UNICAMP Cálculo 3, P1, 2011 - Noturno, Equações Separáveis e homogêneas, Prova antiga 8
UNICAMPCálculo 3, P1, 2011 - Noturno
Ache a solução tal que y 0 = 1
Vamos começar vendo se essa EDO é separável mesmo, para isso temos que isolar d y d x e ver se d y d x vai ser o produto de uma função só de x com uma função só de y .
Temos que fazer aquela integral do lado direito separado porque ela é um pouco mais complicada.
Vamos resolver fazendo
Vamos ao valor inicial agora, temos
Se olharmos a solução que achamos percebemos que aquela solução não possui o caso que x = 0 , isso porque temos x - 2 . Além disso, temos na integral 1 - y 2 no denominador, então não podemos, para essas soluções, ter a função y = 1 .
O que fazer agora? Vamos tentar ver uma solução que tenha essa solução inicial da EDO
Buscando um chute para solução, é isso mesmo um chute, agora ferrou né? Chutar nunca dá certo, mas repara que temos um chute que temos que tentar, que seria se y x = 1 .
Vamos ver se isso é solução, nós pegamos essa função porque é a função mais simples que temos que obedece a solução inicial.
y ' x = 0
1 + x . 0 = 1 1
Então podemos pegarão podemos pegar
Vou separar um passo só para comentar dessa coisa muito doida que aconteceu. Nós resolvemos a EDO e na letra c achamos uma solução que não faz parte das soluções que achamos resolvendo a EDO, na maioria dos exercícios nós achamos soluções necessariamente naquela parada, mas vamos colocar aqui o teorema que garante que tem sempre uma solução, que é o teorema da existência e unicidade.
Dada uma função f x , y tal que ela é continua em um retângulo R aberto a < x < b ; c < y < d , com f y também contínua em R . Então, dado um ponto x 0 , y 0 de R , temos que a equação diferencial
y ' = f x , y , y x 0 = y 0
Tem uma única solução definida em algum intervalo aberto contendo x 0 ,
Beleza, basicamente esse teorema garante que o PVI tem solução se aquela função f x , y é continua em um intervalo de x e y e a derivada em relação a y dessa f também é contínua nesse mesmo intervalo.
Vamos achar essa f x , y no nosso caso
f x , y = 1 y - y 1 x
Essa função é continua quando x ≠ 0 e y ≠ 0 , isso já mostra que o nosso caso da c mostra que aquela solução não necessariamente vai valer para x = 0 . Assim temos que procurar formas mais mirabolantes de achar a solução.
Quando isso acontecer vai ser um pouco mais complicado a parada, mas é só olhar bem as possibilidades que achamos soluções da EDO.