Números/Proporcionalidade
Razões, proporções, porcentagem
Razões constantes na geometria: π
Leitura e construção de gráficos e tabelas
Grandeza é o que pode ser medido. A grandeza não é o objeto que pode ser medido, mas a medida que é possível ser observada nele, como: distância, peso, velocidade etc. As grandezas também podem ser verificadas em razões, como é o caso da velocidade, que é uma grandeza resultante da divisão entre distância e tempo, os quais, por sua vez, são outras duas grandezas.
Se duas grandezas forem diretamente proporcionais, diminuir a medida da grandeza A fará com que a medida da grandeza B também diminua na mesma proporção, por isso, a palavra diretamente é usada para representar esse tipo de proporcionalidade entre grandezas.
Duas grandezas que são inversamente proporcionais ainda variam uma em consequência da outra e na mesma proporção, entretanto, o aumento da medida relativa à primeira faz com que a medida relativa à segunda diminua. Se diminuirmos a medida relativa à primeira grandeza, isso fará com que a medida relativa à segunda aumente. É por isso que essa proporcionalidade é chamada de inversa.
01) Um automóvel a 50 km/h percorre 100 km. Se esse automóvel estivesse a 75 km/h, teria percorrido quantos quilômetros no mesmo período de tempo?
50x = 75·100
50x = 7500
x = 150 km.
Conclusão: quando as grandezas forem inversamente proporcionais, será necessário inverter uma das frações da proporção formada por elas antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções.
02) Um automóvel está a uma velocidade de 50 km/h e gasta duas horas para chegar a seu destino. Esse mesmo automóvel gastaria quantas horas se estivesse a 75 km/h?
Montando a proporção, teremos:
Aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso deve diminuir, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma das frações, teremos:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos:
75x = 50·2
75x = 100
x = 1,33
Conclusão: o tempo gasto será de uma hora e 20 minutos. (1,33 h está na base decimal, por isso precisa ser convertido para horas, o que também pode ser feito por regra de três).
03) Se cada lápis custa 2,00 e precisamos comprar 20 lápis, qual será o valor pago?
1 lápis – R$ 2,00
20 lápis – R$ x
Depois de montada a regra de 3, basta multiplicar cruzado:
Conclusão: x = R$ 40,00
04) A respeito de grandezas proporcionais, assinale a seguir a alternativa que for correta.
(A) A velocidade de um automóvel e a distância percorrida por ele são grandezas inversamente proporcionais.
(B) A quantidade de mercadorias produzidas em uma fábrica e o número de funcionários, trabalhando em condições ideais nela, são grandezas inversamente proporcionais.
(C) A área da base de um prisma e seu volume são grandezas diretamente proporcionais.
(D) A distância percorrida por um táxi e o valor final da corrida são grandezas inversamente proporcionais.
(E) A velocidade de um automóvel e o tempo gasto no percurso são grandezas diretamente proporcionais.
Quando aumentamos a velocidade de um automóvel, a distância percorrida por ele aumenta também, portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais.
Quanto maior o número de funcionários em uma fábrica, em condições ideais de trabalho, maior será a quantidade de mercadorias produzidas. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
Assumindo que a altura no prisma não será alterada, ao aumentar a medida da área de sua base, a medida do volume aumenta também, portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais.
Aumentando a distância percorrida pelo táxi, aumentamos também o valor final pago pela corrida. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
Aumentando a velocidade do automóvel, o tempo gasto no percurso será reduzido, portanto essas grandezas são inversamente proporcionais.
05) Um automóvel está a uma velocidade 2c em uma rodovia. Sabendo que 2c é metade da velocidade máxima permitida nessa rodovia, assinale a alternativa:
(A) Como velocidade e tempo gasto no percurso são grandezas diretamente proporcionais, se a velocidade do automóvel for 4c, ele gastará o dobro do tempo no percurso.
(B) Se a velocidade do carro for igual à velocidade máxima permitida na rodovia, o automóvel percorrerá o dobro da distância que seria capaz de percorrer na velocidade inicial.
(C) Quando a velocidade do automóvel for igual a c, sua velocidade será igual à velocidade máxima da rodovia.
(D) As grandezas velocidade e distância percorrida são inversamente proporcionais.
(E) As grandezas velocidade e tempo gasto no percurso são diretamente proporcionais.
Velocidade do automóvel e tempo gasto no percurso são grandezas inversamente proporcionais.
Dobrando a velocidade, dobramos também a distância que o automóvel é capaz de percorrer, pois essas grandezas são diretamente proporcionais.
Quando a velocidade do automóvel for igual a 4c, ela será igual à velocidade da rodovia.
