APLICAÇÃO DO MODELO HIPERCUBO PARA ANÁLISE DE UM SISTEMA MÉDICO-EMERGENCIAL EM RODOVIA - PDF
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Emanuel Salgado Weber
1 APLICAÇÃO DO MODELO HIPERCUBO PARA ANÁLISE DE UM SISTEMA MÉDICO-EMERGENCIAL EM RODOVIA v.7, n.1, p , abr Fernando César Mendonça Reinaldo Morabito Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal de São Carlos Caixa Postal São Carlos SP Resumo Em um sistema médico-emergencial, o nível de serviço é undamental, pois a qualidade de atendimento poderá ser a dierença entre a vida e a morte do usuário. Além da qualidade do atendimento, um dos componentes mais importantes do nível de serviço é o tempo médio de resposta a uma chamada emergencial. Entretanto, adquirir equipamentos e/ou treinamentos para a equipe, para reduzir este tempo de resposta, incorre em custos e investimentos adicionais. Nesta situação, aparece um importante trade-o entre o nível de serviço e o investimento no sistema. Para auxiliar a análise deste trade-o, há um modelo conhecido da literatura chamado hipercubo, que é baseado em teoria de ilas espacialmente distribuídas. Neste artigo, adaptamos e aplicamos o modelo hipercubo para analisar os Anjos do Asalto, um sistema médico-emergencial localizado ao longo da Rodovia Presidente Dutra entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo. Os resultados mostraram que o modelo hipercubo pode ser uma erramenta eetiva de apoio às decisões estratégicas e operacionais em sistemas emergenciais em rodovias. Palavras-chave: atendimento médico-emergencial, teoria de ilas, modelo hipercubo. 1. Introdução N osso cotidiano está cercado de situações em que serviços básicos são requisitados, tais como atendimentos médicos, policiamento, coleta de lixo, reparos a veículos, transporte coletivo, etc. Com o aumento da população, cresce a potencial demanda por tais serviços, e surge a
2 74 Mendonça, Morabito Aplicação do Modelo Hipercubo para Análise de um Sistema Médico-emergencial necessidade de melhorar o gerenciamento dos sistemas que os oerecem, para que seja garantido um nível de atendimento aceitável aos usuários. Em geral, o nível de serviço está relacionado com o nível de congestão do sistema, pois, é comum termos situações em que, num certo intervalo de tempo, há mais demanda por serviço do que a capacidade de atendimento do sistema. Um baixo nível de serviço pode gerar um prejuízo ao sistema não propriamente inanceiro, mas um prejuízo intangível, que é sua coniabilidade. Os serviços de atendimentos à população podem ser classiicados em três categorias: (i) Serviços de rotina (ou periódicos): coleta domiciliar de lixo, entrega de jornais, distribuição de correspondências. (ii) Serviços semi-emergenciais: reparos em rede de energia elétrica, água, saneamentos, teleonias. (iii) Serviços de emergência: ambulâncias, polícia, bombeiros. Nas duas primeiras classes, podem haver pequenos atrasos ou ilas de espera; já na terceira, o custo intangível é muito alto, azendo com que sistemas dessa categoria devam ser planejados com altos índices de ociosidade, para que a probabilidade de congestão ou espera em ila seja pequena. Algumas vezes, em um acidente traumático, poucos minutos de atraso no atendimento às vítimas podem representar a dierença entre a vida e a morte. Quando pensamos em gerenciamento de recursos de um sistema de atendimento médicoemergencial, não podemos esquecer que melhor qualidade em serviço, em geral, implica em maiores custos e investimentos. Independente da orma de inanciamento da empresa que gerencia o sistema de atendimento (público, privado ou cooperativo), é desejável que os recursos, não apenas inanceiros, sejam alocados da melhor orma possível. Cabe observar que este trade-o entre nível de serviço e custo (ou investimento) é típico em diversos outros sistemas de serviço e manuatura (FONTANELLA & MORABITO, 1997; BITRAN & MORABITO, 1999; MORABITO & LIMA, 1999). Neste artigo, adaptamos e aplicamos uma erramenta conhecida da literatura, o modelo hipercubo, para auxiliar nas decisões envolvidas em um sistema de atendimento médicoemergencial na Rodovia Presidente Dutra (Via Dutra), entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo. Em particular, tratamos apenas do trecho coberto pelos Anjos do Asalto, uma undação não-governamental e sem ins lucrativos, que presta socorro a acidentados entre as regiões de Lavrinhas (SP) e Pavuna (RJ) (igura 1). O desempenho do modelo é analisado a partir de dados reais coletados junto aos Anjos do Asalto. O modelo hipercubo, proposto por LARSON (1974) e estudado por diversos autores (SWERSEY, 1994), é uma importante erramenta para o planejamento de sistemas de serviços, especialmente os sistemas urbanos em que servidores se deslocam para ornecer algum tipo de serviço para clientes. O modelo aborda complexidades geográicas e temporais da região, baseado em resultados de teoria de ilas espacialmente distribuídas e aproximações a partir de análise Markoviana. Basicamente, a idéia é expandir a descrição do espaço de estados de um sistema de ila com múltiplos servidores, para poder representar cada servidor individualmente e incorporar políticas de despacho mais complexas. O modelo consiste em resolver um sistema linear que ornece as probabilidades de equilíbrio dos possíveis estados do sistema. Estas probabilidades permitem estimar diversas medidas de desempenho interessantes para o gerenciamento do sistema, tais como workloads (cargas de trabalho) dos servidores, tempo médio de resposta do sistema ou de cada servidor, reqüência de atendimento de cada servidor em cada região, entre outras. Alguns exemplos de aplicação do modelo hipercubo na literatura são: a localização de ambulâncias em Boston nos EUA (BRANDEAU & LARSON, 1986), o patrulhamento policial em Orlando nos EUA (SACKS & GRIEF, 1994), o atendimento a interrupções de redes de energia elétrica em Santa Catarina (ALBINO, 1994), a
