Ondaletas são funções. Seu uso na decomposição de um sinal, ou série temporal, tem uma motivação no fato de que este sinal pode ser entendido como um elemento de um espaço de Hilbert, a saber, o L2, o espaço das funções de quadrado somável sobre R. Como é um fato largamente conhecido, todo espaço de Hilbert possui uma base ortonormal, em termos da qual seus elementos podem ser escritos. No caso do L2, é possível obtermos uma base de ondaletas.
A noção de ondaletas foi introduzida em 1910 por Haar [Ha10] e recentemente desenvolvida em trabalhos como [Gr88] e [Da92]. Algumas classes de ondaletas podem ser mencionadas, como a ondaleta Meyer, Morlet e o chapéu mexicano. Na Figura 1, abaixo, vemos o gráfico de uma ondaleta:
Através do estudo dos coeficientes de um dado sinal em termos de uma base de ondaletas, obtemos informações acerca da série temporal. Em termos bastante gerais, a ideia por trás da análise de ondaletas é entender como uma particular média ponderada de um conjunto de funções varia entre períodos.
Em se tratando de uma série temporal, este intuito pode ser traduzido como o entendimento de como os componentes do sinal variam em diferentes escalas, ou seja, em diferentes frequências temporais. Assim, por exemplo, ao analisarmos a série de retornos do Ibovespa através da metodologia de ondaletas, podemos endereçar questões como a diferença de volatilidade entre os investimentos especulativos e o investimento em bolsa de micro e pequenos investidores.
Em uma dada família de ondaletas, por exemplo, a família Haar ou Morlet, dois tipos de funções podem ser mencionadas, as ondaletas pai e ondaletas mãe. As primeiras são, de modo geral, empregadas nos componentes de mais alta frequência, ao passo que as ondaletas mãe são utilizadas nos componentes de frequência mais baixa. De forma alternativa, pode-se dizer que as ondaletas pai endereçam componentes de tendência da série temporal, enquanto as ondaletas mãe encarregam-se dos componentes responsáveis por desvios com relação à tendência.
Assim, dada uma ondaleta pai Ø, uma ondaleta mãe φ, e um inteiro positivo J, pode-se obter uma família:
A expressão em (1) é a representação da função ƒ em uma base de ondaletas. É clara a semelhança entre a representação em (1) e a representação de uma função de L2(0,2π), dada em termos dos coeficientes de Fourier e de funções trigonométricas.
De posse da definição formal de uma ondaleta, passemos à discussão da transformada discreta de ondaletas (TDO) e da transformada discreta de ondaletas de máxima sobreposição (TDOMS). Vejamos primeiramente o caso da TDO.
Considere uma série temporal de tamanho N = 2J dado por X. Então, o vetor da transformada discreta de ondaletas, ω, de comprimento N é dado por:
onde ωi cada é um vetor de tamanho N / 2i associado a mudanças na escala σi = 2i-1, enquanto υJ é um vetor de comprimento N / 2J e está associado aos coeficientes referentes às médias da escala 2J. Já a matriz ortonormal W consiste dos filtros - ou ondaletas - utilizados na decomposição do sinal.
Passemos agora à análise da transformada discreta de ondaletas de máxima sobreposição, TDOMS. Ao contrário do caso anterior, X não necessita ser um vetor de comprimento 2N, de modo que tomamos X um vetor de observações para uma dada série temporal de comprimento N. Então, o vetor de comprimento (J + 1)N dos coeficientes de TDOMS é dado por:
onde é uma matriz do R(J+1)NxN que define a TDOMS, e é construída de forma análoga àquela brevemente descrita para o caso da TDO. Deste modo, o uso das matrizes W e é crucial na análise da composição do sinal em cada uma das distintas escalas em cada instante do tempo.
O objetivo principal deste trabalho é estimar uma estrutura de volatilidades e correlações para os índices financeiros descritos há pouco nas diversas escalas permitidas pela análise de ondaletas. Para tanto, apresentamos a metodologia empregada.