Essas grandezas são diretamente proporcionais.
Essas grandezas são inversamente proporcionais.
06) Qual é a velocidade de um automóvel que gasta duas horas em um percurso, sabendo que gastaria 6 horas nesse mesmo percurso se estivesse a 30 km/h?
(E) 10 km/h
Para resolver esse problema, podemos usar a regra de três. Para tanto, é necessário construir uma proporção entre a velocidade do automóvel e o tempo gasto por ele no percurso. Essa proporção é:
Observe que, aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso diminui, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais. Para encontrar a velocidade do automóvel, precisamos inverter uma das razões da proporção acima.
2x = 6·30
x = 90 km/h
07) Uma fábrica mantém jornadas de trabalho de 6 horas para seus funcionários e, com essa jornada, a produção mensal é de 160 mil produtos. Quantas horas diárias serão necessárias para elevar a produção para 240 mil produtos?
(A) 2 horas
(D) 9 horas
(E) 12 horas
As grandezas são diretamente proporcionais, por isso, não é necessário inverter as razões para aplicar a propriedade fundamental das proporções. A proporção é:
160000 = 6
160000x = 6·240000
160000x = 1440000
x = 1440000
Serão necessárias 9 horas.
08) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido?
Tecido (m) Preço (R$)
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.
Conclusão: a quantia a ser paga é de R$234,00.
09) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa.
Conclusão: o tempo a ser gasto é 3 horas.
10) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Conclusão: será preciso de 25 caminhões.
11) Observe a Charge abaixo.
A quantidade de alunos não alfabetizados são?
(A) 54 alunos
(B) 46 alunos
(C) 100 alunos
(D) N.D.A.
Os conceitos de razão e proporção estão ligados ao quociente. A razão é o quociente de dois números, e a proporção é a igualdade entre duas razões.
A divisão é uma das quatro operações fundamentais da Matemática. A divisão pode ser representada da seguinte forma:
11) Em uma sala de aula com 50 alunos, 30 são meninos e 20 são meninas. Determine as razões descritas abaixo:
a) Razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos.
Número de meninas: 20
Total de alunos: 50
A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada pelo quociente, que é uma divisão representada como fração:
20 = 0,4
12) Razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos.
Número total de meninos: 30
Número total de alunos: 50
A razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos:
30 = 0,6
Já a proporção é obtida pela razão. Veja a seguir a definição de proporção:
13) Encontre o valor de x nas proporções. Considere que "o produto dos extremos é igual ao produto dos meios".
a)2= 5
5 . x = 2 . 10
b)1,5 = x
3 . x = 2 . 1, 5
14) Escreva as razões, determine a proporção e encontre o valor de x no problema a seguir:
A razão entre a altura de um prédio vertical e a medida de sua sombra, em determinada hora do dia, é de 15 para 5. Se a sombra medir 4 metros, qual é a altura do prédio?
A fração das duas razões devem ser estruturadas com a medida do prédio no numerador e a medida da sombra no denominador. O que queremos encontrar é a medida do prédio, que chamaremos de x, quando a sombra mede 4 m.
Conclusão: o prédio possui 12 metros de altura.
A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatística, possui participação ativa na apresentação de dados comparativos e organizacionais.
Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal (denominador igual a 100) e, quando escritos de maneira formal, devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir, que serão demonstrados por meio das três formas possíveis:
A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é com a utilização de exemplos que envolvem situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir:
15) Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual é o preço da mercadoria na compra à vista?
Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal correspondente:
12% = 12/100 = 0,12
12/100 . 900 = 12 . 900/100 = 1080/100 = 10800/100 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais
0,12 . 900 = 108 reais
Conclusão: o desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, portanto, o preço é de R$ 792,00.
16) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador sabendo que o salário bruto do funcionário era R$ 1.200,00.
8/100 . 1200 = 8 . 1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais
0,08 . 1200 = 96 reais
Conclusão: o depósito efetuado foi de R$ 96,00.
17) Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta.
Podemos utilizar uma regra de três simples.
Alunos → 13 ---------- 52
Porcentagem → x ----------- 100%
52x = 13 . 100
52x = 1300
x= 1300/52
Conclusão: 25% dos alunos utilizam bicicletas.
00) Carlos jogou fora 20% das 10 laranjas que ele tinha. Quantas laranjas foram pro lixo?
10 . 20/100 (vinte por cento) = 2 laranjas
Conclusão: 2 laranjas foram jogadas fora por Carlos.
18) Luana comprou uma cafeteira por R$200,00 e meses depois vendeu por R$300,00. Qual foi a porcentagem (p) de ganho de Luana?
200 + 200 . p/100 = 300
200 * p/100 = 100
p/100 = 100/200
p/100 = 1/2
Conclusão: Luana ganhou 50% na venda da cafeteira
19) José comprou um computador por R$1000,00 e 2 anos depois o computador foi vendido por R$800,00. De quanto foi a desvalorização (d) do computador?
1000 + 1000 * d/100 = 800
1000 * d/100 = -200
d/100 = 200/1000
Conclusão: José teve um prejuízo de 20% ao comercializar seu computador.
Representado pela letra grega "π", o Pi é um número irracional que possui uma quantidade infinita de casas decimais.
O que o número Pi representa?
Esse número representa o resultado da divisão do perímetro da circunferência de um círculo pelo seu diâmetro.
Valor do número Pi
Como o número Pi é infinito, veja a seguir a sua representação com 20 casas decimais.
π = 3,14159265358979323846…
Para que serve o número Pi?
O número Pi (π) é a constante numérica mais antiga da qual a humanidade tem conhecimento. Ao longo das eras, filósofos, matemáticos e estudiosos encontraram essa constante inúmeras vezes.
Ela foi utilizada para a formulação e a realização de cálculos e teorias simples e rebuscadas como: a área de um círculo, o volume do círculo, a superfície de uma esfera, o espaço curvo na teoria da relatividade etc.
Origem desse número
É difícil determinamos quando foi a primeira referência feita ao número Pi (π) da forma como o conhecemos nos dias de hoje. Estudiosos dizem que tal menção pode ter ocorrido por volta de 430 a.C., tal feito é atribuído a Hippokrates de Chios.
Leitura e construção de gráficos
Os gráficos são ferramentas que facilitam a análise e interpretação de um conjunto de dados. Existem diversas opções de representação gráfica.
O gráfico de linha é usado para apresentar uma sequência de valores de um elemento (eixo y) ao longo do tempo (eixo x). São muito úteis para representar a evolução de um certo dado.
Veja mais um exemplo de gráfico de linhas:
Suponha que no decorrer ano de 2015, uma determinada cidade recebeu um grande número de turistas e classificou-os de acordo com a nacionalidade, conforme mostra a tabela a seguir:
De acordo com a tabela, o gráfico de setores, dos turistas segundo a nacionalidade, destaca as diferenças entre as percentagens com setores de diferentes cores. Veja:
Uma forma moderna de apresentar um conjunto de dados, são os Infográficos que são a junção das palavras info (informação) e gráfico (desenho, imagem, representação visual), ou seja, um desenho ou imagem que, com o auxilio de um texto, informa sobre um assunto que não seria muito bem compreendido somente com um texto, auxiliando a compreensão do leitor. As imagens podem conter alguns tipos de gráficos.
Probabilidade é o estudo das chances de ocorrência de um resultado, que são obtidas pela razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas definições mais básicas, como a fórmula para o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis, probabilidade da união de dois eventos, probabilidade do evento complementar etc.
É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: ao jogar uma moeda e observar a face superior, é impossível saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no caso em que a moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais frequentemente).
Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório.
Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento aleatório. Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto amostral desse experimento.
O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele.
Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as representações de conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral referente ao experimento "lançamento de um dado" é o conjunto Ω, tal que:
Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, dependendo do experimento, por alguma lei de formação.
O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). No caso do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral são pontos amostrais, ou seja, resultados possíveis de um experimento aleatório.
Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. No segundo, é chamado de evento certo.
Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes eventos:
A = Obter um número par:
A = {2, 4, 6} e n(A) = 3
B = {2, 3, 5} e n(B) = 3
C = {5, 6} e n(C)= 2
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6
Um espaço amostral é chamado equiprovável quando todos os pontos amostrais dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. É o caso de lançamentos de dados ou de moedas não viciados, escolha de bolas numeradas de tamanho e peso idênticos etc.
Um exemplo de espaço amostral que pode ser considerado não equiprovável é o formado pelo seguinte experimento: escolher entre tomar sorvete ou fazer caminhada.
As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis, ou seja:
P = n(E)
Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a probabilidade, e Ω é o espaço amostral que o contém.
20) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número um?
Nesse caso, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo:
21) Qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado?
Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3.
Observe que as probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um subconjunto de Ω.
Conclusão: dessa maneira, E pode conter desde zero até, no máximo, o mesmo número de elementos que Ω.
22) Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?
Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.
P(E) = n(E)
P(E) = 0,5 = 50%
23) Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais?
Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis:
(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)
O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis:
(C, C); (K, K)
Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo:
24) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?
Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
P(E) = 0,33... = 33,3%
25) Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?
Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.