Módulo II - Capítulo III
Alargando Horizontes
Resolvendo Desigualdades para Estimar Desvios
Estimando Desvios
Esta seção é dedicada ao estudo das funções do tipo , onde a , h e k são números reais quaisquer. Estas funções podem ser obtidas a partir da composição de três funções, a saber f = F o h o g, onde g( x ) = x - h , h( x ) = | x | e F( x ) = a x + k , e aparecem em muitas situações onde estamos interessados em conhecer o tamanho da diferença entre duas grandezas, onde o sinal desta diferença não é relevante. O exemplo abaixo ilustra uma situação deste tipo.
Uma fábrica de embalagens industriais produz latas cilíndricas com um volume especificado pelos clientes. Um fabricante de óleo comestível fez uma grande encomenda para a fabricação de latas com capacidade de 900 (900 ml). As latas devem ter altura igual a 15,64 e raio da base igual a 4,28 cm. No processo de fabricação podem ocorrer pequenos erros de medição e corte de tal maneira que o volume das latas se desvia, ligeiramente, da capacidade fixada. O controle de qualidade da fábrica precisa saber qual o erro máximo tolerado na altura e no raio, de modo que a lata produzida apresente um desvio no volume fixado, dentro dos padrões tolerados pela legislação em vigor.
O problema de lidar, simultaneamente, com erros de medida no raio e na altura da lata é mais complicado por isso vamos estudar um caso mais simples, onde consideramos que o raio da base tenha exatamente 4,28 cm de comprimento. Dessa maneira, o erro resultante no volume será resultante do desvio existente entre a altura padrão especificada e a altura real de cada lata fabricada.
Trabalhando no problema
Para tornar mais f�cil a compreens�o e resolu��o do problema proposto, � conveniente dividi-lo em etapas. Estas etapas s�o caracterizadas pelas quest�es abaixo, para as quais devemos obter respostas e/ou justificatifas.
(a) Uma lata cilíndrica com as medidas especificadas tem um volume de 900 ml? Para respondermos a esta quest�o � necess�rio usar a fórmula que fornece o volume V de um cilindro com raio de base igual a r e altura h.
(b) Quanto o volume da lata se desvia do volume especificado se a sua altura for 15,7 cm? 15,6? 15,8? 15,5? 15, 65? 15,63?
(c) Se a altura real da lata fabricada é h , � poss�vel determinar uma f�rmula ou express�o matem�tica que forne�a o desvio da altura padrão especificada?
(d) Conhecendo-se o desvio ocorrido na altura da lata (item anterior), � poss�vel determinar o erro no volume especificado?
(e) Sabendo que o erro máximo aceitável para o volume da lata é de 10 (10 ml), podemos determinar que alturas poderão ser aceitas pelo controle de qualidade da fábrica?
Analisando e respondendo �s quest�es propostas
(a) � f�cil verificar que uma lata com as dimens�es especificadas possui um volume de 900 ml. Para isso, basta considerar r = 4,28 e h = 15,64 e substituir estes valores na f�rmula dada, conforme fizemos no quadro abaixo. Dessa maneira obtemos que o volume V da lata de �leo com estas dimens�es ser� de 900 ml, o que concorda com o volume especificado, com uma casa decimal de precis�o. Esta precis�o ser� a adotada na an�lise dos pr�ximos itens.
Utilize o quadro abaixo para calcular o volume da lata para v�rios valores de h.
O que se pode concluir quando o valor de h � maior do que o especificado? E quando � menor?
(b) Podemos concluir imediatamente que se a altura h da lata for maior do que a altura especificada, o volume resultante tamb�m ser� maior do que aquele especificado. Analogamente, se a altura for menor do que a especificada, o volume resultante ser� menor do que 900 ml. Para calcularmos de quanto o volume da lata produzida se desvia do volume especificado basta, em cada caso, calcularmos o valor da diferen�a d = p r2 h - 900. Esta diferen�a ser� positiva quando h tiver um valor maior do que o especificado, indicando desta maneira que a lata fabricada excede o volume especificado em d ml. Um valor negativo para d indicar� que o volume especificado (900 ml) excede o da lata fabricada em d ml.
Use o quadro abaixo para calcular as diferen�as para cada valor especificado de h.
(c) Como s� estamos interessados no valor do desvio, n�o importando se este desvio � para mais ou para menos, podemos express�-lo usando a fun��o valor absoluto da seguinte maneira: d = | h - 15,64 |, onde d mede o desvio e h � a altura da lata fabricada.