3 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr localização de ambulâncias em um trecho da BR-111 (GONÇALVES et al., 1994, 1995), o programa de visitas de serviço social (LARSON & ODONI, 1981), entre outros. Extensões do modelo hipercubo oram consideradas em HALPERN (1977) e BURWELL et al. (1993). Outros modelos para localização de ambulâncias em cidades como Austin e Tucson nos EUA, e Bangkok na Tailândia, oram apresentados em EATON et al. (1985), GOLDBERG & PAZ (1991) e FUJIWARA (1987). Um exame do modelo hipercubo e outros modelos para análise de sistemas de atendimento emergencial pode ser encontrado em SWERSEY (1994). O presente artigo está organizado da seguinte maneira: na seção 2, descrevemos resumidamente o sistema Anjos do Asalto, com ênase nos aspectos do seu uncionamento importantes para a aplicação do modelo hipercubo. Na seção 3, revisamos brevemente o modelo hipercubo e discutimos algumas pequenas adaptações para sua aplicação no sistema estudado. Na seção 4, apresentamos e analisamos as medidas de desempenho obtidas por meio do modelo hipercubo, ao utilizarmos dados reais coletados junto à empresa. Na seção 5, aplicamos o modelo para explorar cenários alternativos, em particular, modiicando a coniguração do sistema para melhorar o balanceamento do workload entre as ambulâncias. Também analisamos os eeitos de variações nos parâmetros do sistema, por exemplo, a demanda dos usuários, para investigar a robustez dos resultados obtidos. Finalmente, na seção 6, apresentamos as conclusões do estudo e algumas perspectivas para pesquisa utura. 2. O Sistema Anjos do Asalto C onorme mencionado, o sistema Anjos do Asalto é uma undação não-governamental sem ins lucrativos, que presta socorro a acidentados e eridos ou pessoas que se sentem mal na Via Dutra. Tal sistema possui seis bases ixas ao longo da rodovia, e cada base é composta por ambulâncias de atendimentos de urgência e uma equipe composta por resgatistas, que azem os resgates necessários, e médicos, que azem os atendimentos de socorro propriamente ditos, além dos motoristas. Esta equipe só se movimenta em conjunto. As localizações das bases são: km 165-RJ (Pavuna), km 206-RJ (Japeri), km 227-RJ (Caiçara), km 258-RJ (Volta Redonda), km 311-RJ (Penedo) e km 18-SP (Lavrinhas), conorme ilustrado na igura 1. Há um posto central na cidade do Rio de Janeiro que monitora a rodovia por rádio. Qualquer movimento da ambulância, mesmo abastecimento, é avisado à central. Em princípio, a alocação de ambulâncias é coordenada: quando há um acidente, alguma testemunha avisa diretamente a central ou via Polícia Rodoviária, e a central encaminha a ambulância disponível mais próxima ao local do acidente. Entretanto, pode acontecer de a testemunha ou a polícia avisar diretamente a base. Neste caso, a base avisa a central via rádio e comunica o local do acidente. Após a privatização da Via Dutra, a concessionária possui veículos especiais que circulam pela rodovia, avisando a central se houver algum acidente. Nos dados coletados, grande parte dos chamados oram eitos dessa orma. A política de despacho é sempre alocar a ambulância mais próxima ao local da ocorrência. Caso esta esteja ocupada, a central procura alocar a segunda ambulância mais próxima do chamado (nesse caso, diz-se que ocorreu um atendimento de backup). Se a segunda ambulância também estiver ocupada, o chamado é transerido para a Polícia Rodoviária ou o Corpo de Bombeiros da cidade mais próxima ao local, ou seja, nunca é alocada a terceira ambulância mais próxima do chamado. Desta orma, o sistema nunca terá ilas de chamados, pois, se um chamado encontrar as duas ambulâncias mais próximas ocupadas, ele será transerido para outro sistema de atendimento. Também é possível que a ambulância ique ocupada sem sair para atender um chamado, mas atendendo alguém que peça auxílio na própria base (p.e., epilépticos, cardíacos com mal-estar, pessoas alcoolizadas). Neste caso, a central também é
4 76 Mendonça, Morabito Aplicação do Modelo Hipercubo para Análise de um Sistema Médico-emergencial Lavrinhas Penedo V.Redonda Caiçara Japeri Pavuna SP RJ Base 6 Base 5 Base 4 Base 3 Base 2 Base 1 Km 18-SP Km 311-RJ Km 258-RJ Km 227-RJ Km 206-RJ Km 165-RJ Figura 1 Esboço da rodovia com as suas bases de atendimento. inormada. Quando um chamado não é atendido pelos Anjos do Asalto, é considerado como perda do sistema. Em geral os médicos dos Anjos do Asalto dão os primeiros socorros, e transportam a vítima até o hospital mais próximo, só depois retornando à base original. No caso da vítima não ter condições clínicas para os métodos terrestres convencionais de transporte, os socorristas prestam os primeiros atendimentos e, via rádio, solicitam o helicóptero do Corpo de Bombeiros, retornando depois para a base. Os dados estão disponíveis em livros de registro, nos quais o operador da central anota todos os eventos ocorridos durante o dia. Não há nada registrado em computador. No livro é anotado o instante em que a central oi chamada, o local da ocorrência, a ambulância que oi despachada, e o instante em que a ambulância retornou à base, além de detalhes técnicos do chamado, tais como espécie do acidente, número de vítimas, encaminhamentos. 