Em 1872 , o matemático alemão Richard Dedekind publicou uma obra intitulada Continuidade e Números Irracionais, dedicado ao estudo do problema:
Todo o ponto da recta produz nela um corte.
E sempre que se considere um corte na recta – repartição em duas classes (A) e (B) que satisfaçam as condições:
1ª - nenhum ponto escapa à repartição
2ª - todo o ponto da classe (A) está à esquerda de todo o ponto da classe (B) - haverá sempre um ponto P que produza o corte, isto é que separe as duas classes?
Nessa obra encontra-se pela primeira vez um tratamento rigoroso do conceito de continuidade e a resposta à pergunta acima. Vejamos como Dedekind põe a questão: "... nós atribuímos à recta a qualidade de ser completa, sem lacunas, ou seja, contínua,. Mas esta continuidade, em que consiste? A resposta a esta pergunta deve compreender em si tudo, e somente ela permitirá desenvolver em bases científicas o estudo de todos os campos contínuos. Naturalmente, não se consegue nada quando, para explicar a continuidade, se fala, dum modo vago, de uma conexão ininterrupta nas suas partes mais pequenas; o que se procura é formular uma propriedade característica e precisa de continuidade que possa servir de base a deduções verdadeiras e próprias.
Pensei nisso sem resultado por muito tempo mas, finalmente achei o que procurava. O meu resultado será talvez julgado, por várias pessoas, de vários modos mas a maior parte, creio, será concorde em considerá-la bastante banal. Consiste ele na consideração seguinte:
Verificou-se que todo o ponto da recta determina uma decomposição da mesma em duas partes, de tal natureza que todo o ponto de uma delas está à esquerda de todo o ponto da outra. Ora, eu vejo a essência da continuidade na inversão desta propriedade e, portanto, no princípio seguinte: « se uma repartição de todos os pontos da recta em duas classes é de tal natureza que todo o ponto de uma das classes está à esquerda de todo o ponto da outra, então existe um e um só ponto pelo qual é produzida esta repartição de todos os pontos em duas classes, ou esta decomposição da recta em duas partes».
Como já disse, creio não errar admitindo que toda a gente reconhecerá imediatamente a exactidão do princípio enunciado. A maior parte dos meus leitores terá uma grande desilusão ao aprender que é esta banalidade que deve revelar o mistério da continuidade. A este propósito observo o que segue. Que cada um ache o princípio enunciado tão evidente e tão concordante com a sua própria representação da recta, isso satisfaz-me ao máximo grau, porque nem a mim nem a ninguém é possível dar deste princípio uma demonstração qualquer. A propriedade da recta expressa por este princípio não é mais que um axioma, e é sob a forma deste axioma que nós pensamos a continuidade da recta, que reconhecemos à recta a sua continuidade».
Em resumo Dedekind caracteriza a continuidade da recta por esta afirmação que é designada por axioma ou postulado da continuidade de Dedekind – todo o corte da recta é produzido por um e um só ponto dela, isto é qualquer que seja o corte (A,B) existe sempre um ponto da recta que separa as duas classes (A) e (B).
Quase na mesma altura o matemático alemão G.Cantor formulou a caracterização da continuidade de uma maneira semelhante, por isso a este enunciado se chama, com maior propriedade, axioma da continuidade Dedekind-Cantor.