Números oblongos e investigações matemáticas
Utilizar várias sequências numéricas para que se lhes dê continuidade tem sido apanágio deste blog. Desta vez, apesar de ter escolhido um conjunto de números cuja relação matemática é facilmente identificável, permite um leque alargado de investigações matemáticas que ajudam a ilustrar a dimensão apaixonante desta Ciência.
Eis os números a que se deve dar continuidade:
2 6 12 20 ____ ____
Como disse, facilmente nos poderemos aperceber das seguintes relações:
Dando-se continuidade a este tipo de relação numérica, facilmente se poderá prever o 30 como sendo o próximo número da sequência, por resultar de 20 + 10. De facto, 10 é o próximo número par a seguir ao 8.
Logo, o próximo elemento seria o 42, pois 42 = 30 + 12, sendo o 12 o valor par a acrescentar ao elemento da sequência anterior.
Ora, em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem ser solicitados a investigar se haveria alguma lei matemática que explicasse este tipo de incrementos entre os elementos da sequência numérica.
Este desafio poderá suscitar várias investigações por parte dos resolvedores.
Uma primeira aproximação poderia passar pela identificação da relação existente entre o primeiro elemento da sequência e cada um dos restantes. Vejamos:
Ordem do termo na sequência Valor do termo Relação com o 1º termo
1º 2
2º 6 2 + 1 x 4
3º 12 2 + 2 x 5
4º 20 2 + 3 x 6
5º 30 2 + 4 x 7
6º 42 2 + 5 x 8
Analisando-se os valores da coluna da direita, também se pode referir para o 1º caso que 2 = 2 + 0 x 3, pois ajuda a complementar esta forma recursiva de analisar os valores aí presentes.
Assim sendo, facilmente se percebe que a lei geral de obtenção de qualquer número (t) desta sequência pode ser a seguinte: t = 2 + (n - 1) x (n + 2), sendo "n" a ordem do termo na sequência. Logo, o 7º termo seria o seguinte: t7 = 2 + (7 - 1) x (7 + 2) = 2 + 6 x 9 = 56.
Por outro lado, confirma-se que utilizando o próximo valor, par, a seguir ao 12, isto é, o 14, obtém-se o valor 56. De facto, 42 + 14 = 56.
Esta é apenas uma das investigações que esta tarefa permite. Outra passa por se associar cada um dos elementos da sequência numérica a um produto de fatores consecutivos:
Logo, poderá haver uma outra lei capaz de gerar este conjunto de números. De facto, cada termo da sequência (t) resulta do produto do valor desse termo com o seu sucessor, isto é t = n x (n + 1). Trata-se da fórmula geradora de um tipo de números figurados, que são os números oblongos, pois cada valor pode estar associado a uma figira geométrica retangular cujas medidas são "x" e "x + 1".
Logo, confirma-se o valor 56, como sendo o 7º termo desta sequência, pois t7 = 7 x (7 + 1) = 7 x 8 = 56.
Um outro desafio interessante que se pode lançar a propósito desta sequência de números é o seguinte: Obter o valor 2 usando apenas três 2, obter o valor 6 usando apenas três 3, obter o valor 12 usando apenas três 4 e obter o valor 20 usando apenas três 5.
Uma possível hipótese de resposta poderá ser a seguinte:
2 = 2 x 2 - 2
6 = 3 x 3 - 3
12 = 4 x 4 - 4
20 = 5 x 5 - 5
Logo, uma outra lei geral que pode originar qualquer um destes números (t) é a seguinte: t = (n + 1) x (n + 1) - (n + 1). Uma vez mais, confirmemos o 7º termo usando, agora, esta nova lei geral. t7 = (7 + 1) x (7 + 1) - (7 + 1) = 8 x 8 - 8 = 56.
Eis uma outra extensão deste desafio inicial: Obter o valor 2 usando apenas três 1, obter o valor 6 usando apenas três 2, obter o valor 12 usando apenas três 3 e obter o valor 20 usando apenas três 4. Qual a nova lei geral que surge a partir deste novo desafio?
palavras-chave: investigações matemáticas, matemática recreativa, números oblongos, padrões, paulo afonso, pensamento algébrico, regularidades
publicado por Paulo Afonso às 18:07
Conexão matemática en...
Em Matemática Recreativa é usual recorrer-se a quadros numéricos, como o seguinte, para que se desafiem as pessoas a det...
palavras-chave: conexões matemáticas, crivo de eratóstenes, investigações matemáticas, matemática recreativa, múltiplos, números de fibonacci, números primos, paulo afonso, tabuadas da multiplicação
publicado por Paulo Afonso às 14:13
Investigações matemát...
O tema das investigações matemáticas tem servido de base ou contexto para a exploração de muitos assuntos neste blog. De...
palavras-chave: cartas, figuras mágicas, investigações matemáticas, matemática recreativa, paulo afonso, somas mágicas
publicado por Paulo Afonso às 00:18
O tema das investigações matemáticas tem vindo a ser desenvolvido com alguma frequência no seio deste blog. Desta vez vo...