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Incidentes na Estatística
Autor: Eguimara Selma Branco
§ Analisar diferentes contextos onde se apresentam incidentes estatísticos.
§ Explorar inesperados eventos estatísticos.
Para começar essa aula dividir os alunos em grupos (4 a 5 alunos). Após a organização dos grupos, distribuir um baralho de cartas a cada grupo, solicitando:
Figura 1 - Fonte: http://www.didinho.org/Baralho%20de%20cartas.jpg
Qual a probabilidade de sortear uma carta de espadas nesse baralho?
Qual a probabilidade de sortear um rei qualquer nesse baralho?
Qual a probabilidade de sortear o rei de espadas nesse baralho?
Após uma breve discussão, o professor deve encaminhar as questões para que os alunos percebam que:
A probabilidade de sortear uma carta de espadas de um baralho de 52 cartas é de ¼ de chance.
A probabilidade de sortear um rei qualquer de um baralho de 52 cartas é de 1/13 de chance.
A probabilidade de sortear o rei de espadas de um baralho de 52 cartas é de 1/52 de chance.
Eventos como esse da possibilidade de sortear uma das cartas de um baralho ou de acertarmos se é "cara" ou "coroa" ao lançarmos uma moeda, são chamados eventos aleatórios (do latim alea, sorte), porque cada um deles tem a mesma chance de ocorrer em relação a seus respectivos eventos alternativos.
Quando a ocorrência de um evento não afeta a possibilidade de ocorrência de um outro, fala-se em eventos independentes. Por exemplo, ao lançar várias moedas ao mesmo tempo, ou uma mesma moeda várias vezes consecutivas, um resultado não interfere nos outros. Por isso, cada resultado é um evento independente do outro.
Da mesma maneira, o nascimento de uma criança com um determinado fenótipo é um evento independente em relação ao nascimento de outros filhos do mesmo casal. Imaginem uma casal que já teve dois filhos homens; qual a probabilidade que uma terceira criança seja do sexo feminino?
Uma vez que a formação de cada filho é um evento independente, a chance de nascer uma menina, supondo que homens e mulheres nasçam com a mesma frequência, é 1/2 ou 50%, como em qualquer nascimento.
Eventos como esses apresentados, são estudados por um campo da matemática, chamada Probabilidade.
O primeiro estudo sistemático de como calcular probabilidades apareceu no livro Liber de Ludo Aleae, publicado em 1663, pelo médico italiano (e também matemático, físico e astrólogo) Girolamo Cardano (1501 - 1576). Devido a sua fama na época, Cardano foi convidado para fazer o horóscopo de Eduardo VI, lhe prevendo longa vida. O rei morreu no ano seguinte. Por outro lado Cardano previu o dia exato de sua morte e acertou. Muitos dizem que cometeu suicídio para tornar realidade esta previsão.
Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~nancy/Cursos/me104/prob1.pdf, acesso em 08 de novembro de 2010.
A regra do "e"
A teoria das probabilidades diz que a probabilidade de dois ou mais eventos independentes ocorrerem conjuntamente é igual ao produto das probabilidades de ocorrerem separadamente.
Esse princípio é conhecido popularmente como regra do "e", pois corresponde a pergunta: qual a probabilidade de ocorrer um evento E outro, simultaneamente? Suponha que você jogue uma moeda duas vezes.
Qual a probabilidade de obter duas "caras", ou seja, "cara" no primeiro lançamento e "cara" no segundo?
A chance de ocorrer "cara" na primeira jogada é, como já vimos, igual a ½; a chance de ocorrer "cara" na segunda jogada também é igual a1/2. Assim a probabilidade desses dois eventos ocorrer conjuntamente é 1/2 X 1/2 = 1/4. No lançamento simultâneo de três dados, qual a probabilidade de sortear "face 6" em todos? A chance de ocorrer "face 6" em cada dado é igual a 1/6. Portanto a probabilidade de ocorrer "face 6" nos três dados é 1/6 X 1/6 X 1/6 = 1/216. Isso quer dizer que a obtenção de três "faces 6" simultâneas se repetirá, em média, 1 a cada 216 jogadas. Um casal quer ter dois filhos e deseja saber a probabilidade de que ambos sejam do sexo masculino. Admitindo que a probabilidade de ser homem ou mulher é igual a ½, a probabilidade de o casal ter dois meninos é 1/2 X 1/2, ou seja, ¼.
