De fato, para que haja uma forma mais precisa de medição, as unidades artificiais devem ser padronizadas. A necessidade de padronização das unidades de medida ocorreu, segundo Caraça (1998), especialmente pelo intercambio estimulado pelo comércio.
Na situação de aprendizagem, os grupos perceberam a necessidade e criaram meios de resolver o problema decorrente do uso de unidades de medida de comprimento não padronizadas, dando indicações do uso do instrumento de medida, quando sugerem o barbante e a porta como referencial. Essa percepção pode assinalar o entendimento de que o comprimento de dada parte do corpo ou objeto, escolhido como unidade de medida única, pode ser transposto para outro objeto – pedaço de pau ou barbante – com o propósito de servir de instrumento de medida. O instrumento de medida evoca, para a unidade artificial, a forma da unidade natural, isto é, seu aspecto discreto.
Com essa nova forma de utilização dos números naturais, o restabelecimento da correspondência biunívoca entre a quantidade de unidades de medida e os números naturais, os povos da antiguidade observaram outro problema, que foi essencial para a elaboração da fração: como representar numericamente o resultado dessa comparação, quando a unidade padrão não cabe um número inteiro de vezes no objeto a ser medido?
Esse problema, resolvido pelos povos antigos com a criação da fração, não é tão antigo assim, quando se trata de restabelecer uma relação de ensino, na qual o aluno pense criativamente sobre o conceito de fração.
Os alunos mediram os terrenos e apresentam um registro próprio para as dimensões menores que o cúbito – as sobras. Em debate sugeriram a criação de outra unidade de medida padrão menor que o cúbito do faraó, o palmo do faraó, com a qual realizam novas medições. Nesta nova medição, mesmo utilizando duas unidades padrão: o cúbito e o palmo, ocorre a reincidência de sobras. Os alunos respondem individualmente e em grupos questões sobre as dificuldades encontradas. Criar indefinidamente novas unidades artificiais: cúbito, palmo e dedo; desconexas entre si, não oferece campo fértil para a criação da fração uma vez que permite que a fixação do aspecto discreto na unidade artificialmente criada e a permanência na forma numérica que lhe é correspondente, o número natural.
De tal modo, para que os alunos refletissem sobre o limite encontrado na medição experimental de uma extensão linear e, estabelecessem a relação entre as unidades de medida menores e o cúbito, embrião do conceito de fração, sugeriu-se a questão: como medir as sobras sem criar novas unidades artificiais?
Decidido o modo de medir sem as novas unidades artificiais, oferecemos para cada grupo duas tiras de papel representativas da lateral de um terreno, para que os alunos medissem e registrassem a medição. Estas tiras de papel tinham dimensões diferentes e ambas não comportavam um número inteiro de vezes o cúbito. Apresentamos o quadro contendo o resultado das medições e da discussão do grupo sobre duas questões, que são: 1) para medir as sobras criou-se uma nova unidade artificial – o palmo. Isto foi suficiente? e 2) como medir as sobras sem criar novas unidades artificiais?; os alunos elaboraram o painel que segue, para o debate.
As respostas à primeira questão confirmam a preocupação com a persistência das sobras, compreendendo-as, de modo mais geral, para qualquer unidade artificial criada, como podemos observar no grupo 5 ao manifestarem: “Não, porque sempre dá novas formas de medida para medir terrenos porque sempre sobra espaço”.
Quanto às sugestões para a resolução da segunda questão, como medir as sobras sem criar novas unidades artificiais, notamos quatro elaborações diferentes. Na primeira, observada nos grupos 5 e 6, parece que a forma de solução para o problema está em usar apenas os cúbitos e os “pés” do faraó na tarefa de medir, conforme ilustrado no Quadro I. Estes alunos observam que a criação de novas unidades artificiais não resolve o problema das sobras, no entanto, não parecem ponderar o problema, avaliando a possibilidade do surgimento de sobras como uma ocorrência possível com o uso de qualquer unidade artificial, ou seja, não a interpretam de modo mais geral e, assim, estabelecem que cúbitos e pés podem dar conta da tarefa de medir a lateral do terreno.
Na segunda elaboração ocorre a transposição da dimensão da sobra para o cúbito, evidenciada quando utilizam as marcas para representá-la. Manifestam a existência da sobra de modo essencialmente externo, caracterizando uma interpretação perceptiva desta dimensão. Esta elaboração é observada no grupo 3, quando manifestam: “e a sobra nós medi com o cúbito e marcamos com uma canetinha” e, igualmente, no grupo 4. Observa-se que o conteúdo – aspecto contínuo – se sobrepõe à forma numérica conhecida, o número natural e sem estabelecerem uma correlação forma e conteúdo, representam a dimensão apenas de modo perceptivo.