3. O Modelo Hipercubo no Sistema Anjos do Asalto O modelo hipercubo proposto em LARSON (1974) baseia-se na divisão da região em um conjunto de átomos geográicos. Cada átomo é considerado como uma onte independente solicitadora de serviços ao longo do tempo. Desta maneira, o modelo considera os chamados distribuídos tanto espacialmente quanto temporalmente na região. O atendimento aos chamados de cada átomo é realizado por servidores (no caso, ambulâncias), espacialmente distribuídos na região, que podem estar ixos em alguns pontos (bases), ou movimentando-se em subregiões (neste caso, seus movimentos deverão ser conhecidos ao menos probabilisticamente). Para um servidor, sua área de cobertura primária é o conjunto dos átomos para os quais este servidor tem prioridade de atendimento (i.e., é o primeiro a ser chamado). No caso deste servidor estar ocupado, outros servidores são chamados para atender à solicitação. O nome hipercubo deriva da descrição da disponibilidade dos servidores por meio do espaço de estados. Cada servidor pode estar livre (0) ou ocupado (1) num certo instante. Um estado particular do sistema é dado pela lista dos servidores que estão livres e ocupados. Por exemplo, o estado 110 corresponde a um sistema com três servidores, com o servidor 1 livre e os servidores 2 e 3 ocupados (note que 110 descreve o estado dos servidores da direita para a esquerda). Desta maneira, o espaço de estados do sistema é dado pelos vértices de um cubo. No caso de termos mais de três servidores, temos um hipercubo. O modelo trata tanto sistemas em que os chamados não atendidos aguardam em ila, quanto sistemas que não admitem a ormação de ilas, como é o caso dos Anjos do Asalto. A descrição detalhada deste modelo está além dos objetivos deste artigo; para mais detalhes, o leitor pode consultar LARSON & ODONI (1981) e MENDONÇA (1999). Para a aplicação do modelo, há nove hipóteses básicas: 1) Átomos geográicos: a região analisada é dividida em N A átomos geográicos. No caso dos Anjos do Asalto, estes átomos correspondem a trechos da rodovia, conorme é visto adiante. 2) Processos de chegada conorme processos de Poisson independentes: admite-se que os chamados de cada átomo j são gerados conorme um processo de Poisson, independente dos
5 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr outros átomos, com taxa média λ j (j = 1,2,...,N A ). A validade desta hipótese para os Anjos do Asalto é veriicada na seção 4. 3) Tempos de deslocamento do servidor: os tempos médios de viagem τ ij entre o átomo i e o átomo j (i,j = 1,2,...,N A ) deverão ser conhecidos ou estimados pelos conceitos de probabilidade geométrica. No presente trabalho, estes tempos oram estimados com base nas estatísticas de velocidades médias de viagem entre átomos, ornecidas pela empresa (MENDONÇA, 1999). 4) Servidores: existem N servidores espacialmente distribuídos ao longo de região, que podem se deslocar e atender qualquer um dos átomos. Essa hipótese é relaxada adiante, devido à política de despacho particular dos Anjos do Asalto descrita na seção 2. 5) Localização dos servidores: cada servidor, quando disponível, pode icar ixo em um átomo, ou se mover (p.e., em patrulhamento) dentro de uma área (neste caso, sua localização deverá ser conhecida, ao menos, probabilisticamente). Neste estudo, uma ambulância permanece em cada base da igura 1, à espera de um chamado. 6) Despacho de um servidor: a cada serviço solicitado, apenas um servidor é despachado para atendê-lo. Se não houver servidores disponíveis, poderá haver ormação de ilas (no caso de sistemas que permitem ilas), ou perda do chamado (no caso de sistemas que não permitem ilas), que então é transerido para outro sistema de atendimento. Conorme já discutido, este último é o caso dos Anjos do Asalto. 7) Política de despacho dos servidores: há uma lista ixa de preerências de despacho para cada átomo. Se o primeiro servidor desta lista estiver disponível, ele é despachado para atender o chamado do átomo, caso contrário, o próximo servidor disponível da lista (i.e., o backup) é despachado. A lista de preerências é ixada a priori e permanece inalterada durante a operação do sistema. Note que esta política de despacho é compatível com a dos Anjos do Asalto descrita na seção 2, exceto que a lista contém apenas dois servidores para cada átomo. 8) Tempo de serviço: o tempo de serviço de um chamado inclui o tempo de setup (tempo de preparo do servidor), tempo de viagem do servidor até o local onde houve o chamado, o tempo de realização do serviço propriamente dito (em cena), e o tempo de retorno à base. Os servidores têm taxas médias de serviço µ n (n = 1,..,N) que podem ser dierentes, como é o caso dos Anjos do Asalto, conorme discutido na seção 4. No caso do sistema permitir ormação de ilas, o modelo unciona melhor à medida que os tempos médios de serviço se aproximam dos respectivos desvios-padrões, isto é, o processo de serviço tende a ser exponencialmente distribuído. Entretanto, conorme LARSON & ODONI (1981), desvios razoáveis desta hipótese não alteram sensivelmente a precisão do modelo. Se o sistema não permitir ilas, como é o caso dos Anjos do Asalto, esta hipótese é ainda menos necessária, dado que sistemas de ilas M/M/N/N e M/G/N/N têm a mesma distribuição de equilíbrio. 9) Dependência do tempo de serviço em relação ao tempo de viagem: variações no tempo de serviço devidas às variações no tempo de viagem são assumidas como sendo de segunda ordem, quando comparadas com as variações dos tempos em cena e/ou setup (isso não signiica que o tempo de deslocamento deva ser ignorado ao se computar o tempo de serviço). Esta hipótese é veriicada para os Anjos do Asalto na seção 4. Conorme mencionado na seção 1, o modelo hipercubo é baseado em resultados de teoria de ilas espacialmente distribuídas e aproximações a partir de análise Markoviana. Para um sistema que não permite ilas, a idéia básica é estender o espaço de estados do modelo M/M/N/N ou M/G/N/N, para descrever o estado de cada um dos N servidores individualmente, e analisar o sistema sob hipótese de equilíbrio (steady state). Como é visto adiante (veja equações de equilíbrio abaixo), o modelo envolve resolver um sistema de 2 N equações lineares, que ornece as probabilidades de equilíbrio dos possíveis estados do sistema.
