Modelo Black-Scholes na precificação de opções | Bússola do Investidor
Ao longo da evolução do mercado financeiro, a precificação de opções já foi realizada por meio de diversos diferentes modelos, mas atualmente os mais comuns são o Binomial e o modelo Black-Scholes.
Ambos levam em consideração várias variáveis no momento de se precificar uma opção e por isso envolvem certa complexidade.
No entanto, isso também garante que os resultados sejam mais precisos.
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1. Black-Scholes: Como utilizar?
a. Variáveis para precificação no modelo
b. Cálculos da Black-Scholes
2. O Preço da ação
Cálculo com o modelo Black-Scholes para precificar uma call europeia
Calcule o prêmio da opção de compra com:
3. Limitações do modelo Black-Scholes
4. Sua vez de usar a Black-Scholes na prática
Devido sua relativa simplicidade e alta eficácia, o modelo Black-Scholes é amplamente utilizado para encontrar os preços justos de opções.
Foi elaborado por dois cientistas chamados Fisher Black e Myron Scholes, que adaptaram uma fórmula física para descrever um fenômeno financeiro que é a precificação de derivativos.
Este modelo foi proposto pela primeira vez em 1973, e fez seus criadores ganharem o prêmio Nobel de 1997.
Por isso, esse modelo sofreu várias alterações visando maximizar sua utilidade.
Da mesma forma, as mudanças maximizaram sua função de somente precificar e nos forneceu critérios para analisar os mercados mais a fundo.
Um exemplo disso seriam as letras gregas derivadas desse modelo que nos dão uma nova fronteira de possibilidades de análises.
O modelo em si leva em consideração essencialmente 5 variáveis:
Volatilidade (anualizada, considerando a função financeira de cálculo de juros compostos calculada continuamente)
Taxa de Juros livre de risco (SELIC, no caso brasileiro)
Tempo restante para o exercício da opção
BÔNUS: Faça o download de nossa planilha Calculadora Black-Scholes Para Excel
Além do fator temporal para o exercício, que é inerente ao processo de precificação de uma opção, uma vez que ele elimina as incertezas, a volatilidade é a variável de maior peso na precificação.
A partir de seu resultado é possível precificar com grande possibilidade de acerto o valor correto.
Em certas hipóteses, é possível até projetar preços futuros, mas as particularidades dessa variável serão vistas mais à frente.
Fazer todos os cálculos do modelo Black-Scholes não é fácil!
Por isso, o ideal é ter a ajuda de computadores, utilizar alguma calculadora disponível online (como esta aqui) ou utilizar o Excel com cotações em tempo real.
Calcularemos somente a opção call (compra), uma vez que o calculo da opção put (venda) é realizado da mesma maneira, porém com sinal inverso.
A fórmula de cálculo do modelo Black-Scholes para calcular o prêmio de uma call europeia é:
Preço de Exercício do ativo K.
Taxa de Juros livre de risco r com período anual e medida como taxa instantânea no regime de capitalização contínua.
Os fatores N(d) são as probabilidades acumuladas de menos infinito até o valor d correspondente. Os valores obtidos depois de aplicados os conceitos algébricos são submetidos as conceitos estatísticos.
Note que para analisar o prêmio da call a análise é realizada em uma data anterior ao exercício da call.
Quanto maior for o preço da ação, maior será o prêmio da opção de compra (call).
Duas opções call derivadas da mesma ação com preços de exercício diferentes, a call com maior preço de exercício terá menor prêmio.
Preço de exercício X = R$100,00
Prazo de 90 dias até a data de exercício
Preço da ação S = R$100,00
Volatilidade anual dos retornos da ação = 50%
Taxa de juros efetiva livre de risco de 6% durante 365 dias
Começamos por preparar os dados para a precificação de opções com o modelo Black-Scholes:
Como a data de exercício ocorrerá em 90 dias da analise, o prazo T é igual a 0,2466 obtidos como resultado de dividir 60 por 365 (duração de um ano).
Como a taxa de juro efetiva livre de risco é 6% aos 365 dias, a taxa instantânea equivalente no regime de capitalização continua é de 5,827 com o mesmo período, resultado obtido com r = ln(1+0,06).
Sendo ln o logaritmo neperiano, ou logaritmo de base e.
A seguir calculamos os desvios padronizados d1 e d2.
O resultado d1 = 0,1820 é obtido com:
d1 = Ln(100 / 100) + (0,0583 + 0,5² / 2) * 0,2466
0,50 * ( 0,02466)¹/²
d1 = 0,1820
Essa variável estimada com a função da distribuição normal cumulativa padrão, com média zero e desvio padrão 1.
O resultado d2 é obtido assim:
d2 = 0,1820 – 0,50 * 0,2466¹/²
d2 = -0,0663
Essa variável será estimada com a função da distribuição normal cumulativa padrão, com média zero e desvio padrão 1.
O prêmio C da call é R$10,54, resultado obtido com:
C = R$10,54
O modelo Black-Scholes é um ótimo dispositivo para calcular opções dentro do dinheiro (próximas ao valor de exercício).
Contudo, não é tão bom para calcular opções fora do dinheiro (longe do valor de exercício), dando diferenças substanciais entre o preço que o modelo aponta e o preço real da opção.
Geralmente, essa fórmula dá valores muito inferiores ao que o mercado está negociando.
Por isso, como todo modelo que tenta representar quantitativamente a realidade, não mensura variáveis subjetivas.
o achado de uma nova bacia de petróleo ou uma crise de crédito em determinado país
Como as opções fora do dinheiro são as mais sujeitas a variações da volatilidade e pela grande probabilidade de não serem exercidas, o modelo geralmente não as precifica corretamente.
No início deste artigo você fez o download da planilha calculadora Black-Scholes para Excel.
Esta planilha é muito útil não só para que você aprenda o funcionamento, mas também para que você comece a precificar suas próprias opções.
Para deixar esta planilha ainda mais poderosa, você pode fazer o download do nosso Link RTD para Excel, que atualiza em tempo real as cotações dos ativos da Bovespa, incluindo opções.
E aí, curtiu o artigo? Agora, queremos saber: Você já utilizava o modelo Black-Scholes na sua estratégia?
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janeiro 26, 2014 at 12:56 pm
Um bom livro sobre o assunto, em português é Mercado de Opções do prof.Luiz Mauricio da Silva, com 890 páginas. Explica tudo de forma didática sobre B&S e ainda mostra centenas de estratégias com opções envolvendo calls e puts. Editora Halip. abraço
Rodrigo Faus
abril 10, 2014 at 10:26 am
Use o livro "Options, Future, and Other Derivatives" do Hull. Um clássico sobre futuros e derivativos
Anselmo das Neves
Muito boa tarde. Gostaria entender mais como fazer a determinação de d1 na tabela de distribuição normal padrão acumulativa. (refiro-me a exercios de precificação de accções – Black e Scholes