Fascículo1-Unidade01-Seção04: Potências de dez.
Seção 04: recordação de potências de dez e da notação científica
uitos alunos do ensino médio pensam que a Física nada mais é que a Matemática disfarçada. Eles são levados a isto devido a ênfase que se dá às técnicas matemáticas na resolução dos problemas. Isto certamente é um erro. O trabalho do físico se parece muito mais com o trabalho dos cozinheiros e dos Filósofos.
Como os cozinheiros os físicos trabalham medindo a quantidade de cada um dos ingredientes que usa e verificando o seu comportamento; como os Filósofos os físicos trabalham criando e aperfeiçoando conceitos que sejam úteis para entender a natureza.
Os físicos usam a Matemática como uma ferramenta, como os pedreiros usam o martelo. Eles a usam também como uma linguagem, como aqui no Brasil usamos o Português.
Por isto, a Matemática é fundamental para a Física. Seu uso tem a tradição de séculos e, pelo que sabemos, começou no nascimento da própria Física, nos anos iniciais da Idade Moderna. Um dos introdutores da Matemática na Física, como ferramenta e linguagem, foi o estudioso italiano Galileu Galilei que afirmava:
"A filosofia natural (a Física) encontra-se escrita neste grande livro que continuamente se abre perante nossos olhos, que não se pode compreender antes de entender a língua e conhecer os caracteres com os quais está escrito. Ele está escrito em língua matemática [...] (1).
Como registrar a medida de uma Grandeza Física
Como foi visto na aula anterior, o trabalho dos cientistas é criar e testar hipóteses ou teorias. Nesse trabalho ele elabora experimentos e coleta dados através da realização de medidas de certas grandezas físicas.
Para realizar essas medidas são utilizados instrumentos científicos como esses, do século XVII, que são vistos na imagem abaixo. Ela mostra um detalhe do quadro The Linder Gallery, pintado nesse mesmo século, atribuída a Jan Brueghel, o velho.
Quando empregamos um instrumento científico para realizar a medida de alguma grandeza física, tomamos conhecimento do resultado por meio da leitura da escala do instrumento.
- Professor! O senhor pode nos mostrar como se faz a leitura desse tipo de escala?
- Certamente! Vamos usar a imagem a seguir. Nela é mostrada a escala de um velocímetro que está ligado a um veículo em movimento. Lendo a indicação do ponteiro da escala ficamos sabendo que a velocidade do veículo é de 140 km/h.
O termo km/h marcado no mostrador indica o padrão ou unidade de medida para a qual o velocímetro foi calibrado. Neste caso, a leitura indica que, neste instante, o veículo avança 140 quilômetros a cada hora.
Assim, a medida de uma grandeza física consta de:
"um número, que indica a quantidade ou intensidade da grandeza e uma unidade de medida, que fornece o padrão adotado naquela medida.
Existem medidas que exigem mais informações. No entanto, não trataremos disto agora. Esse novo tipo de medida será estudado mais adiante nesse curso.
Por exemplo: a medida de comprimento 4 m. Isto indica que esse comprimento mede quatro vezes o comprimento padrão chamado metro (m).
Devido a sua importância para o trabalho científico, foi criada uma técnica bastante apurada para a realização de medidas físicas. Ela regula inclusive o procedimento para registra-las.
Essa técnica de registro de medidas físicas, que é adotada mundialmente, chama-se Notação científica.
Lendo a escala do instrumento
Para entender como devemos realizar a leitura de um instrumento científico e como devemos registra-la vamos usar a imagem ao lado. Ela mostra a escala de um Voltímetro, aparelho que mede a voltagem nos circuitos elétricos. Este está calibrado para a unidade Volt (V).
Observe a imagem com cuidado.
Numa primeira aproximação vemos que o ponteiro indica uma leitura entre 200 V e 300 V. Repare que entre esses números existe uma marcação mais longa no centro. Ela indica o valor médio. No caso 250 V.
Numa segunda aproximação vemos que o ponteiro está entre 200 V e 250 V.
As marcações menores dividem o trecho em 10 partes. Logo. cada parte vale 10 V. O ponteiro aponta para um trecho entre a terceira e a quarta divisão. Logo, numa terceira aproximação, a leitura deve estar entre 230 V e 240 V.
A partir daí a escala não oferece mais marcações internas. Assim, não podemos fazer uma leitura precisa. Podemos apenas fazer uma estimativa.
Numa medida é aceitável fazer apenas uma estimativa, ou seja, posso fazer somente a leitura de um algarismo além da marcação da escala. Ela será registrada no último algarismo da medida. Por isto ele é chamado de algarismo duvidoso.
- Professor! O que uma estimativa?
- Uma estimativa é uma medida feita sem preocupação com a precisão. Note que, na leitura do último algarismo não temos marcas na escala para nos guiar. Por isto fazemos "no olho" a leitura do algarismo duvidoso.
Portanto, as leituras 236 V, 237 V ou mesmo 238 V são aceitáveis.
Os mostradores dos instrumentos digitais seguem as mesmas regras de leitura. Neste caso, a leitura já vem pronta, com o algarismo duvidoso incluído.
Os algarismos obtidos pela leitura da escala mais um algarismo duvidoso são chamados de algarismos significativos, ou seja, algarismo que têm significado físico. A medida acima tem três algarismos significativos.
Os zeros situados à esquerda, antes do primeiro algarismo diferente de zero não são significativos. Por exemplo: 0,045 km é uma medida com dois algarismos significativos.
Para mais detalhes de como usar os algarismos significativos clique no botão "Dicas para escrever os resultados dos exercícios" na coluna ao lado.