6 78 Mendonça, Morabito Aplicação do Modelo Hipercubo para Análise de um Sistema Médico-emergencial Figura 2 Base exemplo e suas vizinhanças. Tabela 1 Preerências de despacho de servidores para cada átomo. Átomo 1 a. opção 2 a. opção 1 Pavuna Japeri Japeri Caiçara Caiçara Volta Redonda Volta Redonda Penedo Penedo Lavrinhas 6 5 O sistema Anjos do Asalto, por possuir 6 bases, corresponde a um sistema com N = 6 servidores. Portanto, cada estado do sistema é representado por uma lista sêxtupla de 0s (servidor disponível) e 1s (servidor ocupado). Como devemos ter uma equação de equilíbrio para cada estado, temos 2 6 = 64 estados possíveis e, portanto, o modelo resulta em 64 equações lineares. Se o número de servidores or muito grande (digamos, N > 15), o modelo pode ser aproximado por um sistema de N equações não-lineares (LARSON & ODONI, 1981), ou o problema pode ser tratado dividindo-se a rodovia em subtrechos, tendo em vista a política de despacho particular. Isto não será explorado neste trabalho, dado que a solução de sistemas com apenas 64 equações lineares não envolve grandes diiculdades computacionais. A numeração das bases 1,2,..,6 oi deinida começando pelas bases mais próximas do Rio de Janeiro, conorme mostra a igura 1. As regiões próximas a cada base são divididas em dois átomos dierentes, visto que as opções de despachos não são as mesmas para ambos os lados da região. Tomemos, por exemplo, a região de Penedo (igura 2): sua parte leste (Penedo 1) tem como primeira opção de atendimento a base 5 (Penedo), e como backup a base 4 (Volta Redonda). Já a parte oeste (Penedo 2) também tem como primeira opção a base 5, mas como backup a base 6 (Lavrinhas). A igura 2 representa tal situação, e a tabela 1 apresenta as preerências de cada um dos N A =10 átomos, que é compatível com a hipótese 7 do modelo hipercubo. Com exceção das bases 1 e 6, todas as demais podem vir a atender quatro átomos (dois como primeira opção e dois como backup). Se duas bases adjacentes estão ocupadas (p.e., as bases 2 e 3) e ocorrer um chamado em um átomo onde estas bases são as únicas opções (p.e., os átomos 3 ou 4), haverá atendimento por parte dos bombeiros ou Polícia Rodoviária, sendo considerado, para eeito de modelagem, um chamado perdido
7 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr e transerido para outro sistema. Isto torna o modelo hipercubo dos Anjos do Asalto dierente do originalmente proposto em LARSON (1974), uma vez que a política de despacho é mais particular do que a da hipótese 4. Assim, a hipótese 4, que admite que qualquer servidor atenda qualquer átomo, terá de ser relaxada para que o modelo possa ser aplicado. Equações de equilíbrio As equações de equilíbrio (balanço) são deinidas supondo-se que o sistema atinja estado estável (steady state). Para cada um dos 64 estados do sistema, o luxo com que se entra num estado (i.e., o produto entre a probabilidade do sistema estar em outro estado e a taxa de transição daquele para o estado atual) deve ser igual ao luxo com que o sistema sai do estado. Para mais detalhes sobre isso, o leitor pode consultar LARSON & ODONI (1981) e MENDONÇA (1999). A igura 3 ilustra os luxos de entrada e saída de um estado com apenas um servidor ocupado, no caso o estado , com apenas o servidor 4 ocupado. Note na igura que o luxo de entrada no estado é: µ 1 p µ 2 p µ 3 p µ 5 p µ 6 p (λ 6 +λ 7 ) p onde p B denota a probabilidade de equilíbrio do estado B. O luxo de saída do estado é: (µ 4 +λ 1 +λ 2 +λ 3 +λ 4 +λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 +λ 9 +λ 10 ) p Igualando estes luxos de entrada e saída, obtemos a equação de equilíbrio para o estado Note que, dierente das equações de equilíbrio de um sistema M/M/N/N, aqui as taxas médias de serviço µ n variam para cada servidor n=1,..,n. Outros estados com apenas um dos servidores ocupados possuem equações de equilíbrio similares. Em estados com dois ou mais servidores ocupados, se estes servidores orem adjacentes, aparece uma probabilidade de perda. Para ilustrar isso, considere, por exemplo, a equação de equilíbrio do estado (expressão (1)), em que os dois servidores ocupados 1 e 5 não são adjacentes. Os luxos de entrada e saída deste estado estão representados na igura 4: µ 6 p µ 4 p µ 3 p µ 2 p λ 1 p (λ 8 + λ 9 ) p = = ((λ 1 +λ 2 +λ 3 +λ 4 +λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 +λ 9 +λ 10 ) + + µ 1 + µ 5 ) p (1) Note que, se o sistema estiver no estado , qualquer chegada no sistema é atendida, pois, o termo λ 1 +λ 2 +λ 3 +λ 4 +λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 + λ 9 +λ 10 na taxa de saída deste estado (veja expressão (1)) é a soma de todas as taxas de chegada dos átomos. Por outro lado, a equação de equilíbrio do estado (expressão (2)), em que os dois servidores ocupados 2 e 3 são adjacentes, envolve perda de chamados. Note agora que o termo λ 1 +λ 2 +λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 +λ 9 +λ 10 na taxa de saída do estado (expressão (2)) não contém as taxas de chegada λ 3 e λ 4 dos átomos 3 e 4, uma vez que, se o sistema estiver neste estado, estas chegadas não são atendidas, pois, tanto a primeira opção quanto o backup (i.e., os servidores 2 e 3) estão ocupados. A igura 5 ilustra os luxos de entrada e saída do estado µ 1 p µ 4 p µ 5 p µ 6 p (λ 4 +λ 5 +λ 3 ) p (λ 2 +λ 3 +λ 4 ) p = = (µ 2 + µ 3 + (λ 1 +λ 2 +λ 5 +λ 6 +λ λ 8 +λ 9 +λ 10 )) p (2) Procedendo-se de maneira similar para os outros estados, obtém-se 64 equações de equilíbrio, linearmente dependentes entre si. Por serem probabilidades, temos que: p p p p p p p = 1 e substituindo-se esta equação por qualquer uma das equações de equilíbrio, tornamos o sistema determinado, com 64 equações linearmente independentes.