Fonte: http://www.sobiologia.com.br/conteudos/Genetica/leismendel9.php, acesso em 08 de novembro de 2010.
A regra do "ou"
Esse princípio de probabilidade diz que a ocorrência de dois eventos que se excluem mutuamente é igual à soma das probabilidades com que cada evento ocorre. Esse princípio é conhecido popularmente como regra do "ou", pois corresponde à pergunta: qual é a probabilidade de ocorrer um evento OU outro?
Por exemplo, a probabilidade de obter "cara" ou "coroa", ao lançarmos uma moeda, é igual a 1, porque representa a probabilidade de ocorrer "cara" somada à probabilidade de ocorrer "coroa" (1/2 + 1/2 =1). Para calcular a probabilidade de obter "face 1" ou "face 6" no lançamento de um dado, basta somar as probabilidades de cada evento: 1/6 + 1/6 = 2/6. Em certos casos precisamos aplicar tanto a regra do "e" como a regra do "ou" em nossos cálculos de probabilidade.
Por exemplo, no lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de se obter "cara" em uma delas e "coroa" na outra? Para ocorrer "cara" na primeira moeda E "coroa" na segunda, OU "coroa" na primeira e "cara" na segunda. Assim nesse caso se aplica a regra do "e" combinada a regra do "ou". A probabilidade de ocorrer "cara" E "coroa" (1/2 X 1/2 = 1/4) OU "coroa" e "cara" (1/2 X 1/2 = 1/4) é igual a 1/2 (1/4 + 1/4).
O mesmo raciocínio se aplica aos problemas da genética. Por exemplo, qual a probabilidade de um casal ter dois filhos, um do sexo masculino e outro do sexo feminino? Como já vimos, a probabilidade de uma criança ser do sexo masculino é ½ e de ser do sexo feminino também é de ½. Há duas maneiras de um casal ter um menino e uma menina: o primeiro filho ser menino E o segundo filho ser menina (1/2 X 1/2 = 1/4) OU o primeiro ser menina e o segundo ser menino (1/2 X 1/2 = 1/4). A probabilidade final é 1/4 + 1/4 = 2/4, ou 1/2.
a) Ainda em sala de aula, com os alunos reunidos nos grupos, propor o recurso Probabilidade: dois dados, disponível em: http://www.uff.br/cdme/prob-doisdados/prob-doisdados-html/prob-doisdados-start.html, acesso em 08 de novembro de 2010.
Professor, essa atividade deve ser usada em sala de aula com o auxílio de um projetor multimídia. Nesse caso, você deve apresentar cada uma das questões e discutir com os alunos como resolvê-la, antes de apresentar a solução. Para isso, poderá explorar com os alunos as propriedades de eventos aleatórios e suas probabilidades a partir do experimento que consiste no lançamento de dois dados equilibrados. Um dado é verde e o outro dado é azul. A cada desafio, deverão ser marcados os elementos pertencentes a 1, 2 ou 3 eventos aleatórios definidos no enunciado. Em seguida, deverão identificar os elementos pertencentes a um outro evento, resultado de alguma operação envolvendo os eventos originais. As operações possíveis são interseção, união ou diferença.
Figura 2 - Fonte: http://www.uff.br/cdme/prob-doisdados/prob-doisdados-html/prob-doisdados-start.html
b) Propor o recurso Probabilidade: eventos equiprováveis, disponível em: http://www.uff.br/cdme/prob-bonecos/prob-bonecos-html/prob-bonecos-start.html, acesso em 08 de novembro de 2010.
Professor, da mesma forma que o recurso anterior, propor a atividade em sala de aula com o auxílio do projetor multimídia. Nessa atividade os alunos, com o auxílio do professor, poderão explorar as propriedades de eventos aleatórios e suas probabilidades a partir do experimento que consiste em sortear uma pessoa de um grupo formado por 28 meninos e meninas. A cada desafio, a composição desse grupo será alterada. Os eventos serão definidos segundo o sexo da pessoa e características de sua vestimenta. Os itens de vestuário de interesse são blusa, saia, vestido, tênis, calça ou bermuda. Conforme orientação dos alunos o professor vai marcando os elementos pertencentes a 2 eventos aleatórios A e B definidos no enunciado. Em seguida, devem identificar os elementos pertencentes a um terceiro evento D, resultado de alguma operação envolvendo A e B. As operações possíveis são interseção, união ou diferença.
