EleiPar6dim.html
Contexto: um certo número de pessoas, os eleitores, têm de escolher de um modo democrático um de entre vários candidatos ou uma de entre várias alternativas.
Suposição: cada eleitor fornece uma lista (o seu boletim de voto ou lista de preferências) dessas alternativas, ordenadas de acordo com a sua ordem de preferência.
Problema: arranjar um processo, método ou algoritmo, um sistema eleitoral ou de votação, que decida, a partir do conjunto das listas de preferência, a que se chama o perfil eleitoral, uma ordenação das alternativas que reflicta o melhor possível as preferências dos eleitores.
(dinâmica de fluidos, cálculo variacional, navegação, geodesia, sistema métrico, oficial da marinha...)
Observação de 16 de Junho de 1770... (publicada em 1784 com data de 1781...)
(teoria das probabilidades, cálculo diferencial e integral, cargos políticos...)
Crítica sistema de Borda em 1785...
Gore, Bush, Nader
Eleição presidencial francesa de 2002 (1ª volta / 2ª volta)
Sistema Uninominal: A ordenação das alternativas é feita contando, para cada uma, o número de boletins de voto em que esta ficou colocada em primeiro lugar, e as alternativas são ordenadas por ordem crescente do correspondente número de votos obtidos.
Contagem de Borda: A cada posição do boletim de voto é atribuido um número de pontos: 0 para a última, 1 para a penúltima, etc..., adicionando-se 1 ponto quando se passa de uma posição para a imediatamente acima. Os pontos "ganhos" por cada alternativa são totalizados, e as alternativas são ordenadas por ordem crescente de pontos obtidos.
--- (n-1)
--- (n-2)
Sistema de Hare: Elimina(m)-se, em eleições sucessivas, a(s) alternativa(s) com o menor número de primeiros lugares, sendo as alternativas ordenadas por ordem inversa de eliminação.
Sistema Sequencial aos Pares com Agenda: Depois de acordada uma ordenação preliminar das alternativas, a que se chama uma agenda consideram-se os resultados de eleições de pares de alternativas, pela ordem dada na agenda, eliminando as derrotadas da agenda e prosseguindo até a agenda conter apenas um elemento. As alternativas são finalmente ordenadas por ordem inversa de eliminação da agenda.
Considere-se o seguinte perfil eleitoral de uma eleição envolvendo 30 eleitores e 4 alternativas:
11 6 5 3 5
Na tabela seguinte indicam-se, para este perfil, as ordenações finais para cada um dos sistemas eleitorais acima descritos:
Uninominal Borda Hare Seq. BDAC Seq. CABD
A : 11 D : 53 D C B
D : 10 B : 44 A A D
C : 9 C : 42 C B C
B : 0 A : 41 B D A
Deste exemplo se conclui que o resultado de uma eleição pode depender bastante do sistema eleitoral usado !
As condições seguintes parecem (à primeira vista...) ser imprescindíveis para que um sistema de votação democrático traduza as preferências dos eleitores.
Condição de Pareto (ou de unanimidade): Se a alternativa X ficou colocada acima da alternativa Y em todos os boletins de voto então na lista final deve ter-se X>Y. #ExI
. ... => X=Y
Definição: Se um perfil admitir um candidato que ganhe a todos os outros em eleições um-contra-um, esse candidato (obviamente único) diz-se o vencedor de Condorcet.
Critério do Vencedor de Condorcet (CVC): Se existir um vencedor de Condorcet, este deve ser o vencedor da eleição.
Monotonia: Se de uma eleição para outra, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos candidatos, a posição de um dos candidatos for alterada, em um ou mais boletins de voto, mas sempre a favor desse candidato, então a sua posição na ordenação final não deve ser inferior à posição em que ficou colocado na primeira eleição. #ExII
Independência das Alternativas Irrelevantes (IAI): Se em duas eleições distintas, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos candidatos, a ordem relativa de dois dos candidatos não foi alterada em nenhum boletim de voto, então a ordem relativa desses mesmos candidatos no resultado final deve ser a mesma. #ExIII
Igualdade (ou Anonimato): Permutar as listas de preferência, sem as alterar, não deve ter nenhum efeito no resultado da eleição.
Neutralidade: Se todos os eleitores cometerem o erro de trocar as alternativas X e Y, então basta trocar X com Y no resultado final para corrigir o erro.
I. O Sistema Sequential aos Pares com Agenda não satisfaz a condição de Pareto!
Considere-se o seguinte perfil
com agenda: ABCD.
Tem-se: ABCD --> ACD --> CD --> D ~~~~~~> D > C > A > B
D é o vencedor apesar de todos os eleitores preferirem B a D !