8 80 Mendonça, Morabito Aplicação do Modelo Hipercubo para Análise de um Sistema Médico-emergencial λ 6 + λ 7 λ 1 µ 1 λ 2 + λ µ 2 λ 4 + λ 5 + λ 6 µ µ 4 λ 8 + λ 9 + λ 7 µ 6 µ λ Figura 3 Fluxos de entrada e saída do estado λ 8 + λ 9 λ 1 + λ 2 + λ 3 λ 4 + λ 5 µ µ µ 3 λ 6 + λ 7 + λ λ 1 µ 1 µ 6 µ λ 9 + λ Figura 4 Fluxos de entrada e saída do estado λ 1 +λ λ 3 +λ 4 +λ 5 µ 1 µ λ 5 +λ 6 +λ 7 µ λ 8 +λ 9 λ 3 +λ 4 +λ µ 2 µ 6 µ 5 λ Figura 5 Fluxos de entrada e saída do estado
9 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr Medidas de desempenho Com a distribuição de equilíbrio de estados computada, podemos estimar diversas medidas de desempenho, conorme LARSON (1974) e LARSON & ODONI (1981). Entretanto, devido às características do sistema Anjos do Asalto, algumas medidas de desempenho precisam ser modiicadas, conorme discutido a seguir. O workload ρ n de cada servidor n (ração do tempo em que o servidor está ocupado) é deinido, conorme LARSON & ODONI (1981), como sendo a soma das probabilidades em que o servidor em questão está ocupado. Por exemplo, o workload do servidor 6 é dado por: ρ 6 = p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p (3) Já a reqüência de despacho do servidor n ao átomo j, n,j, precisa ser modiicada em relação à expressão em LARSON & ODONI (1981). No caso dos Anjos do Asalto, conorme discussão nas equações de equilíbrio, o estado não é o único em que pode haver perda de chamados, mas qualquer estado que tenha dois ou mais servidores ocupados adjacentes (p.e., o estado da igura 5). Desta orma, o denominador 1-p da expressão original deverá ser substituído por 1-p p, onde p p é deinida como sendo a probabilidade de perda do sistema (veja ormulação no anexo 1), e esta é obtida como a soma das probabilidades dos estados que levam à perda de usuários no sistema. Cada termo é composto pela probabilidade do sistema se encontrar em um estado de perda, multiplicada pela probabilidade do chamado vir de um átomo que não pode ser atendido. Desta orma, a expressão da reqüência de despacho n,j passa a ser: nj = λ λ j B Enj 1 p p p B (4) onde B é o estado do sistema e E n,j é o conjunto dos estados nos quais um chamado ao átomo j é atendido pelo servidor n. A ração de despachos do servidor n como backup, In, é calculada pela expressão abaixo: nj cobertura j area _ de _ n I = n N A j= 1 nj (5) e a ração de despachos como backup no átomo i, Ii, é dada por: nj n i j area _ de cobertura _ i I = i N ' (6) nj n= 1 j area _ de cobertura _ i O tempo médio de viagem do sistema T é obtido pela expressão: T A = N N n= 1 j= 1 t nj nj (7) onde t nj é o tempo médio de viagem que o servidor n, quando disponível, gasta para ir ao átomo j (note que t nj é acilmente computado a partir dos tempos médios de viagem entre átomos, τ ij ). O tempo médio de viagem de cada servidor n, TU n, como o sistema não permite ilas, é calculado como sendo: TU n = N A j= 1 N A j= 1 nj nj t nj (8) e o tempo médio de viagem para cada átomo j, T j, é dado por: T N n= j = N njtnj 1 (9) n= 1 nj
10 82 Mendonça, Morabito Aplicação do Modelo Hipercubo para Análise de um Sistema Médico-emergencial Outras medidas de desempenho podem ser deinidas. Para mais detalhes destas e outras medidas de desempenho, o leitor pode consultar LARSON & ODONI (1981) e MENDONÇA (1999). 4. Coleta de Dados e Resultados R ealizamos a coleta de dados em 1997 no escritório central do Anjos do Asalto no Rio de Janeiro. Conorme sugestão de um dos operadores da empresa, coletamos dados relativos a ins de semana, devido a estes períodos envolverem maior demanda por serviço. Procuramos excluir da coleta ins de semana atípicos, por exemplo, ins de semana prolongados ou contendo eriados, devido à hipótese de dados independentes e identicamente distribuídos. Os dados levantados continham os instantes em que cada servidor oi despachado (com isso pudemos caracterizar o processo de chegada), os instantes em que cada servidor retornou à base (processo de atendimento), além do local do chamado e o servidor que oi alocado. Os resultados obtidos para o processo de chegada são apresentados na tabela 2, e os resultados do processo de atendimento, na tabela 3. Nos dias coletados, não houve demanda no átomo de Volta Redonda 1, assim, consideramos sua taxa média de chegada como aproximadamente nula (símbolo # na tabela 2). Para cada processo de chegada e atendimento, realizamos testes de hipóteses para veriicar a aderência à distribuição exponencial (processo de Poisson). Esta veriicação oi eita utilizando três testes: teste do qui-quadrado, Kolmogorov & Smirnov e Lilleors (SHAPIRO & GROSS, 1981; CONOVER, 1971). Os testes oram eitos com níveis de signiicância de 5%. No processo de chegada, em todos os átomos, não pudemos rejeitar a hipótese de processo de Poisson, o que valida a hipótese 2 do modelo hipercubo (seção 3). De ato, note na tabela 2 que os coeicientes de variação (razão entre desvio padrão e média) são relativamente próximos de 1. Já para o processo de atendimento, para alguns servidores oi possível rejeitar a hipótese dos tempos de serviço serem exponencialmente distribuídos. Note que isto não invalida a hipótese 8 do modelo hipercubo (seção 3). Consideramos cada servidor com processo de atendimento distinto dos demais, isto é, com taxas médias de serviço µ n, n=1,..,n, dierentes. Medidas de desempenho A partir dos dados coletados e das equações de equilíbrio, obtivemos a probabilidade