Equilíbrio Radiativo no Interior Estelar
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A solução da equação (1.36) para o campo de radiação representa um dos principais problemas na teoria de atmosferas estelares. Para o interior estelar, o problema é simplificado pelo fato do campo ser quase isotrópico. Ao invés de trabalharmos com a intensidade , que representa a distribuição de radiação para cada direção, vamos considerar os três primeiros momentos da distribuição, a densidade de energia , o fluxo da radiação --> , e a pressão de radiação .
Por definição, a intensidade é a energia que atravessa a superfície, na direção , por unidade de área, por unidade de tempo, por unidade de ângulo sólido. O fluxo é a energia, por unidade de área, por unidade de tempo, em todas as direções:
A densidade de energia, ou energia por unidade de volume, pode ser derivada notando-se que, se F for a quantidade de energia cruzando a área , em uma direção , por unidade de tempo, em um segundo, a radiação F ocupará um volume . Então, a energia por unidade de volume, será dada por:
Sabemos que a energia cruzando a área é . O número de fótons é dado pela energia total dividida pela energia de cada fóton, . Como o momentum de cada fóton é dado por , a pressão transferida para a área normal a direção , será dada por
para dA' e dt unitários.
Integrando (1.36) sobre o elemento de ângulo sólido , obtemos:
Usando-se a definição (1.37) e (1.38), e notando que o segundo termo pode ser escrito como:
Outra relação é obtida multiplicando-se (1.36) por e integrando sobre :
A integral no primeiro termo é igual a , e a do terceiro termo é igual a . O último termo é nulo pois, , e:
No segundo termo, fazendo-se uma integração por partes, com e :
Obtivemos somente duas equações com três funções, , e . Esta insuficiência quase sempre é encontrada quando se substitui uma equação diferencial parcial, como a equação (1.36), por um conjunto de equações diferenciais ordinárias, com as equações (1.40) e (1.41). Para resolver o sistema, encontraremos uma relação adicional entre os momentos, usando a quase isotropia do campo de radiação no interior estelar.
Representemos o campo de radiação em qualquer ponto da estrela por uma série:
e determinemos a taxa de convergência desta série introduzindo-a na equação de equilíbrio radiativo (1.36):
Como nossa expansão vale para qualquer , a igualdade precisa ser exata para cada potência de :
e obtemos a fórmula de recorrência, para :
Para estimar a convergência, estimemos:
já que cm-1, e o raio do Sol é cm. Portanto, a série (1.42) converge rapidamente no interior estelar. Podemos portanto nos restringir aos dois primeiros termos da série (1.42); não podemos usar somente o primeiro termo porque teríamos caído novamente na condição de isotropia do campo de radiação, sem qualquer fluxo resultante. Esta condição é chamada de equilíbrio termodinâmico local, já que a diferença do equilíbrio termodinâmico é tão pequena. Isto é, localmente, as condições no interior das estrelas podem ser consideradas em equilíbrio termodinâmico. Neste caso, não precisamos levar em consideração as transições dos elementos, porque todas as populações dos níveis dependem de só um parâmetro, a temperatura cinética dos elétrons. Introduzindo os dois primeiros termos da série (1.42) nas equações (1.37) a (1.39) para os três momentos, obtemos:
Para a pressão de radiação (1.39):
Usando (1.44) e
de onde segue que:
onde é a energia do campo de radiação por unidade de volume. O erro relativo nesta relação será da ordem de , da ordem de , portanto com precisão suficiente. A equação (1.45) é a relação adicional que, junto com as relações (1.40) e (1.41), completam o conjunto de três equações para os três momentos.
Com a ajuda da equação (1.45), podemos agora simplificar as duas equações diferenciais (1.40) e (1.41). Primeiro, vamos substituir o fluxo por unidade de área, , pelo fluxo por toda a esfera, a luminosidade , usando a relação geométrica:
Agora precisamos introduzir uma expressão para a emissividade . A emissão consiste de duas partes; a primeira contribuição vem da emissão térmica normal, que, de acordo com a lei de Kirchhoff, é proporcional ao coeficiente de absorção , à constante de Stefan-Boltzmann , à velocidade da luz , e à quarta potência da temperatura do gás emitente. Isto porque, em equilíbrio térmico, podemos usar a relação (1.43):
A segunda contribuição vem dos processos nucleares, e é igual à produção de energia nuclear por unidade de massa, . A expressão completa para a emissividade então é dada por:
Finalmente, podemos eliminar com a ajuda da condição de equilíbrio radiativo (1.34) na equação (1.40):
Como, pela equação (1.34):
eliminando :
e usando a relação para a emissividade (1.47), obtemos:
Substituindo-se (1.48) na relação entre a pressão de radiação e a densidade de energia (1.45):
obtemos uma forma simples para a pressão de radiação:
Introduzindo-se (1.45)
na equação (1.41), que anula o segundo termo, obtemos:
Como, da equação (1.48):
Substituindo-se a relação (1.46), obtemos finalmente:
Esta é a nossa quarta equação básica de equilíbrio. Ela fixa o valor do fluxo líquido de radiação como uma função do gradiente de temperatura e da opacidade dos gases através dos quais a radiação passa.