Apresentação – Ciências Formais e Filosofia: Lógica e Matemática - Aletheia - Associação Científica e Cultural , Axioma - Publicações da Faculdade de Filosofia
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Apresentação – Ciências Formais e Filosofia: Lógica e Matemática
Frank Thomas Sautter, Abel Lassalle Casanave and Álvaro Balsas, "Apresentação – Ciências Formais e Filosofia: Lógica e Matemática," Revista Portuguesa de Filosofia 73, no. 3–4 (2017): 979–86, DOI 10.17990/RPF/2017_73_3_0979.
Referência: 137330000
10.17990/RPF/2017_73_3_0979
17/01/2018, 17:50:00
17/01/2018, 19:16:56
Como disciplinas autónomas, a filosofia da lógica e a filosofia da matemática são relativamente recentes. Elas nascem sob a égide da refundação da lógica por parte de Frege e da teoria dos tipos de Russell, desenvolvendo-se, posteriormente, sob a influência do programa hilbertiano dos fundamentos da matemática e, depois, da teoria de modelos. Ambas as disciplinas estão atravessadas por problemas filosóficos tradicionais, ontológicos e epistemológicos, em geral, em registo linguístico, uma característica comum da filosofia contemporânea. Como em outros domínios da filosofia, a história da lógica e da matemática, com os seus estudos de caso, contribuíram para oferecer uma visão multiforme dessas ciências, como contraponto à elegante uniformidade da sua análise formal.
As quase duas dúzias de trabalhos que apresentamos ao leitor neste fascículo oferecem uma larga variedade de enfoques – histórico-exegéticos, conceituais e técnicos –, que ilustram bem o estado da arte florescente desta área de investigação, podendo, assim, atender às expectativas de um amplo espectro de interesses. Para uma apresentação mais sistemática, dividimos os trabalhos em duas partes, filosofia da lógica e filosofia da matemática, respectivamente.
Os dez artigos que constituem a primeira parte, dedicada à filosofia da lógica, podem ser agrupados em três categorias. Os três primeiros artigos dizem respeito à relação entre ontologia e lógica, os três seguintes relacionam filosofia e história da lógica e, finalmente, os quatro artigos subsequentes são de carácter mais técnico, abordando diferentes problemas relevantes para a filosofia da lógica, em geral.
A relação entre ontologia e lógica não poderia estar representada de maneira mais variada: desde formas de robusto realismo, que admitiriam propriedades contraditórias, mas não instanciadas, passando pela possibilidade de assumir contradições in re, até ao exame de formas de pluralismo ontológico.
Oswaldo Chateaubriand, em "Conceptualizing Classical Logic", defende uma perspectiva clássica acerca da lógica, mediante um enfoque objetivo das verdades lógicas e um ponto de vista realista acerca de propriedades e estados de coisas lógicos; contudo, sustenta também que proposições sem valor de verdade e propriedades apenas parcialmente definidas são compatíveis com uma perspectiva clássica da lógica.
No trabalho "Fitch´s Paradox of Knowability and the Knower Paradox: Against a Proposed Dialetheist Unified Solution", Ricardo Santos discute a defesa do dialeteísmo – a tese da existência de contradições reais –, a partir dos Paradoxos da Conhecibilidade e do Conhecedor.
Róbson Ramos dos Reis, em "Quantificação Existencial e o Problema da Necessidade Manifesta no Pluralismo Ontológico em Ser e Tempo de Martin Heidegger" discute uma surpreendente aproximação entre a ontologia heideggeriana e a lógica contemporânea, mediante a utilização de quantificadores restritos para expressar o pluralismo ontológico de Heidegger. Reis conclui que essa proposta fracassa, por não capturar adequadamente certos aspectos que podem ser capturados somente mediante uma abordagem hermenêutica.
Os três trabalhos seguintes, desta primeira parte, dizem respeito à história da lógica. Um deles trata da recepção medieval da lógica de Aristóteles; os outros dois versam sobre a obra de Pierce, autor que tem recebido crescente atenção por parte dos investigadores, especialmente no que diz respeito aos seus sistemas diagramáticos de lógica.
O trabalho "Logic in Apuleius and Boethius", de Manuel Correia, tem um caráter exegético; nele, Correia estabelece um estudo comparativo entre as recepções de Apuleio de Madaura e de Boécio à lógica aristotélica.