II. O Sistema de Hare não satisfaz a condição de Monotonia!
Considere-se o seguinte par de eleições, em que na segunda delas 3 dos eleitores alteram os seus boletins de voto de B > A > C para A > B > C, uma mudança favorável a A, enquanto os outros eleitores não alteram as suas listas de preferências.
eleição | 2ª eleição
12 9 7 3 | 15 9 7
A C B B | A C B
B A C A | B A C
C B A C | C B A
O candidato A, que ganhou a primeira eleição, perde a segunda quando só houve alterações a seu favor !
III. A contagem de Borda não satisfaz IAI.
Considere-se o seguinte par de eleições, em que alguns dos eleitores (4) mudam a sua lista de preferências, mas ninguém altera a posição relativa de A versus B.
7 4 | 7 4
A C | A B
B B | B C
C A | C A
B> A > C
Vê-se assim que a posição relativa de A e B é alterada de uma eleição para a outra.
Sistemas/Condições Pareto CVC Mono IAI
Uninominal sim não sim não
Borda sim não sim não
Hare sim não não não
Seq. Pares c/ agenda não não sim não
O Teorema de Arrow...
Em 1951, Kenneth Arrow (prémio Nobel da Economia em 1972) provou o seguinte resultado:
Teorema: Não existe nenhum sistema de votação que satisfaça simultaneamente as condições de Pareto, IAI e igualdade!
Ideia da demonstração: Pareto + IAI => existência de um ditador...
IAI não é realista...
O seguinte resultado, que pode ser usado para provar o teorema de Arrow (ver [Ta95]), põe em evidência o facto de que a condição IAI é demasiado "forte".
Teorema: Quando o número de candidatos (ou alternativas) é igual ou superior a 3, qualquer sistema que satisfaça as condições IAI e Pareto é um sistema que não admite empates.
Suponhamos que tal não acontecia, ou seja que existia um perfil para o qual há duas alternativas, X e Y, que resultam empatadas:
Na figura acima, a parte esquerda representa o perfil da eleição, ou seja o conjunto de todos os boletins de voto, havendo alguns onde a alternativa X está acima de Y e outros onde o contrário acontece, mas admite-se que uma dessas possibilidades não ocorra.
Seja Z uma terceira alternativa qualquer (cuja existencia é garantida por uma das hipóteses feitas). Uma vez que o sistema satisfaz IAI e a condição de Pareto, resulta que se, numa nova eleição, os eleitores com X > Y colocassem Z entre X e Y, enquanto que aqueles com X < Y colocassem Z acima de Y, ter-se-ia:
... Z ... Y ... => X=Y , Z>Y
Z>X ...
Agora, se todos os eleitores trocarem Y com Z, o que não altera as posições relativas de X vs. Y e de X vs. Z...
... Y ... Z ... => Z>X , X=Y
Z>Y...
o que contradiz a hipótese de o sistema verificar a condição de Pareto.
Em particular, resulta que um sistema que satisfaça IAI e a condição de Pareto desempataria o perfil completamente empatado:
o que mostra que a condição IAI faz autênticos milagres !...
O Critério de Condorcet não é inquestionável...
Saari, em [Sa97], dá um exemplo semelhante ao que se segue, mostrando que o vencedor de Condorcet não é invariante para a "adição de empates".
31 32 10 10
\/ (perfil empatado) |
A é o vencedor de Condorcet (58,5%) B é o vencedor de Codorcet (50,6%) !!!
Isto mostra que a condição CVC não é tão indiscutívelmente razoável quanto possa parecer numa primeira análise...
[Ar63] Kenneth J. Arrow, Social Choice and Individual Values, Yale University Press, 1963 (2ª edição) [original: 1951].
[Sa91] Donald G. Saari, A Fourth Grade Experience, CiteSeer 1991(?).
[Sa95] ______________, Basic Geometry of Voting, Springer-Verlag, 1995.
[Sa97] ______________, The Symmetry and Complexity of Elections, Complexity 2 (1997) 13--21.
[Sa99] ______________, Explaining all three-alternative voting outcomes, Journal of Economic Theory 87 (1999) 313--335.
[Sa00i] ______________, Mathematical structure of voting paradoxes I: pairwise voting, Economic Theory 15 (2000) 1--53.
[Sa00ii] ______________, Mathematical structure of voting paradoxes II: positional voting, Economic Theory 15 (2000) 55--101.
[SV98] ______________ and F. Valognes, Geometry, Voting, and Paradoxes, Mathematics Magazine 71 (1998) 243--256.