Title: A Useful Solution of the Coupon Collector's Problem,
Abstract: The Coupon Collector's Problem is one of the few mathematical problems that
make news headlines regularly. The reasons for this are on one hand the immense
popularity of soccer albums (called Paninimania) and on the other hand that no
solution is known that is able to take into account all effects such as
replacement (limited purchasing of missing stickers) or swapping. In previous
papers we have proven that the classical assumptions are not fulfilled in
practice. Therefore we define new assumptions that match reality. Based on
these assumptions we are able to derive formulae for the mean number of
stickers needed (and the associated standard deviation) that are able to take
into account all effects that occur in practical collecting. Thus collectors
can estimate the average cost of completion of an album and its standard
deviation just based on elementary calculations. From a practical point of view
we consider the Coupon Collector's problem as solved.
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Das Sammelbilderproblem ist eines der wenigen mathematischen Probleme, die
regelmä{\ss}ig in den Schlagzeilen der Nachrichten vorkommen. Dies liegt
einerseits an der gro{\ss}en Popularität von Fu{\ss}ball-Sammelbildern
(Paninimania genannt) und andererseits daran, dass es bisher keine Lösung
gibt, die alle relevanten Effekte wie Nachkaufen oder Tauschen
berücksichtigt. Wir haben bereits nachgewiesen, dass die klassischen Annahmen
nicht der Realität entsprechen. Deshalb stellen wir neue Annahmen auf, die
die Praxis besser abbilden. Darauf aufbauend können wir Formeln für die
mittlere Anzahl benötigter Bilder (sowie deren Standardabweichung) ableiten,
die alle in der Praxis relevanten Effekte berücksichtigen. Damit können
Sammler die mittleren Kosten eines Albums sowie deren Standardabweichung nur
mit Hilfe von elementaren Rechnungen bestimmen. Für praktische Zwecke ist das
Sammelbilderproblem damit gelöst.