Gennaro Auletta, em "A Critical Examination of Peirce´s Theory of Natural Inferences", examina, à luz da tricotomia denotativo, conotativo e informativo, aplicada a termos e a juízos, os lugares ocupados pela dedução, indução e abdução na produção de conhecimento.
Em "Peirce's Diagrammatic Logic and the Opposition between Logic as Calculus vs. Logic as Universal Language", de Javier Legris, discute-se a posição da concepção peirciana da lógica, no interior da distinção, de Jean van Heijenoort, entre lógica como cálculo e lógica como linguagem universal, sustentando Legris que essa distinção não faz justiça à abordagem semiótica de Peirce.
De natureza mais técnica, os trabalhos sobre filosofia da lógica do último grupo dizem respeito ao operador lógico negação, contemplando a sua representação gráfica, o seu significado, clássico ou construtivista, e os argumentos que envolvem a chamada diagonalização.
Tendo, como ponto de partida, uma representação gráfica de juízos infinitos, proposta por Kant, Frank Thomas Sautter, em "Diagramas Lógicos para Juízos Infinitos", desenvolve um método gráfico de prova para a silogística, no qual os juízos infinitos e os juízos negativos não são logicamente equivalentes.
O trabalho "O Significado da Negação", de Gonçalo Santos, apresenta duas abordagens para a atribuição às constantes lógicas de significado pelo uso – a unilateralista, vinculada a uma concepção intuicionista da lógica, e o bilateralista, vinculada a uma concepção clássica da lógica –, defendendo a primeira.
O artigo "Normalization, Soundness and Completeness for the Propositional Fragment of Prawitz' Ecumenical System", de Luiz Carlos Pereira e Ricardo Oscar Rodriguez, provê resultados metateóricos para um fragmento do Sistema Ecuménico de Dag Prawitz, demonstrando a existência de uma semântica aceitável para concepções rivais da lógica – perspectiva clássica e perspectiva intuicionista –, de tal modo que algumas constantes lógicas têm exatamente o mesmo significado para ambas.
Paulo Guilherme Santos e Reinhard Kahle, em "Diagonalização, Paradoxos e o Teorema de Löb", propõem uma estrutura lógica comum às várias manifestações do fenómeno da diagonalização, seja vinculado a paradoxos clássicos, seja vinculado ao Teorema de Löb.
Doze artigos sobre filosofia da matemática compõem a segunda parte deste fascículo, juntamente com uma breve nota. Esses artigos foram agrupados de forma a salientar sua unidade temática. Os quatro primeiros artigos dizem respeito à filosofia da geometria, tratando, mais especificamente, da recepção e desenvolvimento dos Elementos de Euclides, uma obra cuja relevância – não somente científica, mas também cultural –, dificilmente poderia ser sobrestimada. Os quatro artigos seguintes relacionam-se diretamente com o conceito de infinito – conceito que tem sido objeto de reflexão filosófica desde Aristóteles –, com especial referência ao problema do contínuo. Os restantes quatro artigos giram, fundamentalmente, em torno de diferentes questões filosóficas, relativas à dimensão simbólico-formal da matemática contemporânea.
Na recepção medieval dos Elementos cumpriu um papel fundamental a concepção aristotélica dos entes matemáticos como independentes do movimento, tal como exposta por Boécio. No entanto, em direção oposta a essa, mas não de menor importância, foi a influência da recepção dos autores árabes na Alta Idade Media, fundamentalmente de Al-Naiziri. Em "Albert the Great on Mathematical Quantities", Marco Aurélio Oliveira da Silva considera essa dupla recepção com base no comentário que Alberto Magno dedicou ao Livro I dos Elementos.
Em seu artigo "Port Royal: Filosofía de la Geometría", Jorge Alberto Molina estuda, para além de algumas críticas de ordem lógica aos Elementos, cuja inspiração poderia ser parcialmente encontrada na ideia de ciência demonstrativa aristotélica, o papel dessa obra na formação religiosa do século XVII, com especial referência ao movimento jansenista.
Em "Descartes on the Unification of Arithmetic, Algebra and Geometry Via the Theory of Proportions", Davide Crippa examina a referida unificação, considerando fundamentalmente a definição cartesiana do produto de segmentos, realizada com o auxílio da teoria das proporções contida no Livro V dos Elementos. O artigo examina também o papel que a utilização, por parte de Descartes, do formalismo algébrico na resolução de problemas geométricos, teve na formação da matemática simbólico-estrutural.
