学ぶ「集合位相論」(実数論)で,無理数や超越数の個数がどれぐらい多いかについて。自然数や実数は無限に存在するが,その「多さ」の質は異なる。自然数は「番号を付けて順番に並べられる」ていどの多さ(=可算)だが,実数全体はそうではない。無理数や超越数も同じく,「番号を付けられない」ほど多い。これらの集合は,可算でない。無理数や超越数の集合が,可算ではないことの証明どうしてなのかというとその理由は,「基数の足し算」をすればわかる。「可算無限と可算無限を足し合わせても,高々,可算である。」という定理があり,この結果を使うのだ。実数を分割する方法はいくつかある。無理数に注目してみよう。実数は下記のように分割できる。有理数(可算個)無理数ここで,この2つの集合を足した結果は,実数全体である。無理数全体が可算だとすると,有理数と無理数の和集合も可算になってしまい矛盾が生じる。結論として,「無理数全体の基数は非可算」といえるのだ。実数を別の仕方で分割してみよう。超越数(有理係数の代数方程式の根として生成できない数)このように実数を分割した場合,前者は可算個だから,やはり後者は非可算個だとわかる。背理法などの数学的なテクニックを使っている。有理数(自然数を含む)代数的数(有理数に加え,一部の無理数も含まれる)非可算個(アレフ):カントール集合(3分割して真ん中を削除する,という操作を繰り返してできる図形)超越数(代数的でない数。πやeなどを含む)無理数(超越数を含む。一部の代数的な数も含む)実数(上記のすべてを含む)平面上に存在するすべての点3次元空間上に存在ずるすべての点,etc集合の濃度という観点で見ると,可算か,非可算かで言い尽くせてしまう。集合の種類は世の中にたくさんあるが,その特徴量ともいえる「濃度」は,パターンが限られる。Wikipediahttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E6%BF%83%E5%BA%A6#.E9.80.A3.E7.B6.9A.E4.BD.93.E6.BF.83.E5.BA.A6.E3.82.92.E3.82.82.E3.81.A4.E9.9B.86.E5.90.88連続体濃度をもつ集合の具体例。連続体濃度を持つ集合は、数学の様々な分野で表れる。以下によく知られた例を挙げる。おける任意の非退化な閉区間あるいは開区間。無理数全体の成す集合。超越数全体の成す集合。有理数全体の集合とか代数的数全体の集合は自然数と同じ濃度。