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A Coleção Textos de Matemática foi lançada em 1993 pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, com a publicação de três monografias que serviram de apoio às aulas de Mestrado (números 1, 2 e 3 da coleção). Essas monografias tinham, para além desta finalidade didática, características de material de iniciação à investigação nas áreas a que diziam respeito. A coleção foi relançada num segundo fôlego, correspondendo a um plano de edição de textos de apoio às disciplinas de licenciatura da responsabilidade do Departamento de Matemática. Um dos objetivos da coleção é o de fornecer aos estudantes textos universitários de alta qualidade científica e pedagógica em língua portuguesa.
Maria Adelaide Carreira
Maria Suzana Metello de Nápoles
Variável Complexa (2016)
Este texto destina-se a uma primeira abordagem da Variável Complexa, em língua portuguesa. Apresenta a teoria elementar com uma exposição simples, embora rigorosa, cobrindo os assuntos que normalmente fazem parte dos programas que abordam este tema. O desenvolvimento teórico é sempre acompanhado de exemplos.
Análise Matemática I (2014)
Este texto tem como principal objetivo servir de apoio à lecionação do primeiro semestre de Análise Matemática para as licenciaturas em Matemática e Matemática Aplicada da FCUL.
O nível de detalhe com que as matérias são apresentadas corresponde ao desejo de desenvolver no estudante hábitos de rigor que ele não terá eventualmente encontrado antes de entrar na Faculdade, procurando-se que o rigor não fosse sinónimo de formalismo nem inibisse a destreza do cálculo. Existiu também a preocupação de apresentar, sempre que apropriado, exemplos de aplicação dos assuntos estudados.
Versão em papel: 10,00€ cada
Medida e Integração (2011)
Este texto reformula e amplia uma publicação informal anterior do autor na mesma área e visa constituir um elemento de apoio e de estudo complementar para a disciplina Integral e Aplicações do terceiro ano da Licenciatura em Matemática. Para além do estudo das medidas e dos correspondentes integrais de funções positivas e vetoriais, é abordada uma introdução à aplicação deste estudo na área da Análise Funcional.
Anéis e Corpos - uma introdução (2011)
Este texto foi preparado para os alunos de Álgebra II do 2. ano da Licenciatura em Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Aqui se apresentam os conceitos e resultados que constituem as bases da Teoria dos Anéis, em particular da dos Anéis de Polinómios numa indeterminada, e da Teoria dos Corpos. A matéria teórica é ilustrada com exemplos e acompanhada de exercícios
Teoremas Clássicos de Integração - Um Curso Avançado (2010)
Neste livro são abordados temas diversos relacionados com a integração de funções reais ou complexas de uma variável real. Para além de uma teoria detalhada dos integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes, o livro expõe os resultados mais relevantes sobre a teoria das funções definidas por integrais paramétricos e inclui teoremas menos divulgados sobre a permutabilidade de integrais.
Neste livro começamos por apresentar a teoria da factorização dos números naturais, por ter sido o modelo para o desenvolvimento da teoria geral. Tentámos caminhar sempre no sentido de motivar as estruturas mais abstratas a partir de exemplos e resultados mais concretos e simples.
Cada um dos capítulos apresenta, depois de uma pequena introdução histórica, um tratamento elementar da teoria, a partir das definições básicas. No primeiro capítulo, depois de um estudo dos reticulados completos, modulares e distributivos, é apresentado o teorema de Jordan-Hölder. No segundo capítulo, depois dos conceitos e resultados mais gerais, estudam-se módulos livres e módulos de comprimento finito. No terceiro capítulo estuda-se o produto tensorial de módulos, com uma atenção especial aos espaços vetoriais.
Fundamentos da Geometria, 2.ª Ed. (2011)
Neste livro que agora se edita José Joaquim Dionísio desenvolve nos seis primeiros capítulos uma geometria absoluta, com os seus axiomas de incidência, de ordem, de congruência e de continuidade, com resultados que são válidos quer na geometria de Euclides, quer na de Lobatchevski, quer dizer, independentemente do axioma das paralelas que se adote. Uma tal geometria é incompleta no sentido de admitir enunciados indecidíveis e o autor ocupa-se então no capítulo 7 da geometria euclidiana (em que se admite a unicidade da paralela) e no capítulo seguinte da geometria lobatchevskiana (na qual se aceita que por um ponto não pertencente a uma reta passa mais do que uma paralela à reta dada). Num último capítulo definem-se e estudam-se algumas propriedades interessantes de inversões espaciais, rotações e translações. Em anexo, o livro apresenta um manuscrito digitalizado do Prof. José Joaquim Dionísio, datado de outubro de 1993, com o título Sobre Alguns Pontos Fundamentais de Geometria que coincide, em grande parte, com o texto editado mas que também o completa.
