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Lançando Moedas e Explorando a Árvore das Possibilidades da Ocorrência de Cara ou de Coroa
O espaço amostral do evento relativo aos lançamentos sucessivos de uma moeda.
Interpretar e resolver problemas por meio da árvore das possibilidades.
Experimento aleatório, espaço amostral e evento
Teoria dos conjuntos: operações
Professor, inicie a aula contando um pouco sobre a origem do termo Cara ou Coroa, comumente usado para realizar uma disputa entre duas pessoas em que cada uma escolhe uma das faces da moeda antes de seu lançamento para, por exemplo, num jogo de futebol, decidir o direito de opção pelo lado do campo.
Esta expressão Cara ou Coroa, tem a ver com as antigas moedas portuguesas, que numa face tinham uma cara e na outra uma coroa. Nestas antigas moedas, a cara representava o valor da moeda, enquanto a coroa fazia menção à Coroa portuguesa.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:PRT027.JPG
Assim, hoje, continuamos a considerar cara o valor nominal da moeda; enquanto coroa, a outra face — geralmente contendo um brasão ou simbologias diversas sobre o país de origem, ou até mesmo um rosto.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Moeda_de_50_centavos_da_2%C2%AA_gera%C3%A7%C3%A3o_(verso).png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Moeda_de_50_centavos_da_2%C2%AA_gera%C3%A7%C3%A3o.png
Como as moedas de Real têm uma cara em um dos lados, no Brasil é mais comum chamar este lado de cara e o lado que mostra o valor da moeda de coroa, porém essa prática torna o resultado confuso depois do lançamento da moeda pois o modo certo e histórico trata-se do valor da moeda sendo cara e o rosto, coroa.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Cara_ou_coroa
Professor, para que a aula seja mais dinâmica, preparamos uma folha com as atividades 1 e 2 a serem distribuidas aos alunos. Para tirar cópias do arquivo acesse o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AtividadesMoedas.pdf
Lançamentos sucessivos de uma moeda
1. Peça para a turma se dividir em duplas e solicite que cada dupla esteja de posse de uma moeda para realizar a atividade.
2. Solicite que os alunos registrem na tabela contida na folha de atividades, os resultados de 20 lançamentos sucessivos de uma moeda, usando a letra C para coroa e K para cara.
3. Após a realização da atividade peça que os alunos contabilizem as quantidades de caras e de coroas.
Exploração da Atividade
1. Solicite que cada dupla mostre o resultado do experimento para as demais e confirme que após 20 lançamentos, aproximadamente, metade dos resultados encontrados foi cara e metade foi coroa.
Obs: Realizamos o experimento e o nosso registro foi:
Coroa em 8 lançamentos e cara em 12, ou seja, em 40% dos lançamentos deu coroa e em 60% deles deu cara.
Para que os alunos possam observar os resultados de uma grande quantidade de lançamentos, encaminhe-os ao laboratório de Informática, solicite que as mesmas duplas que realizaram a atividade ocupem os computadores, acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/jogo_moedas.html e realizem o experimento.
Composição da autora.
Fonte: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/jogo_moedas.html
Sugestão: Professor, apesar de a atividade a seguir não requerer o uso dos computadores, sugerimos que mantenha a turma no laboratório de informática, visto que a atividade 3 será feita com o uso dos mesmos.
Descobrindo e interpretando a árvore das possibilidades
Peça para os alunos identificarem todos os possíveis resultados em 3 lançamentos sucessivos de uma moeda.
Nota: Por um tempo aproximado de 10 minutos, deixe que os alunos troquem informações e registrem de alguma maneira os resultados esperados. Em seguida, registre no quadro de giz, com a participação da turma, a sequência dos resultados.
Utilizando a mesma abreviação da atividade 1: coroa (C) e cara (K), tem-se:
1º lançamento: C, K
2º lançamento (considerando os possíveis resultados do 1º lançamento): (C, C), (C, K), (K, C), (K, K)
3º lançamento (considerando os dois primeiros): (C, C, C), (C, K, C), (C, C, K), (C, K, K), (K, C, C), (K, C, K), (K, K, C), (K, K, K)
Informe para a turma, que uma forma prática de resolução de problemas que envolva experimentos aleatórios que possuem diversas etapas, pode ser obtida através da construção da árvore das possibilidades.
