Questão 159 - ENEM 2016 - Valter Magalhães
Questão 159 – ENEM 2016
Acompanhe o processo e resolução das questões de Matemática do ENEM 2016 observando um passo a passo da resolução. E compará-los com os conteúdos ensinados no Ensino Fundamental II e Médio.
Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C). O marceneiro não quer que as outras peças caibam na per furação circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (l) 3,8 cm; (ll) 4,7 cm; (lll) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 2 e 3, respectivamente. Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher
Triângulos e quadrados, retângulos e suas propriedades
Circuncentro e Incentro de um triângulo e suas propriedades.
Determinar o menor e o maior diâmetro da circunferência que inscreve e circunscreve o quadrado utilizando raciocínios geométrico e conteúdos de geometria plana.
O objetivo é determinar o diâmetro da serra copo para perfurar a caixa de modo que as peças (triângulo, retângulo e quadrado) não caibam na perfuração e, além disso, a peça circular não encaixe nas respectivas perfurações das outras peças.
1º) Vamos determinar o diâmetro da menor circunferência que pode ser inserido no quadrado (ver fig. a). E o diâmetro da maior circunferência que circunscreve o quadrado (ver fig. b).
a) O diâmetro D é igual ao lado do quadrado, D = 4
b) b) O diâmetro é igual à diagonal do quadrado. Logo: I) Então o diâmetro D da serra copo será: 4 < D < 5,6. Ou seja, a medida do diâmetro nesse caso deve estar entre 4 cm e 5,6cm.
2º) O centro da circunferência que está inscrita e o centro da circunferência que o circunscreve são determinados pelo Incentro (encontro das bissetrizes do triângulo) e pelo Circuncentro (encontro das mediatrizes do triângulo).
Portanto, o diâmetro do maior círculo que que se pode inserir no triângulo e o menor diâmetro do círculo o circunscreve é:
A altura (h) do triângulo equilátero é dada por Assim:
a) Nesse caso, o raio da circunferência é um terço do valor da altura do triângulo, conforme destacado na figura.
b) Nessa outra situação, o Raio da circunferência é dois terços da altura do triângulo
II) Assim, o diâmetro D da serra copo será 3,86 < D < 7,72
3º) Determinemos o diâmetro do menor círculo que pode ser inserido no quadrado e o diâmetro do maior círculo que circunscreve o quadrado.
a) O diâmetro d é igual ao menor lado do retângulo, d= 3.
b) O diâmetro é igual à diagonal do retângulo. Logo:
III) Então o diâmetro D da serra copo será: 3 < D < 5.
De I, II e III
o último intervalo é comum aos outros dois. Logo o Diâmetro da serra copo deve ter medida entre 4 e 5. Portanto, das alternativas, o diâmetro é o 4,7cm.