Quando Isaac Newton elaborou sua teoria sobre gravitação, fez com que a humanidade desse um salto gigante em relação à ciência do passado. Até então, a geometria dominava o mundo, os geômetras eram considerados os maiores e melhores matemáticos. Não é a toa que Kepler perdeu anos de sua vida tentando explicar a órbita dos planetas em termos de circunferências.
A lei de Newton sobre a dinâmica dos corpos, introduziu a noção de diferenciabilidade, de derivada e de integral. A noção de como as taxas variam no tempo, fez com que conceitos antigos passassem por revisões. A própria lei de Kepler para a gravitação passou por correções e interpretações mais simples. A noção da derivada envolve outro bonito conceito sobre limites o que fez muitos matemáticos passarem a vida tentando alcançar o infinito através de séries e sequências. A fórmula
diz que uma taxa (taxa de crescimento do PIB, taxa de inflação, etc) varia no tempo e recebe o nome de derivada, quando para um tempo muito, mas muito pequeno, a diferença entre uma função no passado e seu valor "delta" no futuro ponderado pelo tempo se torna a declividade de uma reta tangente à trajetória dos dados. Assim a derivada de uma função apresenta a declividade de uma reta que tangencia a trajetória, o que é bem diferente do simples cálculo da taxa
Como resolver um sistema dinâmico?
No princípio a resolução de sistemas com derivadas envolvia as regras de derivação e depois as regras para integração. A noção de sistemas dinâmicos como é conhecida hoje em dia foi moldada por Poincaré que ficou famoso ao provar que o problema de três corpos (Sol, Terra e Lua) não tem solução fechada em sistemas dinãmicos. Foi ele o responsável por construir teoremas que envolveram assuntos novos até então tais como estabilidade, instabilidade, pontos estáveis e conceitos em geral sobre tipos e soluções para sistemas dinâmicos.
Um sistema dinâmico não se compõe apenas de derivadas, mas de relações entre derivadas que gerou outro conceito no século XIX: o conceito de modelagem matemática de sistemas. Modelos não param de surgir para tentar imitar a realidade. Muitos modelos são baseados em relações entre tantas derivadas que do ponto de vista matemático não existem soluções fechadas, apenas as conhecidas soluções numéricas que são obtidas somente via computador.
No princípio eram modelos bem simples tais como os que dependiam apenas de uma variável e do tempo. Exemplos como decaimento exponencial e crescimento exponencial rechearam livros antigos tais como as aplicações de Maltus sobre a possível fome mundial com a escassez de alimentos.
Depois a ampliação de inter-relações entre diversas derivadas, geraram os conceitos de sistemas, com diversas variáveis, diversos parâmetros e se perturbações aleatórias forem introduzidas muitos cenários diferentes são obtidos para a mesma condição inicial. Hoje em dia, existem modelos com até 150 equações diferenciais para simular uma bolsa de valores , por exemplo ou até mais como no caso de games famosos como "flight simulator" e "simcity".
O que é uma equação diferencial?
Uma equação diferencial é o centro de todo estudo sobre simulação computacional amplamente divulgado hoje em dia. É possível simular modelos sem saber que equações estão regendo o modelo? Sim, tal como todo simulador é possível brincar sem saber a matemática envolvida, mas se poderá chegar apenas como um excelente jogador e não um especialista.
Existem diversos softwares que promovem a simulação de sistemas dinâmicos proporcionando a alunos e professores apenas arrastarem caixas e retas ligando variáveis. O problema que esses softwares para se tornarem mais ágeis já chegaram a utilizar nas primeiras versões integradores das equações dos mais banais e mais antigos. Conclusão: uma gama enorme de trabalhos "ditos científicos" se perdeu com sua inutilidade pois a solução estava toda fora da realidade. Era como se discutisse "sexo dos anjos".
Uma equação diferencial é uma regra que foi encontrada para a variação instântanea da derivada, por isso o nome modelo. A variação permitiu ao pesquisador descobrir como a taxa de crescimento de uma variável se altera, permitindo então a integração dessa taxa, ou seja, resolvendo a equação diferencial. A forma dessa equação é:
Um exemplo pode ser o crescimento exponencial da inflação ou hiper-inflação que é regido pela equação diferencial
que pode ser resolvida por métodos de integração aprendidos em qualquer bom curso de cálculo. Sua solução se a>0 é a explosão exponencial e se a<0 o decaimento exponencial tais como taxa de juros, inflação, etc.
Uma simulação é uma resolução numérica de equações diferenciais ( ou de diferenças se não for utilizadas derivadas) das equações diferenciais. Essas resoluções envolvem métodos que são algoritmos baseados na definição da derivada e que são usados dentro de "loops" das programações para a efetuação de muitos cálculos recursivos sem precisar da intervenção de pessoas.
O método mais simples para a resolução de sistemas dinâmicos e não recomendado por ser muito fraco para os dias de hoje é o método de Euler, cujas equações recursivas são
Essa equação diz que o futuro da variável y no tempo (k+1) é igual ao seu passado no tempo (k) adicionado à uma correção k1 multiplicado pelo tamanho do delta de tempo que se deseja integrar (h). A função k1 é o lado direito da equação diferencial e é o próprio modelo matemático que representa o sistema dinâmico.
Assim, por exemplo, se o modelo for o modelo conhecido como crescimento limitado cuja equação é dada abaixo
o valor da função k1=r(k-y) e a partida do método numérico é dada a partir do ponto 1 estacionando no valor y=k. Essa solução é muito simples pelo método de Euler e pode ser resolvida usando VBA-Excel de qualquer versão, conforme programa ao lado. Basta supor h=0.5, com r=0.1 e k=1.5 e simular por exemplo por 59 tempos. A solução é o gráfico a seguir e pronto! Isto é uma simulação de sistema dinãmico, pobre pois o método numérico é fraco, mas conceitualmente correto pois trocando-se o método a maneira de resolver numericamente é a mesma.