A terceira elaboração é observada nos grupos 2 e 4. Estes grupos assinalam, para resolver o problema das sobras, respectivamente o dedo e o palmo como unidade artificial complementar ao cúbito, na medição, e estabelecem, diversamente, uma relação entre os cúbitos e essas unidades artificiais complementares, sendo que:
? O grupo 2 estabelece que o cúbito corresponde a catorze dedos e argumenta em favor da utilização de dedos como unidade de medida geral na medição de dimensões. Este grupo sugere que usemos o cúbito para medirmos dimensões muito grandes, fazendo a equivalência do cúbito aos 14 dedos, diminuindo a ocorrência das sobras, conforme evidencia Cami quando expõe “... cada cúbito é catorze dedos e quando a gente medi dois cúbitos são vinte e dois..., não, vinte e oito dedos”. A resolução no interior deste grupo, embora não resulte no estabelecimento da linguagem fracionária, como conhecemos atualmente, manifesta o vínculo que relaciona a dimensão da unidade de medida criada como parte da existente e;
? O grupo 4, embora não explicite a relação do palmo com o cúbito no Quadro I, no debate também apontam a relação entre a dimensão da unidade de medida criada como parte da existente, ao evidenciar que cada cúbito equivale a dois palmos. No entanto, considerando que palmos admitem a existência maior de sobras, este grupo propõe que as sobras, menores que o palmo, sejam identificadas de modo perceptível, marcando-as no próprio palmo, conforme ilustram.
O grupo 1 manifesta a quarta elaboração, com a subdivisão do cúbito a partir da sobra obtida. Conforme explicam para a classe, o quarto é resultado da comparação da sobra com o cúbito, ou seja, os alunos obtiveram uma sobra e observaram que ela cabe quatro vezes no cúbito e, deste modo, representa um quarto deste. Também se pode notar que este grupo utiliza uma forma numérica fracionária para representar a medida da sobra.
As ações dos alunos nesta atividade, sobretudo nas duas últimas elaborações, parecem indicar modificações que apontam para o estabelecimento de uma relação quantitativa entre as unidades de medida criadas – o dedo, o palmo e a sobra – e o cúbito, com a respectiva relação de equivalência a: catorze dedos, dois palmos e quatro quartos. Em nossa interpretação, esta modificação configurou a existência de uma orientação comum para ações concretas diante de um grupo de problemas que envolveu a necessidade de quantificação de aspectos contínuos unidimensionais, cuja dimensão não comporta um número inteiro de vezes a unidade de medida, essencial para a elaboração conceitual da fração. Podemos considerar que a conexão estabelecida por estes grupos entre a unidade de medida maior e a menor pressupõe mudanças na maneira de pensar. Ao modificarem os modos de funcionamento e regulagem de suas próprias ações, se adquire um modelo que as orienta num conjunto de situações semelhantes, caracterizando um pensamento teórico desses alunos.
Forma e conteúdo se inter-relacionam nesta elaboração quando se propõe a articulação da forma numérica na representação das sobras. A solução que propõe a medição com a unidade dedo parece ser sugerida para atender ao uso da unidade natural sem qualquer modificação. Entretanto o grupo 1 articula a forma numérica e usa a fração ¼ para estabelecer a correlação entre a sobra e a unidade de medida - cúbito.
A fração resulta da comparação da sobra com o cúbito, observando que ela equivale à parte que corresponde à subdivisão deste em quatro unidades.
Nossas análises apontam que os alunos pensaram sobre os aspectos discretos e contínuos dos objetos envolvidos na sua quantificação. Eles também elaboraram juízos sobre os aspectos envolvidos na quantificação do aspecto contínuo de grandezas uni, bi e tridimensionais, ao sugerirem soluções para o problema da divisão do terreno às margens do rio Nilo e organizarem os recipientes. Nessas elaborações foi possível perceber diversas inter-relações da forma e conteúdo caracterizadas, de um lado, como juízos, por estarem mais ligados aos aspectos perceptíveis e, de outro, como conceitos ou juízos mais amplos, por abrangerem ação e pensamento de forma mais geral.
A criação da unidade artificial por estes alunos mostra que o novo conteúdo – o aspecto contínuo – se modifica à base do aspecto discreto, inerente à contagem de unidades naturalmente separadas umas das outras. Nas soluções dadas isto pode ser observado quando buscam referência em objetos como: as árvores, a calçada da quadra, o tamanho do pé na solução que divide satisfatoriamente o terreno.
Ao refletirem sobre os aspectos importantes na marcação dos terrenos, os alunos evidenciaram que o problema torna-se real para eles visto que, de um lado, assinalam preocupações com a invasão de terras, localização do terreno e prejuízos no plantio e, de outro, usam para denominar as laterais do terreno uma linguagem própria, apontando que, diferente de ser considerado um retângulo, este desenho adquire significação real, correspondente à atividade com terrenos.