Palestras de Lagrange sobre o cálculo diferencial na École Polytechnique formam a base de seu tratado Théorie des fonctions analytiques, que foi publicado em 1797. Este trabalho é a extensão de uma idéia contida em um papel que ele tinha enviado para os jornais de Berlin em 1772, e seu objeto é substituir para o cálculo diferencial um grupo de teoremas com base no desenvolvimento de funções algébricas em série. Um método um tanto semelhante tinha sido previamente utilizado por John Landen na Análise de Resíduos, publicado em Londres em 1758. Lagrange acreditava que ele poderia, assim, se livrar dessas dificuldades, conectados com o uso de quantidades infinitamente grandes e infinitamente pequenas, para que os filósofos se opuseram no tratamento usual do cálculo diferencial. O livro é dividido em três partes: destes, os primeiros trata da teoria geral das funções, e dá uma prova algébrica de teorema de Taylor , cuja validade é, no entanto, aberto a questão; a segunda trata de aplicações à geometria; eo terceiro com aplicações à mecânica. Outro tratado nas mesmas linhas foram seus Leçons sur le calcul des fonctions, emitido em 1804 , com a segunda edição em 1806. É neste livro que Lagrange formulou sua célebre método de Multiplicadores de Lagrange, no contexto de problemas de cálculo das variações com restrições integrais. Estas obras dedicadas ao cálculo diferencial e cálculo das variações pode ser considerado como o ponto de partida para as pesquisas de Cauchy, Jacobi, e Weierstrass.
Em um período posterior Lagrange revertido para o uso de infinitesimais de preferência a fundar o cálculo diferencial no estudo de formas algébricas; e no prefácio à segunda edição da Mecânica, que foi emitida em 1811 , ele justifica o emprego de infinitesimais, e conclui dizendo que:
Quando compreenderam o espírito do método infinitesimal, e verificaram a exatidão de seus resultados, quer pelo método geométrico dos rácios de primeira linha e finais, ou pelo método de análise de funções derivadas, podemos empregar quantidades infinitamente pequenas como uma certeza e valioso meio de encurtar e simplificar as nossas provas.
Sua Résolution des équations numériques, publicado em 1798 , também foi o fruto das suas palestras na École Politécnica. Lá, ele dá o método de aproximação para as verdadeiras raízes de uma equação por meio de fracções continuou, e enuncia vários outros teoremas. Em uma nota no final ele mostra como Pequeno teorema de Fermat que
em que p é um número primo e um é primo para p, pode ser aplicado para se obter a solução completa algébrica de qualquer equação binomial. Ele também aqui explica como a equação cujas raízes são os quadrados das diferenças das raízes da equação original pode ser usada de modo a dar informação considerável quanto à posição e natureza dessas raízes.
A teoria da movimentos planetários tinham sido objecto de alguns dos mais notáveis dos papéis de Berlim de Lagrange. Em 1806 o tema foi reaberto por Poisson, que, em um papel lido antes da Academia Francesa, mostrou que as fórmulas de Lagrange levou a determinados limites para a estabilidade das órbitas. Lagrange, que estava presente, agora discutido o assunto inteiro de novo, e numa carta comunicada à Academy em 1808 explicou como, pela variação de constantes arbitrárias, o periódico e as desigualdades seculares de qualquer sistema de organismos que interagem mutuamente pôde ser determinado.
Euler propôs Lagrange para a eleição para a Academia de Berlim e foi eleito em 2 de setembro de 1756. Ele foi eleito Fellow da Royal Society de Edimburgo, em 1790, e um membro da Royal Society em 1791. Em 1808 , Napoleão fez Lagrange um Grande Oficial da Legião de Honra e um Comte do Império. Ele foi premiado com o Grande Croix do Ordre Impérial de la Réunion em 1813 , uma semana antes de sua morte, em Paris.
Lagrange foi agraciado com o prêmio 1764 da Academia Francesa de Ciências para o seu livro de memórias sobre a libração da Lua. Em 1766 a Academia propôs um problema do movimento do satélites de Júpiter, e novamente o prêmio foi concedido a Lagrange. Ele também ganhou os prêmios de 1772, 1774 e 1778.
Lagrange é um dos 72 proeminentes cientistas franceses que foram celebrado em placas na primeira fase do Torre Eiffel quando foi inaugurada. Rue Lagrange no 5º Arrondissement em Paris é nomeado após ele. Em Turim, a rua onde a casa de seu nascimento ainda está de pé é nomeado através de Lagrange. Cratera lunar Lagrange também leva seu nome.
Ele era de estatura média e um pouco formada, com olhos azuis e uma pele incolor. Ele estava nervoso e tímido, ele detestava polêmica, e, para evitá-lo, voluntariamente permitiu que outros levar o crédito por aquilo que ele mesmo tinha feito.
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