(d) Da mesma maneira, o erro D cometido no volume especificado pode ser obtido pela f�rmula D = 57.55 | h - 15,64 |, pois p 4.282 = 57.55 e o desvio no volume � devido apenas ao desvio ocorrido na altura da lata. (Observe que as contas feitas no item (b) s�o equivalentes a p 4,282 h - p 4,282 15,64 = p 4,282 (h -15,64) = 57.55 (h - 15,64). )
(d) Para determinar que alturas poder�o ser aceitas pelo controle de qualidade da f�brica, basta determinar os valores de h que satisfazem a desigualdade 57,55 | h - 15,64 | < 10.
Portanto, a solu��o do problema proposto se resume a determinar os valores de h que satisfazem a inequação 57,55 | h - 15,64 | < 10.
Toda função da forma pode ser definida por partes (intervalos) de tal maneira que, em cada um desses intervalos, coincida com uma função afim.
Os exemplos a seguir se destinam a aprofundar o estudo da funç�o valor absoluto que aparece em problemas deste tipo de modo a facilitar a sua análise e resolução.
Use a definição de valor absoluto e encontre uma outra expressão analítica para a função .
Pela definição de valor absoluto temos que , isto é .
Daí, temos que .
A nova expressão obtida para f( x ) mostra que, para valores de x menores do que 2, o gráfico de f coincide com o da reta e, para valores de x maiores ou iguais a 2, com a reta . É fácil verificar também, que estas duas retas passam pelo ponto (2, - 4) e que suas declividades são, respectivamente, -3 e 3. Observe o gráfico desta função e comprove estas afirma��es.
Como os valores obtidos na tabela acima se relacionam com a forma obtida para o gráfico da função?
Repare que pontos que estão a mesma distância do ponto x = 2, quer sejam maiores que 2, quer sejam menores que 2, têm a mesma imagem. Veja o gr�foco ao lado.
Isto significa que as partes do gráfico da função que estão a direita e a esquerda da reta x = 2, são a imagem espelhada uma da outra, isto é, se dobrarmos o papel usando esta reta como guia da dobra, as duas partes do gráfico coincidirão perfeitamente. Neste caso, dizemos que o gráfico da função é simétrico em relação à reta x = 2.
Nos itens abaixo, use a definição de valor absoluto para obter uma nova expressão analítica para as funções dadas e esboce o gráfico de cada uma delas. Use o quadro da direita para comprovar sua resposta. Para isso, no campo correspondente � fun��o y=0, digite a express�o da fun��o cujo gr�fico voc� quer tra�ar e, a seguir, tecle "Enter".
(a) y = 2 | x - 1 |
(b) y = 3 | x | + 4
(c) y = 0,5 | x + 4 | - 1
(d) y = 5 - | x |
_no_Java_
Gráficos de funções deste tipo são sempre formados por duas semi-retas de origem no ponto onde as suas retas suporte se interceptam e são simétricos em relação à reta vertical que passa por este ponto, isto é, as partes do gráfico � direita e � esquerda desta reta são a imagem espelhada uma da outra. Todo gráfico de funções deste tipo apresenta estas características gerais: tem a forma em V, mostrada nos exemplos anteriores, e um eixo de simetria vertical. O ponto onde o gráfico forma um bico é chamado de vértice da função e a reta vertical que passa por este vértice é o seu eixo de simetria. No exemplo 2, o ponto (2, - 4) é o vértice da função e a reta x = - 2 o seu eixo de simetria. A imagem desta função é o intervalo [- 4, ).
1) Nos itens abaixo, identifique o vértice, o eixo de simetria e a imagem da função. Esboce o seu gráfico.
(a) y = 2 | x - 4 |
(b) y = 2 | x | - 4
(d) y = - | x - 6 | +3
2) Use a experiência adquirida no item anterior para responder às perguntas:
(a) O gráfico da função é formado por duas semi-retas. Qual a declividade das retas suporte destas semi-retas?
(b) Qual o seu vértice?
(c) Como é possível saber se o gráfico abre para cima ou para baixo?
As respostas das perguntas anteriores nos levam às seguintes conclusões:
O gráfico de tem um vértice no ponto ( h,k ). Este gráfico é formado de duas semiretas com origem no vértice, com declividades a e - a . O gráfico abre para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.
Existe uma maneira diferente de interpretar e obter o gráfico da função . A figura abaixo mostra o gráfico das mais simples destas funções: y = | x |.
Como vimos (Capítulo II - Praticando), a partir de transformações geométricas (reflexões, translações contrações e dilatações) aplicadas a este gráfico, podemos obter o gráfico de qualquer função do tipo . Os exercícios abaixo têm como objetivo aplicar estas idéias.
1) Descreva como é possível obter o gráfico das funções discriminadas em cada um dos itens abaixo, aplicando transformações ao gráfico da função y = | x |.