word - Curso Geometria Analitica-II
GEOMETRIA ANALITICA – II
ESTUDO DE RETA
GEOMETRIA ANÁLITICA II – ESTUDO DE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
Uma lenda divulgada pelos autores gregos atribui a invenção da geometria aos egípcios, e tenha sido, ocasionada pela necessidade de restabelecer os limites das propriedades agrícolas após as inundações do rio Nilo. Abstratamente, a geometria foi encarada pela primeira vez em 650 a.C. por Tales, ao estabelecer a teoria dos triângulos semelhantes.
A geometria analítica é uma parte da matemática que, através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a álgebra e a geometria. Deve-se a René Descarte (1596 – 1650) a introdução dos primeiros estudos que deram nova dimensão às perspectivas da matemática.
Ponto que Divide um Segmento em uma Razão
Sejam os pontos A (x1, y1), B(x2, y2) e seja M um ponto da reta AB. Calculemos as coordenadas (x0, y0) do ponto M de que:
Da figura-1 podemos tirar
Se k = -1, o ponto médio de MA e MB será:
Sejam A(x1, y1) e B(x2, y2) dois pontos, e β o ângulo que AB forma com o semi-eixo positivo Ox. Consideremos o triângulo AMB e projetemos nos eixos coordenados sua resultante dAB, que é a distância entre o ponto A e B, conforme figura-2.
Temos as relações:
Multiplicando a relação (III) por d temos:
Substituindo as relações ( I ) e ( II ) em ( IV ) teremos:
Portanto a relação ( V ) é a distância entre o ponto A e B. Para β = 90°, a distância dAB é calculada pela relação:
Para a distância de um ponto P (x, y) à origem O (0, 0), pode ser calculada conforme a relação:
Seja o triângulo ABC da figura-3, cujas coordenadas são A(x1, y1), B(y1, y2) e C(x3, y3), vamos determinar o baricentro G do mesmo.
Sendo M e N os pontos médios dos lados BC e AC respectivamente, logo MN // AB e .
O baricentro G é a intersecção das medianas do triângulo ou, (G)=AM∩BN, e como G divide a mediana AM na razão r = 2, temos portanto:
Seja um segmento de reta AB não paralelo a nenhum dos eixos coordenados. Consideremos M o ponto médio de AB. Observando a figura-4 os triângulos AMD e BEM são congruentes logo podemos definir.
AO = ME e
DM = EB
Finalmente os pontos médios serão:
A condição necessária e suficiente para que três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3 ,y3) estejam alinhados, é que seja nulo o resultado do determinante.
Resolvendo o determinante teremos:
Que é a condição de alinhamento entre três pontos.
● EQUAÇÃO DA RETA
Para determinarmos a equação da reta, vamos considerar um ponto genérico X (x, y) que está alinhado com dois pontos conhecidos P (x1, y1) e Q(x2, y2), conforme mostra a figura-5.
Pela condição de alinhamento de pontos temos:
Desenvolvendo o determinante vem:
Como as coordenadas x1, y1, x2 e y2 dos pontos P e Q são constantes, as combinações dessas coordenadas são também constantes, logo chamando de:
A = y1 – y2; B = x2 – x1; C = x1y2 – x2y1 , substituindo em (I) vem:
A expressão (II) denomina-se EQUAÇÃO GERAL DA RETA.
Observa-se que A e B não podem ser simultaneamente nulos pois teríamos.
o que resultaria P = Q e portanto, não seria uma reta
=0 → y2 – y1 = 0 ou y2 = y1
B=0 → x2 – x1 = 0 ou x2 = x1
Toda equação da forma de ( II ), com A, B e C reais (A≠0 ou B≠0), está associada uma única reta do plano cartesiano, cujos pontos são solução da equação.
● EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
Dada a equação geral da reta Ax + By + C = 0 e, supondo B ≠ 0, podemos expressar y em função de x.
Que é equação reduzida da reta.
● COEFICIENTE ANGULAR DA RETA ( m )
Quando a reta esta sob a forma reduzida y = mx + n, o valor de m corresponde à tangente do angulo que a reta forma com o semi-eixo positivo das abcissas. Seja portanto dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) pertencente a uma reta.
Pela figura-6, temos:
O triângulo ABC é retângulo, logo da trigonometria podemos tirar que:
Da figura AC e BC, são catetos de um triângulo retângulo onde α e θ, são um dos ângulos agudos. Esse ângulo denomina-se inclinação da reta e, portanto podemos escrever também.
Pode-se calcular m quando é dada a equação geral da reta Ax+By+C=0, ou seja.
● PARÂMETRO LINEAR
Se na equação reduzida da reta y = mx + n fazendo-se x = 0, decorre que y = n. Então o ponto (0, n) é o ponto de intersecção da reta com o eixo dos y. Logo ndenomina-se parâmetro (ou coeficiente) linear da reta.
● EQUAÇÃO SEGMENTARIA DA RETA
Consideremos uma reta r que intercepta os eixos nos pontos Q(0, q) e P(p, 0) distintos. A equação dessa reta será:
Se considerarmos a equação geral da reta Ax+By+C=0, com A ≠ 0, B ≠ 0 e C ≠ 0 e substituindo os pontos Q e P, teremos:
● EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA
Sejam os pontos A(x1, y1); B(x2, y2) e C(x3, y3), pela condição de alinhamento entre três pontos temos:
Para cada valor de K obtém-se um par de valores (x, y), coordenadas de um ponto que pertence a reta e são chamadas de equação paramétrica da reta. Pode-se obter uma forma particular de equação paramétrica de uma reta. Seja r uma reta, e seja P0 = (x0, y0) um ponto dado qualquer da reta, e P = (x, y) um ponto variável da mesma reta r.
Na figura-7, seja d a distância entre o ponto P0 e o ponto P. Essa distância será o parâmetro que vai variar conforme o ponto P varia entre a reta r.
Então no triângulo P0MP teremos:
As equações paramétricas relacionam diretamente entre si as coordenadas x e y de um ponto genérico da reta. Podemos entretanto, descrever os pontos de uma reta dando as coordenadas x e y de cada ponto da reta, em função de uma terceira variável t ou parâmetro, ou seja:
● EQUAÇÃO NORMAL DA RETA
Traçando uma semi-reta OP perpendicular a uma reta r e que esteja orientada da origem para a reta (figura-8). Chamando de OP = p a distância da origem à reta, e de w o ângulo que a semi-reta OP faz com o eixo dos x.
Quando p = 0, w <  e semi-reta sempre ascendente, então:
Substituindo os valores de b e a na equação segmentaria da reta vem:
Que é a equação normal da reta. Se a reta passa pela origem teremos a equação: x cos w + y sen w = 0.
● PASSAGEM DA EQUAÇÃO GERAL PARA EQUAÇÃO NORMAL
Imaginemos que conhecemos a equação de uma mesma reta sob a forma geral e sob a forma normal.
x cos w + y sen w – p = 0 (2)
Essas duas equações, tem as mesmas soluções, logo o valor de y nas duas equações são iguais. Dividendo a equação (1) por – B, e a equação (2) por – sen w, temos: