解析力学ってだいたいこういう考え方であってる？

1. まず普通の微分方程式で書かれた系がある
2. 系をスカラー値関数 L(q, q̇, t) の Euler-Lagrange方程式の解として書き直す。するとこの関数の定義域を制限することで制約つきの問題を自然に導出できるようになる。 こうして得られた問題は実際の物理的な制約と一貫する。また極値問題との対応が得られるのも利点。このとき q̇ は L においては q とは独立な変数だが、方程式を考えるときには dq/dt を代入するためこの名前がある。
3. 新たな変数 p を導入し、 pq̇ がわかっていることを利用してLegendre変換を適用すると H(q, p, t) が得られる。この p は一般化運動量と呼ばれるが、この「運動量」を速度の定数倍というイメージで捉えると誤解のもと。 p/q̇ ではなく pq̇ を参照して導出するため、 q̇ とは双対関係にあることに注意が必要。この形に変換すると H が見慣れた物理量に対応するほか、 (q, p) 全体である余接バンドル T*M に対して直接 H を定義することで元の多様体の構造を忘れて対称的に議論を進められる利点がある。