A demonstração por indução lembra, em muito, o efeito dominó: aquele jogo onde você enfileira vários dominós, bate no primeiro e a sua queda causa a queda dos demais. Para que essa brincadeira dê certo, precisamos de garantir duas coisas fundamentais: primeiro, que o toque que vamos dar na primeira peça seja forte o suficiente para fazê-la cair; segundo, que a distância entre as pedras seja tal que possibilite que uma que caia possa derrubar a seguinte.
Se qualquer uma dessas condições falhar, nosso jogo não dará certo: se nosso toque na primeira pedra for fraco, ela não cairá e nada acontecerá; se a distância das pedras não for tal que garanta que a queda de uma cause a queda da seguinte, corremos o risco de apenas a primeira - ou apenas algumas - ser derrubada.
O princípio da indução matemática é a mesma coisa. Primeiro, precisamos garantir que uma proposição p(n) seja verdadeira (o nosso toque inicial) e, depois, devemos nos assegurar que, se dado um k qualquer, sendo k maior do que n, a implicação p(k) é verdadeira implique que p(k+1) é verdadeira.
Matematicamente, essas nossas garantias recebem nomes especiais. Nossa condição de que p(n) seja verdadeira chama-se base de indução; A condição de que p(k) seja verdadeira é chamada de hipótese de indução e sua implicação recebe o nome de passagem de indução.
Vamos mostrar como a indução funciona na prática. Provaremos que, para todo n inteiro positivo, vale que . A princípio, temos dificuldades em imaginar como poderíamos demonstrar a igualdade pelos métodos usuais, então, vamos utilizar a demonstração por indução!
Base de indução: p(1) = (OK!)
Hipótese de indução: Agora que já sabemos que p(1) é verdadeira, ou seja, conseguimos derrubar nosso primeiro dominó, vamos supor que p(k) é verdadeira, isto é, . Com base em nossa hipótese, vamos verificar se p(k+1) também é verdadeira. Assim, temos que:
Reorganizando a expressão, temos:
Perceba que o que está dentro do parênteses é exatamente a nossa hipótese de indução! Dessa forma, podemos reescrever a equação substituindo o conteúdo do parênteses por k/(k+1), conforme você vê no segundo termo da igualdade.
Fazendo o clássico MMC com a expressão resultante e utilizando-se de nossos conhecimentos em produtos notáveis, obtemos:
E simplificando a igualdade, chegamos a:
Assim, concluímos que p(k + 1) é verdadeira. Logo, pelo princípio da indução, concluímos que p(n) é verdadeira para todo n inteiro maior ou igual a 1.
Vale notar, ainda, dois pontos interessantes: aqui utilizamos p(1) para nossa base de indução, mas isso não é uma regra: dependendo do problema, a base pode assumir outro valor, como 0 ou algum outro número. Além disso, a indução é uma característica exclusiva do conjunto dos números Naturais: ela não pode ser aplicada quando estamos lidando com números decimais ou irracionais, por exemplo.
Com isso, concluímos - por enquanto - nossos artigos sobre demonstração. Espero que, com eles, você possa ter mais facilidade de entender seu curso. Boa sorte!