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A inércia de Sierpiński
Re: A inércia de Sierpiński
por Zé Teixeira em Sábado Jan 17, 2009 1:18 am
O triângulo é o output de um caso particular de autómato celular elementar (regra 126, para ser concreto). O meu trabalho final da primeira cadeira de programação foi implementar um autómato destes (em C).
por rigillescherrer em Sexta Fev 25, 2011 5:47 pm
O problema parece ser giro
ressucitando o tópico, alguém quer resolve-lô?(para mim por enquanto não dá, só depois de ler sobre momento de inércia )
por rigillescherrer em Sexta Fev 25, 2011 6:00 pm
acho que já sei como resolver o problema, depois posto minha resolução
por rigillescherrer em Segunda Maio 16, 2011 4:37 pm
O triângulo de Sierpinski é formado por 3 cópias dele mesmo com lado igual a metade do lado inicial, sendo que duas delas estão a uma distância do própio ponto médio da base para o ponto médio da base do triângulo, e o ponto médio da base da outra tem uma distância horizontal igual a para o ponto médio da base do triângulo
As partes coloridas representam cada cópia.
Se pegarmos um triângulo normal de lado ,
fizermos 3 cópias dele com lado e organizarmos eles da forma que eu falei que as cópias do triângulo de Sierpínski estão organizadas vamos ter essa figura:
Se repetimos o que fizemos com o triângulo com a figura resultante vamos ter isso:
Se continuarmos repetindo infinitamente chegaremos a um triângulo de Sierpinski
Agora suponhamos que um triângulo tem um momento de inércia igual a , vamos fazer três cópias do triângulo com massa (distribuida igualmente entre as três) e lado , duas delas vão estar a uma distância do eixo, a outra vai ter distância 0. O momento de inércia das três juntas vai ser (lembrando do teorema dos eixos paralelos):
agora se considerarmos e e repetirmos o processo com chegaremos a e a logo e , e o momento de inércia do triângulo de Sierpinski vai ser:
Agora só falta calcular o limite.
por hexphreak em Segunda Maio 16, 2011 7:32 pm
Devo pedir desculpas, não fui claro no enunciado acerca do eixo em torno do qual se deveria calcular o momento de inércia A ideia é ser o eixo que passa pelo centro do triângulo e lhe é perpendicular, não uma das bissectrizes. Tenta fazer agora assim
por Tharis em Quinta Jun 02, 2011 4:58 pm
Lembrei-me ontem que este problema ainda não tinha sido resolvido e em vez de estudar Gestão, I had fun.
Usem esta imagem como referência.
Seja uma função que nos dá o momento de inércia de um triângulo de Sierpinski em relação ao eixo perpendicular ao plano do triângulo que passa seu centro de massa. Seja o momento de inércia do sub-triângulo em relação ao eixo anterior, isto é, em relação ao eixo que passa por A. Então, pelo Teorema de Steiner , onde é o centro do sub-triângulo .
Ou seja, temos uma função recursiva, tal como o triângulo em questão. Se designarmos o resultado de após recursões por , o que nós queremos é . Obviamente não podemos fazer infinitas recursões. No entanto, se fizerem duas recursões percebem facilmente que é nada mais que uma série geométrica!
O momento de inércia do triângulo de Sierpinski de massa e lado é .
por hexphreak em Quinta Jun 02, 2011 6:29 pm
O resultado está correcto Mas a minha resolução não utiliza nem séries nem limites... Será que alguém chega lá?
por Pedro B. em Terça Jul 26, 2011 12:40 am
Uma resolução alternativa deste problema passa por um pensamento semelhante ao da resistência infinita.
Cada um dos sub triângulos (denotados por ) é também um triângulo de Sierpinski pelo que, existe uma relação de proporcionalidade entre os momentos de inércia dos sub triângulos e do triângulo grande.
Duplicando o lado do triângulo triplica-se a massa deste. Por outro lado, uma vez que o momento de inércia tem uma dependência quadrática num comprimento a relação entre os momentos será .
Para quem tenha lá estado, este argumento foi utilizado na resolução do lápis hexagonal no plano inclinado em 2009.
Pelo teorema de Steiner, o momento de inércia do triângulo grande será , sendo r a distância entre o centro do triângulo grande e de um sub triângulo. Da geometria do triângulo equilátero verifica-se que . Por outro lado , uma vez que um triângulo grande tem 3 sub triângulos.