de equilíbrio de cada um dos 64 estados, apresentada no anexo 2. Com essas probabilidades, calculamos a probabilidade de perda p p conorme expressão do anexo 1, que resultou 0,0502, ou seja, o sistema atende cerca de 95% dos chamados. Note no anexo 2 que a probabilidade do sistema estar completamente vazio, p =0,3092, é a probabilidade do sistema se encontrar no estado , isto é, todos os servidores estarem disponíveis. O workload ρ n oi calculado para cada servidor n conorme expressão (3) (tabela 4 e igura 6). Podemos perceber que o sistema não está balanceado entre as bases. Enquanto que a base de Volta Redonda ica cerca 30% do tempo ocupada, a base de Lavrinhas ica menos de 15%. Também calculamos a ração dos atendimentos de um servidor n como backup, In, (expressão (5)) (tabela 4), e a ração dos atendimentos num átomo j como backup, Ij (expressão (6)) (tabela 5). Isto signiica, por exemplo, que 19% dos atendimentos da base de Japeri são backup (neste caso, as regiões de Pavuna e a parte leste da região de Caiçara), enquanto que os 81% restantes atendem a própria região. O tempo médio de viagem do sistema T oi calculado conorme expressão (7), e resultou em 8,6 min. O tempo médio de viagem de um servidor n, TU n, é o tempo médio que este servidor leva para chegar até o local do atendimento, calculado conorme expressão (8) (tabela 4). Pode-se observar das tabelas 3 e 4 que os tempos médios de viagem são pequenos em relação aos tempos médios de serviço (em geral, em torno de 10%); as variações nos tempos de
11 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr Átomo j Tabela 2 Processo de chegada de chamadas em cada átomo. Intervalo Médio (min) Desvio Padrão (min) Coeiciente de Variação Taxa de chegada λ j (min -1 ) 1 Pavuna 360,9 290,3 0,8 0, Japeri ,3 1234,1 1,0 0, Japeri 2 507,3 426,9 0,8 0, Caiçara 1 898,2 690,4 0,8 0, Caiçara 2 561,4 354,6 0,6 0, Volta Redonda 1 # # # # 7 Volta Redonda 2 266,5 228,8 0,9 0, Penedo 1 544,1 461,2 0,9 0, Penedo ,8 375,2 0,9 0, Lavrinhas 555,6 683,8 1,2 0,0018 Servidor n Tabela 3 Processo de atendimento de chamadas para cada servidor. Tempo Médio (min) Desvio Padrão (min) Coeiciente de Variação Taxa µ n (min -1 ) 1 Pavuna 53,3 32,8 0,6 0,019 2 Japeri 71,7 48,1 0,7 0,014 3 Caiçara 60,3 27,7 0,5 0,017 4 Volta Redonda 98,9 119,0 1,2 0,010 5 Penedo 41,6 28, , Lavrinhas 79,8 34,9 0,4 0,013 Tabela 4 Workload (expressão (3)), ração de atendimento como backup (expressão (5)), tempo médio de viagem do modelo (expressão (8)), tempo médio de viagem da amostra, desvio absoluto e desvio relativo de cada servidor. Servidor n Workloads ρ n Fração In Tempo médio de viagem do modelo TU n (min) Tempo médio de viagem da amostra (min) Desvio absoluto (min) Desvio relativo (%) 1 Pavuna 0,1351 0,0517 4,7 4,9-0,2-4,3 2 Japeri 0,1923 0,1892 7,5 7,2 0,3 4,0 3 Caiçara 0,1641 0,1089 5,9 5,7 0,2 3,4 4 V Redonda 0,3037 0, ,5 13,0-1,5-13,0 5 Penedo 0,1834 0, ,5 5,2 5,3 50,4 6 Lavrinhas 0,1488 0,1771 9,4 8,9 0,5 5,3 viagem contribuem pouco para as variações nos tempos de serviço (veja desvios padrões dos tempos de serviço na tabela 3). Isto está de acordo com a hipótese 9 do modelo hipercubo (seção 3). O tempo médio de viagem no átomo j, T j, é o tempo médio que os servidores levam para chegar neste átomo, calculado conorme expressão (9) (tabela 5). Outras medidas de desempenho deste estudo podem ser encontradas em MENDONÇA (1999).
12 84 Mendonça, Morabito Aplicação do Modelo Hipercubo para Análise de um Sistema Médico-emergencial Tabela 5 Fração de atendimento como backup (expressão (6)) e tempo médio de viagem (expressão (9)) de cada átomo. Tempo médio de Átomo j Fração Ij viagem T j 1 Pavuna 0,1036 6,2 2 Japeri 1 0,1617 9,2 3 Japeri 2 0,1574 5,1 4 Caiçara 1 0,2135 5,7 5 Caiçara 2 0,1163 7,0 6 Volta Redonda 1 0,2599 8,9 7 Volta Redonda 2 0, ,7 8 Penedo 1 0,1190 8,7 9 Penedo 2 0,1505 6,0 10 Lavrinhas 0,1187 9,4 Workloads 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Pavuna Japeri Caiçara Volta... Penedo Lavrinhas Figura 6 Gráico comparativo dos workloads. Para veriicar se o modelo está calibrado e tentar validar os resultados produzidos, calculamos os tempos médios de viagem de cada servidor na amostra coletada (tabela 4). As duas últimas colunas da tabela comparam estes tempos com os tempos produzidos pelo modelo. Note que o modelo está razoavelmente calibrado, pois, cinco dos seis servidores têm tempos amostrais suicientemente próximos (desvios de -4,3%, 4,0%, 3,4%, -13,0% e 5,3%) dos tempos produzidos pelo modelo. A exceção é Penedo, cujo desvio (cerca de 50%) pode ser explicado pelo ato da amostra coletada quase não conter casos de backup, o que reduziu o tempo amostral, enquanto que o modelo previa 24% de tais ocorrências (conorme tabela 4). Também acreditamos que, nos ins de semana amostrados, pode ter acontecido do operador dos Anjos do Asalto ter evitado despachar a ambulância de Penedo para atender chamados de backup no átomo 10 (Lavrinhas), devido ao tempo de viagem da base de Penedo até o átomo 10 ser muito longo (28 minutos, conorme MENDONÇA, 1999). Desta maneira, o operador teria preerido, dependendo da emergência do chamado, não respeitar a política de despacho, e alocar este chamado de backup para outro sistema de atendimento mais próximo a Lavrinhas, ao invés de despachar a ambulância de Penedo. Inelizmente o sistema não dispõe de dados registrados para podermos validar esta nossa conjetura.