Alguns dos resultados aqui abordados, embora clássicos, não se encontram com facilidade nos manuais universitários correntes e não são habitualmente mencionados nos cursos de Análise. Estão neste caso, entre outros, o estudo das funções arcsin z e arctan z com z complexo, o produto infinito do seno, os desenvolvimentos das funções circulares em série de frações parciais e a utilização dos números de Bernoulli e de Euler nos desenvolvimentos em série de potências.
Curso Elementar de Equações Diferenciais, 3.ª Ed. (2011)
Como auxiliares de estudo, inclui-se um resumo da matéria (pré-requisitos de Análise Matemática e síntese dos principais conteúdos aqui apresentados), exemplos resolvidos (ao longo do volume) e uma seleção final de várias dezenas de exercícios.
O livro desenvolve o suficiente das teorias dos grupos finitos e dos carateres de grupos para demonstrar o chamado Teorema pa qb de Burnside, e simultâneamente desenvolve o suficiente da teoria dos grupos finitos para poder apreciar o "peso" deste teorema. Acontece que a matéria que tem de ser desenvolvida para estes fins proporciona uma base de conhecimentos muito razoável sobre grupos finitos e as suas representações.
O conceito de homotopia de caminhos, ou mais geralmente, de aplicações contínuas, é essencial para a compreensão de inúmeras questões de Análise Real e Complexa assim como de Geometria e de Topologia. A par do conceito de homologia, constitui a base da Topologia Algébrica desde o seu nascimento enquanto disciplina autónoma da Matemática, estando ambos na origem de importantes conjeturas. Além destes conceitos e do respetivo enquadramento teórico necessário a uma disciplina do último ano da licenciatura, apresentamos uma introdução à Teoria dos Feixes, prolongamento natural da Topologia Algébrica, e que é linguagem básica de algumas áreas de investigação atuais.
O estudo dos operadores autoadjuntos não necessariamente limitados em espaços de Hilbert foi historicamente motivado pela eclosão da Mecânica Quântica. Nesta monografia apresenta-se a demonstração do teorema espectral para tais operadores e estudam-se algumas das respetivas consequências fundamentais, tendo como "pano de fundo" a referida motivação física. As três partes em que se divide o curso são outras tantas etapas nesse processo: o conceito de operador "associado a observável físico" sugere que se analise, numa primeira parte, a noção de adjunto no quadro das correspondências ("operadores multívocos") em espaços de Hilbert, com uma incursão pela teoria da representação das formas sesquilineares. Em seguida estuda-se a estrutura de Álgebra de Banach como quadro privilegiado para o estabelecimento de resultados em "teoria espectral", tema cuja importância para a resolução dos problemas propostos já antes se vislumbrara. Aproveita-se para abordar algumas questões, oriundas de diversas áreas da Matemática, cuja resposta é oferecida, inesperadamente, pelas proprieda- des da referida estrutura. Regredindo na escala da abstração volta-se aos operadores "não-limitados", passando pelas álgebras-B* e operadores normais limitados, para, finalmente, se estudarem diversas formas do Teorema espectral e respetivas consequências, sem esquecer a motivação física que subtende toda a exposição.