Figura 3 - Fonte: http://www.uff.br/cdme/prob-bonecos/prob-bonecos-html/prob-bonecos-start.html
Outro exemplo bastante comum de aplicação da probabilidade é encontrado na previsão do tempo. Essa atividade demanda de cálculos altamente desenvolvidos que, hoje são feitos por computador, bem como, da interpretação de meteorologistas em torno dos resultados obtidos pelos computadores. Mas veja, se o serviço meteorológico indica que há 40% de chance de chover é porque, sob as condições de tempo previstas para o referido dia, há uma frequência de chuva em 40% das vezes. A Meteorologia é uma ciência exata, não porque as previsões sejam exatas, mas porque ela oferece os meios de prever e estimar o erro da previsão. Portanto um meteorologista não deveria dizer que amanhã vai chover, e sim, há 70% de "chance" de chuva amanhã.
Professor, ainda com os alunos reunidos nos grupos, propor a seguinte atividade.
Obs. Professor acompanhe os grupos no desenvolvimento da atividade. Permita que façam conjecturas, que pensem em possibilidades e alternativas, até que se encaminhem a uma resposta plaussível.
a - Supondo que temos a seguir dois meses, onde fizemos a observação diária do clima. Com base nesses dados, é possível fazer a previsão do tempo para o dia 25?
Figura 4 - Fonte: Material impresso disponibilizado pelos professores Rodolfo Eduardo Vertuan e Bárbara N. Palharini Alvim Sousa (UEL).
Figura 5 - Fonte: Material impresso disponibilizado pelos professores Rodolfo Eduardo Vertuan e Bárbara N. Palharini Alvim Sousa (UEL).
Assim: ·
- A probabilidade de se ter um dia chuvoso com base nos dados passados é de 4/28= 1/7 = 0,14 (aproximadamente) ou 14%.
- A probabilidade de se ter um dia nublado com base nos dados passados é de 7/28= 1/4 = 0,25 ou 25%.
- A probabilidade de se ter um dia ensolarado (interesse dos amigos) com base nos dados passados é de 17/28 = 0,61 (aproximadamente) ou 61%.
A soma de todos os resultados tem que ser 100% ou 1 inteiro.
Dessa forma, podemos dizer que a probabilidade do dia 25, ser um dia ensolarado ou nublado é maior que a de ser um dia chuvoso, mas percebam que por se tratar de uma previsão, as possibilidades de se ter um dia chuvoso também pode ser confirmada.
Sugestão: Para finalizar essa atividade, o professor poderia convidar um meteorologista da cidade (se houver), para explicar aos alunos como funciona o sistema de previsão do tempo, ou ainda, agendar com a turma uma visita no centro de meteorologia da cidade.
Assistir com os alunos o recurso Detetives do tempo, que possibilita aos alunos adquirir conhecimentos acerca da meteorologia e da atmosfera terrestre em geral. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/7345, acesso em 08 de novembro de 2010.
Detetives do tempo
Se julgar necessário, o professor pode propor o recurso Probabilidade: a matemática ao acaso, que permite desenvolver os conceitos de probabilidades, seleção de amostras e as características de uma pesquisa confiável. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/1643, acesso em 08 de novembro de 2010.
Noções de probabilidade aplicadas à genética. Disponível em: http://www.sobiologia.com.br/conteudos/Genetica/leismendel9.php, acesso em 08 de novembro de 2010.
Probabilidade. Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/~nancy/Cursos/me104/prob1.pdf, acesso em 08 de novembro de 2010.
Detetives do tempo Vídeo
Medindo a chuva. Disponível em http://www.diaadia.pr.gov.br/condigital/modules/debaser/singlefile.php?id=6, acesso em 08 de novembro de 2010.
Probabilidade. Lançamento de Dados. Disponível em: http://www.uff.br/cdme/prob-dados/prob-dados-html/probdados-assdig.html, acesso em 08 de novembro de 2010.
A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.
- Na discussão inicial. O aluno foi participativo? Apresentou comentários relevantes?
- Participação durante a explicação do professor. Foi argumentativo? Raciocínio adequado?
- Participação no desenvolvimento das atividades? Realizou as tarefas? Participou? Produziu? Contribuiu com os colegas?