1 Matemática para Economia III 2013.2
Aula 4: Sistemas Lineares homogêneos, Matrizes e Operações Matriciais
2 Sistemas Lineares Homogêneos
São sistemas da forma: Um sistema homogêneo é sempre consistente pois x1=0, x2=0,x3=0,...,xn=0 é uma solução chamada solução trivial. O sistema homogêneo pode ter ainda outras soluções (não triviais).
3 Sistemas Lineares Homogêneos
Exemplo: Vamos resolver o sistema linear homogêneo:
4 Sistemas Lineares Homogêneos
Sempre que um sistema linear homogêneo envolve mais incógnitas que equações tem soluções não triviais. Nenhuma das operações elementares sobre linhas altera a coluna final de zeros da matriz aumentada. Se um sistema linear homogêneo tiver n incógnitas e se a forma escalonada reduzida de sua matriz aumentada tiver r linhas não nulas então o sistema tem n-r variáveis livres.
5 Matrizes Definição 1 (Matriz): Chamamos de Matriz a todo conjunto de "valores", dispostos em linhas e colunas. Representamos matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto. Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.
6 Exemplo: uma matriz genérica 3x2 teria a forma:
7 Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.
8 Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. diagonal principal Matriz Nula: Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero.
9 Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Se os zeros estão acima da diagonal a matriz é triangular inferior, se estão abaixo da diagonal a matriz é triangular superior Triangular inferior Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
10 Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
11 Traço de uma matriz Se A é uma matriz quadrada então o traço de A, denotado por tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada. Exemplo:
13 Operações sobre matrizes
14 Operações sobre matrizes
15 Operações sobre matrizes
16 Propriedades aqui M representa a matriz nula (0) e A'=(-A)
17 Propriedades Onde 1 é matriz identidade de mesma ordem de A, a e b são escalares (o produto de uma matriz A por um escalar b é a matriz bA obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por b).