Cubos, paralalelepípedos e cilindros: geometria e os bonecos de papel (paper toys)
Atividade exige apenas uso de papel, tesoura, cola e sólidos geométricos
Identificar e analisar as propriedades (características) comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais
Compreender as ideias intuitivas e conceituais de polígonos, sólidos poliédricos e corpos redondos e diferenciar esses conceitos
Verificar e determinar o número de faces, vértices e aresta dos poliedros
Construir sólidos e reconhecer as suas faces poligonais e não poligonais
Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas
Investigar, deduzir, compreender e utilizar a fórmula de Euler
Geometria espacial: sólidos poliédricos, corpos redondos, relação de Euler
Sólidos Geométricos (de acrílico, vidro ou plástico, caixas de papelão ou materiais de sucatas)
Tesouras (sem pontas)
Cola (bastão ou branca)
Paper toys impressos em papel couché, cartolina ou canson (baixe os modelos aqui, aqui ou aqui)
Opcional: Projetor e computador com os softwares Poly 1.12 (gratuito) e Great Stella Demo (Gratuito)
Em um lugar de destaque na sala de aula, coloque vários sólidos geométricos (a maior variedade possível) em cima da mesa. Os sólidos podem ser comprados prontos ou podem ser objetos do cotidiano que lembrem a forma de sólidos geométricos (como caixas, chapéus de festa, etc). Peça aos alunos que consiga reorganizá-los em dois principais grupos de acordo com as suas características comuns.
Levante questões como: todos eles têm faces e lados? Quais são os que têm partes arredondadas? Os sólidos são fechados ou abertos? Quantas dimensões cada um deles possui? Todos podem ser empilháveis? Por quê? Quais são os sólidos que rolam e aqueles que só ficam de pé?
Conduza a turma para que eles cheguem a uma separação nos seguintes grupos:
Poliedros: todos os sólidos tridimensionais que não possuem partes arredondadas e cujas faces são poligonais como pirâmides, prismas (cubos, paralelepípedos), etc.
Corpos arredondados: sólidos tridimensionais que possuem, ao menos, uma parte arredondada, como esferas, cilindros, cones, troncos de cones, etc.
Enquanto os alunos classificam cada sólido em um desses dois grupos, intervenha questionando os porquês de classificar cada um nos grupos. Peça que eles identifiquem arestas, faces e vértices. Peça que façam o registro. Caso se faça necessário, estimule os alunos a apresentarem os seus relatos posteriormente à turma. Deixe para falar (formalizar) o nome de cada grupo (Poliedro e Corpo Redondo) só no final, depois que os alunos apresentarem suas ideias.
Ao final da atividade, professor (a), os alunos deverão ser capazes de reconhecer que os sólidos geométricos são classificados em dois principais grupos (Poliedros e corpos redondos) de acordo com suas especificidades e características.
Organize a turma em duplas e entregue um molde de Paper-Toy para cada uma delas. Professor (a), você pode criar os seus próprios moldes e levá-los para a sala de aula ou encontrá-los prontos em alguns sites específicos, que os disponibilizam gratuitamente para a impressão em PDF, como:
LabCriativo: pessoas, desenhos animados, outros
CubeCraft: personagens de games, animes e super heróis
Paperbox World: bichos em forma de cubos - mais fáceis de montagem
Peça que eles montem os toys. Oriente-os a, durante a construção do robô de papel, observar o número de faces, de vértices e de arestas formadas. Peça que registrem essa quantidade de elementos no caderno.
Encoraje-os a observar a forma das faces. Aqueles que possuem ao menos uma parte arredondada (como uma face circular) são conhecidos como corpos redondos. Os poliedros são aqueles compostos apenas por faces poligonais, vértices e arestas. Exemplifique apontando esses elementos nos bonecos construídos pela turma.
Polígonos são figuras formadas apenas por segmentos de reta consecutivos e não colineares. São eles: quadrados, triângulos, pentágonos, etc.
Arestas são os pontos em que duas faces se encontram.
Vértices são as pontas em que três ou mais faces se encontram.
Uma dica para finalizar essa etapa da atividade é organizar uma roda de conversa com os alunos. Se julgar necessário, promova uma discussão com a garotada para determinar a quantidade de elementos (vértices, arestas e faces) dos toys construídos.
