(大学の講義動画や,資格試験の対策)スマートフォン用の表示で見るスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。何なのか,わかりやすくまとめてみた。大域解析学とは,簡単に言うと:多様体上の解析学を,大域的に研究する理論。コンパクトな(閉じた)多様体上で,ラプラス方程式などの楕円型方程式を調べること。大域解析学を使うと,何ができるか:局所的な性質と,大域的な性質とを結びつけることができる。例えるなら,「木を見て森を知る」ことができる。以下で,それぞれ詳しく解説。局所解析とは何か?簡単に言うと,何をする分野なのか?扱うトピックがリストアップされている。現代数学における主要な研究対象の一つであり、球面やトーラスといった図形の一般化です。非コンパクト多様体といいます。楕円型方程式(ラプラス方程式の一般化)を調べるのが「大域解析学」です。予想の解決、ゲージ理論のトポロジーなど、既に古典となっている深い研究が多数あります。大域解析学の強いところは、局所的な性質と大域的な性質を結びつけるところです。等質空間論および解析学等の幅広い基礎理論からはじめる。自己共役作用素のスペクトル分解,固有関数展開の理論などのトピックがある。大域的な位相的構造と近い性格をもつものまで様々な幅がある。局所均質性に着目すると、リー群や等質空間との結びつきが深くなり、不連続群が局所と大域を結ぶ主役として、近年、リーマン幾何を超えた枠組みで盛んに研究されている。幾何構造の入れ方が一意的であるときを剛性といい、その逆の場合は、自由度そのものも研究対象になる(変形理論)。後者の典型例としては、曲面の変形のあらゆる可能性を一挙にみると、曲面の写像類群、その分類空間が現れるが、これがリーマン面のモジュライ空間として複素幾何的扱いを許す対象である。共形場理論の数学的基礎を解説する。道具を用いて解明する。二つに大きく分けられる。この計量の変形に関して現れる線形、及び非線形の偏微分方程式に関する解析を中心に講義を構成したい。「木を見て森を見ず」とは言うものの,名探偵のような視点で木(局所)を観察すれば、森の形(大域)の“何か”は読み取れるかもしれない。古典的な数学の時代では、小さなスケールで起こることや局所的な座標を用いて説明できることが主に研究されていた。現代の数学では、大きなスケールで起こることに関心の対象が拡がり、それに向けてさまざまな数学概念や手法が開発されてきている。一般には大域的な現象を理解するのは大変難しい。「局所→大域的な形」というモチーフの典型的なもの。大域的な形を統制する主役になる。最近手がけ始めたスペクトルの研究(大域解析)の雰囲気を伝える。同種の局所幾何構造が唯一つしか入らないとき剛性定理が成り立つという。逆に、同種の幾何構造の入れ方に自由度があるときは、その自由度そのものを研究対象にすることができる(変形理論)。リーマン幾何の範疇では、剛性定理が成り立つ状況が多いが、その例外として、閉じた曲面上には曲率が-1のリーマン構造(双曲構造)で相異なるものが連続無限あることが知られている。弦理論などさまざまな分野に現れる重要な概念。