Mestrado em Matemática - 2004/2005
Gab.: 5.7
Tel.: 239 791 132
Resumo: A disciplina é uma introdução ao estudo das equações com derivadas parciais (EDPs) lineares. A primeira parte é dedicada a três EDPs clássicas: as equações de Laplace, do calor e das ondas. Estas equações, para as quais são deduzidas algumas soluções explícitas, são os protótipos, respectivamente, das equações lineares elípticas, parabólicas e hiperbólicas, analisadas na segunda parte do curso num quadro abstracto geral. São aí tratadas questões de existência, unicidade e regularidade de soluções fracas, usando essencialmente métodos funcionais e estimativas, introduzidos como motivação na primeira parte.
Pré-requisitos: Domínio das principais técnicas de Cálculo Avançado. Para a segunda parte do curso é conveniente que os alunos estejam familiarizados com conceitos elementares de Análise Funcional Linear (espaços de Banach e Hilbert; operadores lineares limitados; operadores compactos; convergência fraca) e de Teoria da Medida (medida e integral de Lebesgue; espaços de Lebesgue; teoremas de convergência para integrais: lema de Fatou, teoremas da convergência monótona e da convergência dominada).
Aulas: de 20 de Setembro de 2004 a 5 de Janeiro de 2005
Horário das aulas: terça-feira, 14h30-17h30, na Sala 5.3
Horário de atendimento: terça-feira, 18h00-20h00, no Gabinete 5.7
Data do exame final: 18/Jan/2005, 9h00-10h30 e 10h45-13h00, na Sala ??
Data do exame de recurso: 15/Fev/2005, 9h00-10h30 e 10h45-13h00, na Sala ??
I - As EDPs lineares clássicas
1. A equação de Laplace (21/Set; 28/Set; 12/Out)
1.1 Solução fundamental; a equação de Poisson; fórmulas do valor médio.
1.2 Propriedades das funções harmónicas: princípio do máximo forte; unicidade; regularidade; estimativas locais; teorema de Liouville; analiticidade; desigualdade de Harnack.
1.3 A função de Green: casos de um semi-espaço e de uma bola.
1.4 Métodos de energia: o princípio de Dirichlet.
2. A equação do calor (19/Out;26/Out)
2.1 Solução fundamental; problema do valor inicial; problema não homogéneo; fórmula do valor médio.
2.2 Propriedades das soluções: princípio do máximo forte; unicidade; regularidade; estimativas locais.
2.3 Métodos de energia.
3. A equação das ondas (2/Nov)
3.1 Resolução usando médias esféricas: a fórmula de d'Alembert; as fórmulas de Kirchhoff e Poisson.
3.2 O problema não homogéneo.
3.3 Métodos de energia.
II - Teoria das EDPs lineares de segunda ordem
4. Revisões sobre Espaços de Sobolev (9/Nov)
5. Equações elípticas de segunda ordem (15/Nov; 16/Nov; 30/Nov)
5.1 Definições. Existência de soluções fracas: o teorema de Lax-Milgram; estimativas de energia; a alternativa de Fredholm.
5.2 Regularidade no interior e na fronteira: o método dos quocientes diferenciais de Nirenberg.
5.3 Princípios do máximo. A desigualdade de Harnack.
6. Equações parabólicas de segunda ordem (13/Dez; 14/Dez)
6.1 Definições. Existência de soluções fracas: o método de Galerkin.
6.2 Regularidade.
6.3 Princípios do máximo. A desigualdade de Harnack parabólica.
7. Equações hiperbólicas de segunda ordem (4/Jan)
7.1 Definições. Existência de soluções fracas: o método de Galerkin.
7.2 Regularidade.
7.3 Propagação das perturbações.
Cada trabalho para casa consiste numa lista de 2 ou 3 problemas que têm que ser resolvidos individualmente pelos alunos e entregues ao professor, impreterivelmente, até às 14h30m da data de entrega.
Os alunos têm que entregar 3 dos 4 trabalhos propostos. Cada trabalho tem um peso de 7% na avaliação. Caso sejam entregues os 4 trabalhos propostos, serão considerados para efeitos de avaliação os 3 melhor classificados.