13 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr Figura 7 Coniguração original dos Anjos do Asalto. Figura 8 Coniguração modiicada para o sistema. 5. Cenários Alternativos N esta seção aplicamos o modelo para explorar cenários alternativos, em particular, modiicando a coniguração do sistema para melhorar o balanceamento do workload entre as ambulâncias. Também analisamos os eeitos de variações nos parâmetros do sistema, por exemplo, a demanda dos usuários, para investigar a robustez dos resultados obtidos. Balanceamento Como podemos perceber na seção 4, o sistema não está balanceado, pois o servidor de Volta Redonda trabalha bem mais que os demais. Resolvemos então estudar um cenário alternativo, que consistia na redução no tamanho dos átomos em que o servidor de Volta Redonda é prioritário, e na incorporação dessas metades nos átomos adjacentes. Esta modiicações podem ser vistas nas iguras 7 e 8. A tabela 6 compara algumas medidas do sistema original e o sistema modiicado. O tempo médio de viagem T no sistema original era de 8,6 min., já no caso do sistema modiicado, esse tempo caiu para 7,7 min. (expressão (7)). A probabilidade de perda p p no sistema original era de 0,0502, já no caso do sistema modiicado, essa probabilidade caiu para 0,0439 (conorme anexo 1). Pode-se notar na tabela 6 e na igura 9 que a modiicação no sistema original balanceia melhor o sistema, reduzindo a dierença entre os workloads dos servidores, ou seja, com menor desvio padrão. Note na tabela 6 e nas iguras 9 e 10 que essa alteração no tamanho do átomo de Volta Redonda provocou alterações globais, e não apenas nas vizinhanças de Volta Redonda. Análise de sensibilidade Outra análise do sistema que oi eita com o auxílio do modelo oi veriicar como a atual coniguração dos Anjos do Asalto responderia a um aumento da demanda. Para isto, acrescentouse às taxas médias de chegada λ j, j=1,..,n A, incrementos de 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 100%, 200% e 300%. Os resultados obtidos podem ser vistos na tabela 7 e nas iguras Outros parâmetros do modelo hipercubo, além da taxa média de chegadas, também poderiam ter sido alterados. O método de análise seria similar. Como podemos observar na tabela 7 e igura 13, o tempo médio de viagem do sistema é pouco sensível com relação ao aumento de demanda. Isto ocorre porque nesse sistema não há ilas. Dessa orma, o chamado que encontra o sistema congestionado não espera em ila, o que não aumenta muito o tempo médio de viagem do
14 86 Mendonça, Morabito Aplicação do Modelo Hipercubo para Análise de um Sistema Médico-emergencial Tabela 6 Comparação entre os workloads (expressão (3)), ração de atendimento como backup (expressão (5)) e tempos médios de viagem (expressão (8)) dos sistemas original e modiicado. Servidor n Sistema original Workloads ρ n Sistema modiicado Fração de atendimento como backup In Sistema original Sistema modiicado Tempos médios de viagem TU n Sistema original Sistema modiicado 1 Pavuna 0,1351 0,1346 0,0517 0,0497 4,7 4,7 2 Japeri 0,1923 0,1848 0,1892 0,1650 7,5 7,3 3 Caiçara 0,1641 0,1199 0,1089 0,1064 5,9 7,5 4 V Redonda 0,3037 0,2222 0,1303 0, ,5 10,6 5 Penedo 0,1834 0,2155 0,2393 0, ,5 7,5 6 Lavrinhas 0,1488 0,1527 0,1771 0,2009 9,4 9,8 workloads 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Sistema original Sistema modiicado Pavuna Japeri Caiçara Volta Re... Penedo Lavrinhas Figura 9 Comparativo entre os workloads dos sistemas original e modiicado. Tempo de deslocamento (min) Pavuna Japeri Caiçara Volta Re... Penedo Lavrinhas Sistema Original Sistema modiicado Figura 10 Comparação entre os tempos médios de viagem de cada servidor para os sistemas original e modiicado.
15 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr Tabela 7 Impacto do aumento da demanda sobre a probabilidade de sistema vazio (p ), probabilidade de perda (p p ), ração dos atendimentos como backup, tempo médio de viagem do sistema (expressão (7)). Aumento da demanda (%) Probabilidade do sistema vazio p Probabilidade de perda p p Fração dos atendimentos como backup I Tempo médio de viagem do sistema T (min) 0 0,3090 0,0502 0,1596 8,6 10 0,2762 0,0590 0,1704 8,8 20 0,2463 0,0680 0,1814 9,9 30 0,2206 0,0768 0,1910 9,1 40 0,1967 0,0866 0,2005 9,2 50 0,1768 0,0959 0,2093 9, ,1057 0,1441 0, , ,0409 0,2382 0, , ,0011 0,5438 0, ,2 Probabilidade de sistema vazio 0,4 0, Aumento da demanda (%) Figura 11 Impacto do aumento da demanda sobre a probabilidade de sistema ocioso. Probabilidade de perda 0,6 0,4 0, Aumento da demanda (%) Figura 12 Impacto do aumento da demanda sobre a probabilidade de perda.
16 88 Mendonça, Morabito Aplicação do Modelo Hipercubo para Análise de um Sistema Médico-emergencial Tempo global do sistema (min) Aumento da demanda (%) Figura 13 Gráico do impacto do aumento da demanda no tempo médio de viagem do sistema. sistema para os chamados que conseguem ser atendidos. Note que, ao dobrarmos a demanda, o tempo médio de viagem cresce de 8,6 min. para apenas 10 min., no entanto, a perda de chamadas sobe de 5% para mais de 14%, e a proporção de tempo que o sistema ica completamente vazio cai de 31% para 11%. 6. Conclusões e Perspectivas N este trabalho mostramos como o modelo hipercubo pode ser adaptado e aplicado para analisar um sistema de atendimento médico-emergencial em rodovia, como os Anjos do Asalto. Os resultados indicaram que os Anjos do Asalto têm prestado um bom nível de atendimento aos seus usuários, por exemplo, o tempo médio de resposta é de apenas 10,6 minutos, isto é, 8,6 min. de tempo de viagem, mais cerca de 2 min. de tempo de setup. Convém salientar que esse tempo de resposta é próximo de outros estudos reportados na literatura, por exemplo, VOLZ (1971) e FUJIWARA (1987) reportam 8,8 min. Para a coniguração atual do sistema, esse resultado parece ser robusto, isto é, esse tempo de resposta é pouco sensível a aumentos de demanda, mesmo quando dobramos a demanda, principalmente porque o sistema não permite a ormação de ilas de chamados. O sistema trabalha com uma alta ociosidade (em quase 31% do tempo, o sistema permanece completamente vazio; veja p no anexo 2), e há uma baixa probabilidade de perda de chamados (cerca de 5%). No entanto, os Anjos do Asalto poderiam balancear melhor a carga de trabalho entre suas ambulâncias, por exemplo, por meio de uma pequena mudança na deinição dos seus átomos conorme ilustrado na seção 5, sem investimentos ou custos adicionais e sem maiores prejuízos para as demais medidas de desempenho. Uma perspectiva interessante para pesquisa utura seria integrar o modelo hipercubo num modelo de otimização, para determinar como o tamanho dos átomos deve ser alterado, de maneira a maximizar o balanceamento do sistema. Outra pesquisa utura interessante seria realizar estudos de caso em cidades brasileiras, similarmente ao que oi eito neste trabalho para o caso de uma rodovia, para analisar a viabilidade de aplicação do modelo hipercubo para apoiar decisões estratégicas e operacionais nestes sistemas urbanos. Agradecimentos O s autores são gratos aos três revisores anônimos e à doutoranda Renata Algisi Takeda pelos úteis comentários e sugestões. Também agradecemos ao sistema Anjos do Asalto pelo ornecimento das inormações.