A breve nota de Jesper Lützen, "Descartes on Proportions and Equations", completa o exame de Crippa, salientando uma profunda novidade teórica na prática matemática, cuja aparição está vinculada à geometria cartesiana, a saber, a possibilidade mesma de teoremas de impossibilidade.
O último artigo desta série de trabalhos relacionados com a filosofia da geometria, intitulado "De la Práctica Euclidiana a la Práctica Hilbertiana: las Teorías del Área Plana", de Eduardo N. Giovannini, Abel Lassalle Casanave e Paulo A. S. Veloso, visa salientar as diferenças entre os procedimentos de Euclides e de Hilbert, considerando o único capítulo do seu célebre Fundamentos de Geometria, em que este matemático alemão se propõe explicitamente reconstruir "de maneira rigorosa" parte da obra mesma de Euclides, a saber, a teoria das áreas poligonais.
O conceito de infinito, que unifica os quatro artigos seguintes, pode ser considerado, do ponto de vista contemporâneo, em três diferentes níveis, cujo tratamento matemático corresponde, respectivamente, à teoria elementar de números (o infinito numerável), à teoria de números reais (o contínuo) e à teoria de números transfinitos.
Em seu artigo "El Infinito Matemático", Camino Cañon Loyes serve-se dessa tríplice divisão para uma apresentação panorâmica de alguns aspectos filosóficos relacionados com o problema do infinito.
Oscar M. Esquisabel e Federico Raffo Quintana, em "Leibniz in Paris: A Discussion Concerning the Infinite Number of All Units", apresentam os argumentos de Leibniz contrários à concepção de número infinito, na obra Accessio ad Arithmeticam Infinitorum. Em conexão com essa recusa, os autores propõem-se também mostrar que, nessa obra, Leibniz tampouco recorre a quantidades infinitesimais na justificação da importante regra de adição de series infinitas. Em consequência disso, essa regra proporciona um argumento adicional para recusar a existência de números infinitos.
Em "The Ancient versus the Modern Continuum", de Eduardo Noble e Max Fernández de Castro, examina-se a diferença entre o contínuo clássico e o contínuo contemporâneo (aritmetizado). Após a descrição de três diferentes maneiras de compreensão do contínuo, os autores examinam a teoria dos reais de Weirstrass, Dedekind e Cantor, para concluir que o tratamento matemático contemporâneo do contínuo deve ser concebido de maneira radicalmente diferente da concepção clássica, fundamentalmente representada por Aristóteles.
Finaliza esta sequência, sobre o problema do infinito com especial referência ao contínuo, um artigo que considera os tratamentos matemáticos do contínuo, posteriores e alternativos à aritmetização do século XIX. Com efeito, em "À Maneira de Um Colar de Pérolas?", André Porto examina algumas dessas alternativas, salientando a relevância que a lógica de Heyting tem para todas elas, mas dedicando especial atenção à chamada Análise Suave.
Os últimos quatro artigos que concluem esta temática exploram, desde diferentes ângulos, variados tópicos de filosofia da matemática, em íntima conexão com sua dimensão simbólico-formal.
No artigo "On Mathematical Elucidation", José Seoane debruça-se sobre a tarefa de clarificar a noção mesma de aclaração matemática, sugerindo que o processo aclaratório conclui na formulação de teses, no sentido que esta palavra tem, por exemplo, em expressões como "Tese de Church". Exemplificando com a denominada Tesis de Hilbert, o artigo examina a estrutura argumental utilizada para justificar teses, neste sentido de aclarações matemáticas.
Fernando Ferreira, em "Categoricity and Mathematical Knowledge", utiliza a dualidade "formulação informal – formulação formal" de um conceito, com vista a relacionar ambos os tipos de formulação, considerando, particularmente, o conceito informal de número natural e a categoricidade da teoria formal de números naturais (de segunda ordem). Embora Ferreira aceite as críticas usuais à noção de consequência de segunda ordem, reivindica como significativas essas axiomatizações categóricas, introduzindo a noção epistemológica de univocidade em conexão com a noção formal de categoricidade.
