quinta, 28/11/2019
Logaritmo é um assunto recorrente no Ensino Médio e também no Enem, principalmente porque envolve outros temas como a fatoração. Entender as propriedades logarítmicas pode até parecer complicado, mas se você aprender as definições básicas, conseguirá progredir e resolver problemas mais complexos. Vamos lá!
Em primeiro lugar, vamos relembrar o conceito de exponenciação ou fatoração, que significa a multiplicação do número por si mesmo diversas vezes. Por exemplo:
De outra maneira, podemos dizer que a expressão acima equivale ao número 2 elevado à 3ª potência. Vamos a outro exemplo:
Qual o resultado de 2 elevado à quinta potência?
25 = 2x2x2x2x2 = 32
Agora, imagine que nós mudamos a variável da pergunta e queremos saber a qual potência o número 2 deve ser elevado para dar 32 como resultado. Para resolver essa questão, existem os logaritmos! Aprenda um pouco mais sobre eles a seguir:
loga b = c
De acordo com a sua estrutura, o número c representa a qual potência elevamos a para obter b como resposta. Além disso, o logaritmo segue as seguintes condições:
a,b e c são números reais
a > 0 e a ≠ 1
A nomenclatura de cada um dos elementos é:
c = logaritmo
Veja como resolver um logaritmo simples:
log464 = x
Para encontrar a resposta, devemos fatorar o número 64:
O resultado é 26, porém, para equiparar à base do logaritmo, nós podemos escrevê-lo na base 4, veja:
26 = 2x2x2x2x2x2 = 4x4x4 = 43
log39 = 2
log2-32 = Não existe, pois b não pode ser menor que 0.
A própria definição de logaritmo resulta em alguns casos notáveis, como:
1) loga 1 = 0
Qualquer base elevada a 0 é igual a 1.
2) logaa = 1
Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo.
3) loga am = m
Para termos o resultado am, precisamos elevar a à potência m; logo am = am
4) alogaN= N
Supondo que loga N = m, am = N(1)
alogaN = am (2)
Comparando as duas:
alogaN = am = N
alogaN= N
Ainda a partir das definições de logaritmos, podemos desenvolver algumas das propriedades frequentemente utilizadas nos cálculos. Para tal, é preciso considerar as seguintes condições:
a,b e c = números reais positivos
b e c não nulos
Veja as propriedades:
Propriedade 1: loga(b.c) = logab + logac
O logaritmo do produto de (b.c) é igual à soma do logaritmo de b com o logaritmo de c. Veja:
log2(4.8) = 2 + 3
log2(4.8) = 5
Propriedade 2: logab/c = logab - logac
O logaritmo do quociente de (b/c) é igual à diferença entre o logaritmo de b e o logaritmo de c. Veja:
log327/9 = log327 - log39
log327/9 = 3 - 2
log327/9 = 1
Propriedade 3: logabc = c.logab
O logaritmo da potência bc será igual à multiplicação de c pelo logaritmo de b. Veja:
log283 = 3.log28
log283 = 3.3
log283 = 9
Propriedade 4: loga(c√b) = 1/c . logab
O logaritmo de (c√b) é igual ao inverso de c multiplicado pelo logaritmo de b. Veja:
log35√9 = 1/3 . log39
log35√9 = 1/3 . 2
log35√9 = 2/3
Há casos em que sabemos o valor do logaritmo de um número em uma base a, mas queremos o valor do logaritmo em outra base. Para isso, utilizamos a propriedade da mudança de base, veja:
logab = logcb/logca
A propriedade da mudança de base diz que o logaritmo de um número de base b é igual ao logaritmo desse número em uma base c, dividido pelo logaritmo da base a na base c. A equação também pode ser escrita da seguinte maneira:
logca . logab = logcb
O assunto de logaritmos pode ser bem complexo e, para aprender tudo, você precisa praticar bastante! Estude as definições e as propriedades básicas, faça exercícios e avance para exemplos mais complexos.