Para o assunto que iremos tratar a seguir necessitaremos dos conceitos sobre potenciação. Se desejar recorde esse assunto clicando no botão "Recordação matemática: Potenciação" também na coluna ao lado.
Escrever os números em potência de dez
Escrever um número em Potência de dez é apenas uma maneira de escrever o mesmo número com algarismos diferentes. Ela é útil, pois permite escrever os números muito grandes ou muito pequenos de maneira compacta.
Repare que posso escrever o resultado "duzentos quilômetros" na forma 200 km ou na forma 2 . 102 km ( note que 102 = 100). Estas são maneiras equivalentes de escrever o mesmo número. Na segunda, você deve ter observado, usamos uma potência de base dez. Neste caso, escrevemos o resultado em potência de dez.
Clique no botão "Recordação de matemática" ao lado para aprender a escrever e a "fazer conta" com números escritos em potência de dez.
- Professor, já cliquei no botão, li o texto e sei como escrever um número em potência de dez, mas não sei como escrevê-los na Notação Científica?
- Ora! Na verdade é muito simples:
escrever uma medida na Notação Científica é a mesma coisa que escrevê-la em potência de dez.
No entanto, existem alguns detalhes a mais que devem ser observados.
A Notação Científica é uma maneira diferente de escrever as medidas de grandezas físicas. Ela é útil, pois permite escrever os números muito grandes ou muito pequenos de maneira compacta. Isto, é claro, facilita o cálculo e torna os resultados mais informativos.
Um número escrito na Notação Científica terá sempre a seguinte forma:
O termo N é chamado mantissa e o termo n é a ordem de grandeza da medida.
A mantissa é um número situado no intervalo entre 1 e 9,999.... Portanto a mantissa terá somente uma casa decimal inteira. É por ela que verificamos o número de algarismos significativos da medida. Naturalmente ela pode ser positiva ou negativa.
O termo exponencial 10n contém a ordem de grandeza n da medida. Ela deve ser um número inteiro. Logo, pode ser positiva ou negativa. A ordem de grandeza n nos informa sobre o tamanho da medida.
Se a ordem de grandeza é positiva (n > 0) então o valor da medida é maior que a unidade. Se, ao contrário, a ordem de grandeza é negativa (n < 0) então o valor da medida é menor que a unidade.
- Como comparo o tamanho de duas medidas?
- Basta comparar as suas ordens de grandezas. Cada unidade a mais, ou a menos, indica que a medida é dez vezes maior, ou menor. No entanto, se elas forem iguais devemos comparar os números.
Assim, a medida 4,3 . 105 km é aproximadamente dez vezes maior que a medida 5,4 104 km. Note que sua ordem de grandeza é uma unidade maior.
A medida 7,3 . 1012 km, é aproximadamente dez vezes menor que a medida 2,3 . 1013 km. Note que sua ordem de grandeza é uma unidade menor.
A medida 1,3 . 107 km, é aproximadamente cem vezes maior que a medida 2,9 . 105 km. Note que sua ordem de grandeza é duas unidades maior.
A medida 7,3 . 10 -2 km, por sua vez é aproximadamente dez mil vezes menor que a medida 3,3 102 km. Note que sua ordem de grandeza é quatro unidades menor.
- Meu amigo, treine o uso dessa técnica com os exercícios que você acessa pelo botão "Exercícios de fixação", colocado logo acima.
Na próxima aula continuaremos a estudar como se deve registrar as medidas das grandezas físicas e como retirar desse registro todas as informações. Nessa oportunidade iremos tratar com as unidades das medidas e o conjunto de unidades que é atualmente usado mundialmente: o Sistema Internacional de Unidades (SI).
Se desejar consulte o resumo dos conceitos tratados nesta aula clicando no botão abaixo.
(1) GALILEI, G. O ensaiador. Os pensadores. São Paulo: Abril Cultural, 1978.
A Matemática é uma linguagem, e uma ferramenta, usada pela ciência para entender os fenômenos naturais;
Os cientistas constroem teorias e essas teorias são testadas através de experimentos onde são realizadas medidas de grandezas físicas;
Medir uma grandeza é compara-la com a medida de uma grandeza do mesmo tipo usada como padrão;
Registramos uma medida física através de leitura das escalas dos instrumentos de medida;
Quando medimos uma grandeza física registramos:
Um número ou Módulo. Ele fornece a intensidade da medida;
Uma unidade. Ela fornece o padrão de comparação;
Por exemplo, tomemos a medida de comprimento 3,2 m. Isto significa que esse comprimento é de 3,2 vezes o comprimento padrão, o metro (m).
Registramos uma medida lendo as marcações da escala do instrumento;
O último algarismo da medida é lido "no olho", entre a marcação mais interna da escala;
Por ser feito através de uma estimativa esse algarismo é chamado algarismo duvidoso;
Uma medida não admite mais de um algarismo duvidoso;"
Esses algarismos (escala + duvidoso) são chamados de "algarismos significativos";
Escrevemos um número em potências de dez quando, por exemplo, escrevemos: 200 = 2 . 102.
A maneira mais informativa de registrar uma medida é chamada Notação científica;
Na Notação científica, uma medida é escrita na forma N . 10n, onde N é chamado mantissa e n ordem de grandeza da medida;
A mantissa N é um número entre 1 e 10 (1 < N < 10). Portanto, ela tem somente uma casa decimal inteira. A ordem de grandeza n é um número inteiro;
N, a mantissa, registra os algarismos significativos da medida e n, a ordem de grandeza, dá informações sobre o tamanho da medida.