Em "Problemas para a Explicação Matemática", Eduardo Castro enfrenta uma questão que também pode ser vinculada ao papel do simbolismo, a saber, se a análise lógica do conceito de demonstração, como demonstração em um sistema formal F qualquer, dá conta de exigências epistemológicas, tal como a de fornecer o porquê de uma proposição demonstrada ser verdadeira. O autor questiona ainda em que medida uma exigência de explicação é ela própria uma exigência legítima.
Finalmente, a segunda parte temática do fascículo encerra com o artigo de Gisele Dalva Secco e Pedro Maggi Rech Noguez, intitulado "Operar e Exibir: Aspectos do Conhecimento Simbólico na Filosofia Tractariana da Matemática". No artigo, os autores vinculam algumas proposições do Tractatus com a tradição do conhecimento simbólico leibniziano, considerando, especialmente, o tipo de conhecimento simbólico denominado formal.
A secção Ad Extra é composta por seis artigos. O primeiro, de Diogo Santos e Ricardo Miguel, é o artigo vencedor do Prémio de Ensaio Filosófico SPF 2016, promovido pela Sociedade Portuguesa de Filosofia. Neste ensaio, os autores defendem, num percurso argumentativo gradativo e consistente, que a discriminação com base na espécie, baseada em três versões do Antropocentrismo, é inaceitável, o que acarreta mudanças profundas no modo como os humanos se relacionam com os animais.
João Branquinho, em "Indexicality and Cognitive Significance: the Indispensability of Sense" examina criticamente a concepção milliana da variação notacional – isto é, a concepção de que as versões de uma semântica neo-fregeana para demonstrativos e outras expressões indexicais, que se baseiam em um sentido de re, são variantes notacionais de uma teoria de referência directa –, procurando mostrar que várias linhas de raciocínio que podem ser seguidas por teóricos do millianismo com vista a estabelecer a concepção milliana da variação notacional são inconclusivas e que, portanto, tal concepção é inadequada.
Em "Uma Perspectiva Semiótica sobre a Formulação da Irreversibilidade Temporal na Teoria da Comunicação de Shannon", Raul E. C. Tello Rato, considerando qualquer medição física como um acto semiótico, aplica a concepção teórica da comunicação de Shannon à evolução de sistemas físicos sujeitos a alterações de direcção no fluxo temporal, para concluir que a irreversibilidade é uma característica inevitável de qualquer processo físico.
Carlos Fils Puig e Antonio A. P. Videira, em "A Eficácia da Construção de Modelos em Ciência: as Analogias Reais de James Clerk Maxwell" mostram como Maxwell, baseado na sua concepção metafísica da unidade da Natureza, pelo uso de modelos e analogias entre ramos distintos da física conseguiu uma compreensão unificada da electricidade e do magnestismo e de outras teorias físicas, que, posteriormente, desenvolveria de modo matemático mais abstracto.
Hernán Gabriel Inverso, em "Cuatro Problemas Fenomenológicos Fundamentales en las Lecciones de Husserl en Londres", examina quatro aspectos dessas lições que legitimam um estudo mais aprofundado da fenomenologia husserliana: o universo historiográfico, diferente de outras obras, a que Husserl vincula a fenomenologia, as críticas ao psicologismo, o diálogo com a filosofia kantiana e a redefinição da noção de transcendental e, finalmente, o alcance disciplinar e o dispositivo com que a fenomenologia enfrenta os problemas da autojustificação.
Rodrigo Illarraga, em "Los Modos de la Corte. La Formación meda de Ciro en Ciropedia", propõe uma interpretação do período medo da formação de Ciro, tentando compreender a Ciropedia como um texto filosófico onde Xenofonte desenvolve um ensaio sobre como se produz a interacção entre modelos pedagógicos distintos e a natureza extraordinária do príncipe persa.
Convém referir que a publicação deste fascículo temático sobre Ciências Formais e Filosofia constitui um importante passo na direção da incipiente cooperação internacional na área de filosofia da lógica e da matemática entre Portugal e o Brasil. Um número expressivo dos artigos aqui publicados reflete a cooperação internacional já existente entre investigadores latino-americanos e europeus de línguas latinas, no âmbito do Grupo Conesul de Filosofia das Ciências Formais, assim como através de diferentes programas de cooperação internacional bilaterais, como, especialmente neste fascículo, o CAPES/COFECUB, entre o Brasil e a França. Um projeto bilateral entre Portugal e o Brasil deveria ser considerado como uma oportunidade que se abre com o presente volume.