Organize a sala em grupos de aproximadamente quatro alunos. Entregue para cada grupo um molde dos personagens dos Angry Bird (que podem ser baixados em aqui). Quando os alunos terminarem a montagem dos toys, incentive-os a tentarem classificá-los em primas, pirâmides ou outros.
Nessa etapa do processo, os estudantes provavelmente farão a classificação dos sólidos pelos seus aspectos mais globais (como a forma). Incentive-os a investigar características mais específicas de cada sólido pertencente a cada grupo, como o formato das faces e a posição delas em relação a vértices e arestas. Anote-as no quadro-negro e promova uma discussão sobre essas ideias. Depois, formalize o conceito de pirâmide, prismas e outros a partir da discussão feita.
Observe as definições de cada poliedro.
Pirâmide: poliedro que tem uma base oposta a um único vértice.
Prisma: poliedros que têm duas bases paralelas e congruentes.
Outros: todos que não são nem pirâmides nem prismas.
Se achar necessário, utilize o software 'Great Stella Demo" para apresentar/discutir outros tipos de pirâmides, prismas e outros. O software está disponível para download aqui.
No final da etapa, os alunos deverão ser capazes de classificar os poliedros em pirâmides, prismas e outros de acordo com suas características globais e específicas. Uma outra ideia para finalizar essa etapa é estimulá-los a encontrarem pontos comuns e distintos entre cones e pirâmides, prismas e cilindros. Para ajudar nessa discussão/distinção explore os sólidos ou software.
Inicialmente, apresente aos alunos os cinco sólidos platônicos (ou sólidos regulares) à turma: tetraedro, hexaedro (cubo), dodecaedro e icosaedro. Você pode usar o software Poly 1.12 (ele possibilita visualizar, rotacionar e planificar as faces dos sólidos), disponível para download em http://www.peda.com/download/.
Explique aos alunos que os sólidos regulares recebem o nome de 'platônicos' em homenagem as contribuições dos estudos do filósofo Platão entre os séculos V e IV a.C. Porém, o mais importante nesse momento é discutir com eles as características peculiares destes sólidos, destacando que todos eles têm faces poligonais congruentes (iguais) e o número de arestas é igual em todas as suas faces. Explique também que nesses sólidos vale a relação de Euler. Os estudantes questionarão o que essa relação significa. O interesse é dizer que essa relação será investigada e Descoberta em conjunto. A ideia aqui não é apresentar a fórmula de Euler, mas propor que os alunos a deduzam.
Para isso entregue uma tabela (conforme abaixo em branco) para cada aluno (ou cada grupo). A tarefa é que os alunos analisem inicialmente cada um dos 5 sólidos platônicos e depois determinem o número de faces, arestas e vértices de cada um deles. Assim que eles determinarem o número de cada elemento do poliedro, instigue-os a descobrirem a relação entre a soma de faces e vértices e o número de arestas. Os alunos deverão chegar à conclusão que a soma do número de faces e vértices é sempre duas unidades a mais que o número de arestas. Caso os alunos não consigam deduzir essa relação, ajude-os a determinar o número de faces, vértices e arestas e depois a encontrar a soma de faces e vértices, estimulando-os a analisar quantas unidades da soma de faces e vértices é maior do que o número de arestas do poliedro. Uma dica é fazer algumas perguntas aos alunos: existem mais arestas ou mais faces? A soma do número de faces e vértices é sempre maior que o número de arestas? Por quê? Isso sempre vai acontecer? Essa quantidade é quantas unidades a mais? Assim que eles entenderem que a soma do número de faces mais o número de vértice é igual ao número de arestas mais duas unidades, formalize a relação de Euler.
Sólido platônico Faces (F) Vértices (V) Arestas (A) F+ V
4 4 6 4+4=8
6 8 12 6+8=14
8 6 12 8+6=14
12 20 30 12+20=32
20 12 30 20+12=32
No final, explique (com alguns exemplos) que a relação de Euler ( F + V = A + 2 ) vale para qualquer poliedro convexo. Uma sugestão é utilizar o software Poly 1.12, que mostra a planificação das faces dos sólidos e evidencia os seus elementos visivelmente.
No final da atividade, com o software Poly aberto, discuta com os alunos que, desde a antiguidade, até meados do século 18, nenhum estudioso havia identificado a relação entre esses sólidos. Ela foi anunciada de forma intuitiva por Leonhard Euler (1707-1783) e formalizada anos depois por outros matemáticos. O intuito desta atividade é, mais do que propor o cálculo da quantidade de elementos dos sólidos, é deixar os jovens explorar, levantar hipóteses e perceber a regularidade matemática existente de maneira intuitiva, assim como Euler a descobriu.
Diga aos alunos que eles serão arquitetos por um dia. Explique a função de um arquiteto e chame a atenção para a presença constante de sólidos geométricos desde as construções mais simples até aquelas mais curiosas.
Depois disso, diga aos alunos que eles deverão construir um projeto de um bairro (em forma de maquete) em conjunto. Trata-se de um local que deva ser formado apenas por sólidos geométricos (poliedros e/ou corpos redondos), como prédios, casas, carros e pessoas. As pessoas serão os próprios Toys. Inicialmente, oriente os alunos a definirem um possível mapa do bairro no quadro negro, destacando o formato de suas ruas e a organização da estrutura dos edifícios (casas, prédios, hospital, supermercado, parque de diversão, escola, entre outros).
Durante a construção desse mapa no quadro-negro, incentive os alunos a pensarem nas ideias matemáticas envolvidas em cada elemento do bairro, como: (a) segmentos paralelos e concorrentes (especialmente, os perpendiculares) para as ruas e avenidas, faces poligonais e não poligonais para os objetos (casas, prédios, carros, entre outros) do bairro, etc.
Assim que o mapa do bairro estiver pronto (feito no quadro-negro ou em uma cartolina), divida os alunos em quatro principais grupos. Cada grupo receberá um isopor e deverá construir uma parte do bairro que, depois de ficarem prontas, deverão ser unidas com as demais partes. A ideia é fazer com que os alunos dividam entre eles as partes que cada um irá construir.
Esta etapa, além de estimular a autonomia e o poder de decisão, permite o aluno a desenvolver habilidades de visualização e fazer/discutir a localização adequada dos objetos do mapa em lugares específicos e gerais. Assim que os grupos se formarem, entregue para cada um deles alguns moldes de sólidos e peça-os para que construam seus próprios objetos e cenários. Mas atenção: a ideia aqui é entregar moldes de sólidos gerais (como: prismas, pirâmides, etc.) e, a partir deles, os alunos possam combiná-los de modo a formar os objetos desejados, como: os toys, os prédios, as casas, entre outros. Por exemplo, o aluno pode construir uma casa usando um cubo na base e para o telhado uma prisma de base triangular. É uma atividade em que, você professor (a), deve reforçar os conceitos matemáticos já trabalhados (elementos dos sólidos e suas planificações e características) e incentivar a criatividade do aluno ao construir seus próprios objetos e os toys.
É importante durante a construção da maquete discutir com os alunos que a Geometria pode ser vista por toda parte, mesmo quando não queremos enxergá-la. Quando as quatro partes forem unidas pelos grupos, formando-se a maquete do bairro, discuta que as ideias de Geometria envolvidas durante a construção e mostre que ela está presente em nosso cotidiano manifestando-se de diferentes formas, como: através do perpendicularismo e paralelismo entre as ruas e avenidas, entre as figuras destacando a ideia de proporcionalidade, a mediação (tamanho, comprimento, área e volume) dos objetos, etc.
A intenção é que os alunos, usando seus paper toys, produzam seu 'stop motion'. Trata-se de um vídeo que é formado por uma sequência de fotos, que dá a ideia de movimento. Exemplos de 'Stop Motion':
A ideia é que os estudantes utilizem os seus paper toys construídos e produzam um stop motion de 1 minuto falando sobre o conteúdo de Geometria estudado. Se você julgar interessante, divida a turma em grupos e entregue um conteúdo específico estudado a cada um. Os grupos podem utilizar diferentes recursos tecnológicos para montar o seu stop motion, como smartphones, câmeras, tablets, computadores, etc. É uma atividade que pode ser realizada tanto dentro de sala de aula quanto fora dela. Incentive os alunos a pesquisarem novas informações do conteúdo estudado em sala e peça para acrescentá-las em sua produção. No final, oriente os grupos para apresentarem os seus projetos produzidos à turma ou se preferir à escola.
Participação e envolvimento do aluno ao longo de todas as atividades desenvolvidas. Produção do caderno e dos materiais (didáticos e tecnológicos) produzidos. Envolvimento na produção e apresentação dos Paper Toys e "Stop motion".
Créditos: Greiton Toledo de Azevedo Cargo: Educador Nota 10 de 2016 e mestre em Educação Matemática pela Universidade Federal de Goiás (UFG)