Geometria Diferencial - Uma Introdução Fundamental, 2.ª Ed. (2002) - 3.ª Ed. online
Este livro tem como ponto de partida um curso semestral de Geometria Diferencial, destinado aos estudantes do terceiro ano da licenciatura em Matemática, mas o seu conteúdo vai bastante mais além do que o que é possível abordar nesse curso. O objetivo central é o estudo elementar das subvariedades de um espaço euclidiano, tanto do ponto de vista da Topologia Diferencial como do da Geometria Diferencial. As variedades diferenciáveis abstratas são abordadas apenas no último capítulo, onde se demonstra, em particular, o teorema do mergulho de Whitney, que permite estender a estas muito do que foi estudado anteriormente. Alguns aspetos que distinguem este trabalho da maioria dos outros livros com o mesmo caráter introdutório incluem o estudo das variedades com bordo e com cantos e o dos fibrados vetoriais com as fibras contidas num espaço euclidiano; a segunda forma fundamental destes é aplicada, por exemplo, na abordagem das propriedades clássicas das curvas e das hipersuperfícies. Na tentativa de tornar o livro tão autosuficiente quanto possível, são dedicados dois capítulos a uma revisão rápida do Cálculo Diferencial, no quadro dos espaços vetoriais de dimensão finita, e ao estudo da existência e regularidade das soluções de equações diferenciais ordinárias, relativamente às condições iniciais e a eventuais parâmetros.
Versão Digital (3.ª edição): PDF
Versão em papel (2.ª edição): 17,00€ cada
Este livro tem a sua origem num curso semestral de Análise em Variedades, destinado aos estudantes do último ano da licenciatura em Matemática, embora, como é usual, aborde mais assuntos do que os que é possível tratar nesse curso. A sua linha diretora é o estudo do teorema de Stokes sobre as formas diferenciais e das aplicações deste à Topologia das Variedades. O ambiente geométrico em que se trabalha foi mantido tão concreto quanto possível, com o duplo objetivo de chegar depressa a resultados interessantes e de não desmotivar o estudante cujo interesse principal não seja a Geometria, mas que necessita conhecer os resultados fundamentais que se aplicam em Análise. Nesse sentido, as variedades em estudo são sempre subvariedades de um espaço euclidiano. O objetivo de dar um sabor analítico a certas questões, abordadas usualmente de modo mais abstrato, levou à definição do integral das formas diferenciais a partir da do integral das funções, este último apoiado na definição da medida de Lebesgue sobre as variedades. No fim de cada capítulo é apresentada uma lista de exercícios, destinados, de modo geral, a complementar os assuntos expostos no corpo daquele.
Versão em papel: ESGOTADO
Equações Diferenciais - Uma Introdução, 3.ª Ed. (2005)
A introdução à teoria das equações diferenciais ordinárias constitui o objeto fundamental deste texto; tratando-se de área vastíssima do conhecimento matemático e respetivas aplicações, a escolha dos assuntos a desenvolver, bem como dos métodos de exposição, obriga à adoção de critérios evidentemente discutíveis. Procurou-se privilegiar os aspetos mais formativos, tanto do ponto de vista matemático, procurando "revisitar" os temas considerados como pré-requisitos (essencialmente as bases da análise real, da álgebra linear e do cálculo diferencial em ℝ), como do ponto de vista da interação entre a matemática e outros campos do conhecimento. Optou-se por abordar também o estudo das equações e sistemas de equações de diferenças (lineares de coeficientes constantes), atendendo ao paralelismo com os "correspondentes" sistemas de equações diferenciais, não se perdendo assim a oportunidade de confrontar modelos "contínuos" e "discretos" que ocorrem naturalmente em diferentes setores das ciências.
Além dos inúmeros exemplos tratados no texto principal e dos exercícios propostos ao longo da exposição e no final de cada capítulo, termina-se com uma coleção de exercícios resolvidos.
Teoria de Galois, 4.ª Ed. (2003)
Fundamentos de Análise Infinitesimal, 5.ª Ed. (2011)
Versão em papel: 13,50€ cada
Integral de Riemann e de Lebesgue em RN, 4.ª Ed. (2006)
Procurou-se motivar o encadeamento dos assuntos, fazendo ressaltar os aspetos intuitivos da teoria, mas simultaneamente desenvolver todas as demonstrações; espera-se, assim, que o texto possa ser útil a leitores com níveis variados de formação matemática.
Versão em papel: 13,00€
Miguel P. N. Ramos
Este volume constitui uma introdução à Teoria de Pontos Críticos e suas aplicações. Inclui, além do material que se pode considerar clássico, resultados obtidos durante as últimas décadas, permitindo uma visão de certas tendências da investigação atual nesta área.
O conteúdo, que foi lecionado em cursos de Mestrado na Universidade de Lisboa, é acessível a um licenciado com conhecimentos sólidos de Análise, Geometria e Topologia.