17 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr Anexo 1 Probabilidade de perda no sistema. p p = ((λ 1 +λ 2 )/λ) p ((λ 3 +λ 4 )/λ) p ((λ 5 +λ 6 )/λ) p ((λ 7 +λ 8 )/λ) p ((λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 7 +λ 8 +λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 5 +λ 6 )/λ) p ((λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 )/λ) p ((λ 7 +λ 8 )/λ) p ((λ 3 +λ 4 )/λ) p ((λ 3 +λ 4 )/λ) p ((λ 3 +λ 4 +λ 5 +λ 6 )/λ) p ((λ 7 +λ 8 )/λ) p ((λ 5 +λ 6 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 +λ 3 +λ 4 )/λ) p ((λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 +λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 7 +λ 8 +λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 7 +λ 8 +λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 3 +λ 4 +λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 +λ 9 +λ 10 )/λ) p ((λ 3 +λ 4 +λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 )/λ) p ((λ 3 +λ 4 +λ 5 +λ 6 )/λ) p ((λ 5 +λ 6 )/λ) p ((λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 +λ 7 +λ 8 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 +λ 3 +λ 4 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 +λ 3 +λ 4 )/λ) p ((λ 1 +λ 2 +λ 3 +λ 4 +λ 5 +λ 6 )/λ) p ((λ(λ 1 +λ 2 ))/λ) p ((λ - (λ 1 +λ 2 +λ 3 +λ 4 ))/λ) p ((λ - (λ 3 +λ 4 +λ 5 +λ 6 ))/ λ) p ((λ(λ 5 +λ 6 +λ 7 +λ 8 ))/λ) p ((λ - (λ 7 +λ 8 +λ 9 +λ 10 ))/λ) p ((λ - (λ 9 +λ 10 ))/λ) p p onde N λ = A = λ j 1 j. Anexo 2 - Probabilidade de equilíbrio dos 64 estados possíveis para o sistema. p =0,3090 p =0,0435 p =0,0633 p =0,0142 p =0,0524 p =0,0075 p =0,0166 p =0,0036 p =0,1148 p =0,0162 p =0,0237 p =0,0053 p =0,0232 p =0,0033 p =0,0073 p =0,0016 p =0,0529 p =0,0075 p =0,0109 p =0,0024 p =0,0090 p =0,0013 p =0,0029 p =0,0006 p =0,0345 p =0,0049 p =0,0071 p =0,0016 p =0,0068 p =0,0010 p =0,0021 p =0,0005 p =0,0483 p =0,0068 p =0,0099 p =0,0022 p =0,0082 p =0,0012 p =0,0026 p =0,0006 p =0,0186 p =0,0026 p =0,0038 p =0,0009 p =0,0037 p =0,0005 p =0,0012 p =0,0003 p =0,0139 p =0,0020 p =0,0028 p =0,0006 p =0,0024 p =0,0003 p =0,0007 p =0,0002 p =0,0086 p =0,0012 p =0,0018 p =0,0004 p =0,0017 p =0,0002 p =0,0005 p =0,0001 Reerências Bibliográicas ALBINO, J.C.C.: Quantiicação e localização de unidades móveis de atendimento de emergência e interrupções em redes de distribuição de energia elétrica: aplicação do Modelo Hipercubo, Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC, BITRAN, G. & MORABITO, R.: An overview o tradeo curves in manuacturing system design, Production and operations management, v.8, n.1, p.56-75, 1999.
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19 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7, n.1, p , abr Abstract AN APPLICATION OF THE HYPERCUBE MODEL TO ANALYZE AN EMERGENCY MEDICAL SYSTEM ON A HIGHWAY In an emergency medical system, the quality o the service is undamental since this might be the dierence between lie and death o the user. Beyond the attendance quality, one o the most important components o the service level is the mean response time to an emergency call. However, acquiring equipment and training or the team to reduce this time imply additional costs and investments. In this case, an important trade-o appears between the service level and the investment in the system. To analyze this trade-o, there is a well-known model named hypercube, which is based in spatially distributed queueing theory. In this paper, we adapt and apply the hypercube model to analyze the Anjos do Asalto, an emergency medical system on the highway Presidente Dutra between the cities o Rio de Janeiro and São Paulo, in Brazil. The results showed that the hypercube model can be an eective tool to support strategic and operational decisions o emergency systems on highways. Key words: emergency medical system, queueing theory, hypercube model.
APLICAÇÃO DO MODELO HIPERCUBO PARA ANÁLISE DE UM SISTEMA MÉDICO-EMERGENCIAL EM RODOVIA v.7, n.1, p. 73-91, abr. 2000 Fernando César Mendonça Reinaldo Morabito Departamento de Engenharia de Produção Universidade
UM MODELO PARA ANALISAR O PROBLEMA DE FILAS EM CAIXAS DE SUPERMERCADOS: UM ESTUDO DE CASO. Resumo. Abstract
Vol. 20, No. 1, junho de 2000 Pesquisa Operacional 59 UM MODELO PARA ANALISAR O PROBLEMA DE FILAS EM CAIXAS DE SUPERMERCADOS: UM ESTUDO DE CASO Reinaldo Morabito Flavio C. R. de Lima Departamento de Engenharia
Modelo hipercubo integrado a um algoritmo genético para análise de sistemas médicos emergenciais em rodovias Ana Paula Iannoni Reinaldo Morabito Departamento de Engenharia de Produção, Universidade Federal
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