Exiba a imagem abaixo, com auxílio do Data Show, e solicite que os alunos a observem comparando-a com a representação registrada acima.
Árvore das Possibilidades
Peça então que, observando a árvore das possibilidades, os alunos em duplas, respondam as seguintes questões:
1) Quantos elementos tem o espaço amostral?
2) Qual a probabilidade de dar cara ou coroa em qualquer dos lançamentos?
3) Quais as probabilidades de:
a) não obter nenhuma coroa?
b) obter 1 coroa?
c) obter 2 coroas?
d) obter 3 coroas?
e) obter pelo menos 1 coroa
f) obter pelo menos 2 coroas
g) obter pelo menos 1 cara
h) obter pelo menos 2 caras
1) O espaço amostral tem 8 elementos, ou seja, existem 8 resultados diferentes em 3 lançamentos consecutivos de uma moeda.
Nota: Aproveite para comentar que como existem apenas dois resultados diferentes em cada lançamento, essa quantidade pode ser calculada pelo produto: 2 x 2 x 2 = 23 = 8
2) A probabilidade de obter cara ou coroa em cada lançamento é 1/2.
Mostre para a turma que a soma dessas probabilidades é igual a 1, pois corresponde a probabilidade do espaço amostral.
1ª maneira: Obter pelo menos 1 coroa significa que se pode obter 1 coroa ou 2 coroas ou 3 coroas: 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8
2ª maneira: Todos os lançamentos menos o resultado de nenhuma coroa: 1 – 1/8 = 7/8
f) Obter pelo menos 2 coroas significa que se pode obter: 2 coroas ou 3 coroas: 3/8 + 1/8 = 4/8
g) A probabilidade de obtenção de pelo menos 1 cara é a mesma de obtermos pelo menos 1 coroa: 7/8
h) A probabilidade de obtenção de pelo menos 2 caras é a mesma de obtermos pelo menos 2 coroas: 4/8
Essa atividade é composta por vários problemas envolvendo probabilidade condicional, que deverão ser resolvidos com o auxílio de diagramas de árvore.
Caso os alunos não tenham conhecimento, informe-os que probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral E, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função do espaço amostral E.
Nota: Para consulta sobre o assunto acesse o link disponível nos Recursos Complementares.
1. Peça às duplas, já organizadas para realizarem a atividade 1, que acessem o link: http://www.uff.br/cdme/arvore/arvore-html/arvore-start.html
Obs: Para acessar o link é necessário utilizar o navegador Mozilla Firefox.
2. Leia, junto com a turma, as instruções contidas na página.
Fonte: http://www.uff.br/cdme/arvore/arvore-html/arvore-start.html
3. Permita que cada dupla faça uma única atividade, até que a mesma seja realizada em sua totalidade com sucesso. Garanta, se possível, que a atividade de cada dupla seja diferente das demais.
4. Após a realização da atividade, exiba com o uso do Data Show, as imagens das atividades realizadas pelas duplas (uma por vez), solicitando que os "autores" de cada uma delas relatem as suas descobertas para as demais duplas.
Nota: Limite um tempo aproximado de 5 minutos para cada relato.
Fonte: http://www.uff.br/cdme/arvore/arvore-html/arvore.html
Obs: Utilize a atividade como uma forma de avaliar os conhecimentos adquiridos.
http://www.brasilescola.com/matematica/probabilidade.htm
http://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/i-ermac/anais/minicursos/mc2.pdf
http://www.paulomarques.com.br/arq3-26.htm
Probabilidade Condicional: http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeCondicional.aspx
Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.
Pesquisa e apresentação da mesma para a turma em aula posterior, feita em grupos de 4 a 5 alunos, sobre experimentos do cotidiano ou nas diversas áreas de estudo, que podem ser resolvidos mais facilmente utilizando árvores de possibilidades.