Saiba como calcular a área da pirâmide e seu volume
Volume e área da pirâmide: como calcular
Área da pirâmide, triângulo retângulo, volume, reta, todos esses detalhes fazem parte da matemática. Aprenda aqui como resolvê-los e saber tudo sobre o Enem
Quem vê a área da pirâmide não imagina quantos sentidos históricos, sociais e claro, matemáticos ela pode ter. Uma forma geométrica tão antiga que até hoje não se sabe, por exemplo, a idade das pirâmides de Gizé no Egito, continua sendo essencial como objeto de estudo.
Foi pensando nisso e no quão primordial esse tema é para a matemática, que resolvemos abordar hoje a área da pirâmide.Em um breve resumo podemos dizer que as pirâmides são sólidos geométricos que aparecem recorrentemente nas provas de vestibulares e no Enem.
Na aula de hoje veremos como fazer o cálculo a respeito da área da pirâmide e seu volume
Definições sobre as pirâmides
Antes de chegarmos nos cálculos de área e volume em si, precisamos estabelecer algumas especificações:
Superfície lateral: É a união de todas as faces laterais da pirâmide;
Superfície total: A união da superfície lateral com a base da pirâmide (que também é uma superfície).
Área lateral: A área lateral da pirâmide (A_l ou S_l) é a soma das áreas das faces laterais da pirâmide;
Área total: A área total da pirâmide (At ou St ) é a área lateral somada com a área da base da pirâmide.
Volume: O volume da pirâmide (Vp) é o espaço ocupado pela pirâmide.
O que é a área de uma pirâmide
Para desenvolvermos a teoria a respeito dos cálculos, consideremos uma pirâmide qualquer de área da base Sb e altura h.
Como a área lateral da pirâmide é a soma das áreas das suas faces laterais, que são formadas por triângulos, não temos uma expressão "fechada" para a lateral. Então como pode ser feito esse cálculo? Bom não havendo uma lateral isso deixa em aberto a maneira como encontrar a área de um triângulo. Deixando assim que possamos resolver a equação de diferente formas.
Por isso, dependendo das informações que tivermos a respeito, utilizamos alguma das fórmulas de cálculo de área de pirâmide e encontramos assim a área de uma face lateral.
Depois disso, repetimos o cálculo de área para todas as demais faces laterais e, enfim somamos tais valores, encontrando como resultado o valor da área lateral.
Como calcular a área da pirâmide
De forma parecida, não temos uma expressão "fechada" para a área total de uma pirâmide, uma vez que essa área depende da área lateral – que, como vimos acima, o cálculo varia de acordo com as informações do problema. Muitas vezes, depende também da área do polígono que forma a base da pirâmide.
O mais próximo que conseguimos escrever para uma expressão é: St = Sl+Sb
Embora não seja possível encontrarmos uma expressão "fechada" para o cálculo das áreas, existe uma para o cálculo do volume da pirâmide, que é a seguinte:
Uma pirâmide qualquer de área da base Sb e altura h.
Perceba que a pirâmide acima é oblíqua e de base quadrangular, mas o raciocínio anterior é válido para qualquer pirâmide.
Área de um tetraedro regular
Agora que já estudamos o caso de uma pirâmide qualquer, vamos nos concentrar no tetraedro regular. Diferentemente do exemplo utilizado anteriormente, para tal pirâmide, conseguimos encontrar expressões "fechadas" para fazer o cálculo.
Sendo assim, suponha que estamos tratando de um tetraedro regular com medida de aresta . Considerando que todas as suas faces são triângulos equiláteros e, sabendo que:
Observação: você pode encontrar o valor da altura do tetraedro a partir de um teorema de Pitágoras da seguinte forma:
Esse é um tetraedro regular com triângulo retângulo. Aqui ele indica que a hipotenusa mede l, que significa a altura do triângulo; coincidindo com a altura h que seria a altura do tetraedro. Mas o cateto da base do triângulo coincide com 1/3 da altura do triângulo que forma a base do tetraedro regular.
Nesse caso, l representa o valor da aresta do tetraedro regular, h a sua altura e h' a altura do triângulo equilátero da base do tetraedro.
Calculando a área da pirâmide como um tetraedro
Até aqui estudamos o caso geral e as fórmulas para o tetraedro regular, mas, e se a pirâmide for regular, mas não for um tetraedro? Conseguimos alguma "expressão fechada"?
Considere a pirâmide da imagem abaixo.
Mais à esquerda uma pirâmide pentagonal regular e mais à direita uma pirâmide pentagonal regular com destaque para sua altura. Isso é a apótema da pirâmide e a apótema da base.
Neste caso, os triângulos que compõem as faces laterais são todos isósceles e congruentes. Além disso, cada uma dessas partes da lateral tem medida de base sendo a medida da aresta do polígono regular que forma a base da pirâmide. Portanto podemos afirmar que cada face lateral tem altura sendo o apótema da pirâmide.
Vamos considerar que a medida da aresta do polígono regular seja l.
Assim, considerando SF1,SF2,SF3,SF4 e SF5 como a área de cada face lateral, temos o seguinte:
Perceba que o perímetro (2p) da base vale 5l: 2p=5l e, com isso:
E agora dado que a área de um polígono regular é o produto do seu semiperímetro, com o seu apótema, temos que a área da base da nossa pirâmide é:
E com isso, sua área total é dada por:
Por fim, seu volume é dado por:
Observação: Pegamos uma pirâmide pentagonal regular para exemplificação, mas o raciocínio desenvolvido é análogo para calcular a área de pirâmides que sejam regulares. As expressões acima para a área lateral, área total e volume são válidas para as demais pirâmides regulares.
Como calcular o volume da pirâmide
Lembre-se que no começo do post encontramos a expressão do volume de uma pirâmide:
Você nota alguma semelhança com outra expressão de volume de outro sólido?
A expressão para o volume de um prisma é dada por:
Em que é a área de uma das bases do prisma e h é a altura do prisma.
Considerando tal fato, repare que o volume de uma pirâmide de base b e altura h é um terço do volume de um prisma possui a mesma base b e mesma altura h.
Em outras palavras, se você tiver um prisma que possui como base um certo polígono qualquer e uma certa altura h e, se você tiver uma pirâmide cuja base seja o mesmo polígono e altura que a do prisma, o volume da pirâmide equivale a um terço do volume deste prisma.
Além disso, temos a seguinte informação:
Duas pirâmides diferentes que possuem o mesmo valor para a área de base e mesmo valor de altura, têm o mesmo volume.
Agora que aprendemos os cálculos de área e volume de pirâmides, vamos praticar?
01 – (UNICAMP SP/2020)
Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a:
02 – (UEG GO/2019)
Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou que fosse construída uma pirâmide de base quadrada, de lado igual a 3 cm e altura igual a 10 cm. O volume dessa pirâmide é igual a
a) 25 cm3
d) 9 cm3
e) 12 cm3
03 – (Univag MT/2019)
Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa.
Esse quadrilátero pode ser dividido em 4 triângulos retângulos, conforme a figura, que também mostra a medida, em cm, dos catetos dos triângulos.
O volume dessa pirâmide é igual a
a) 40 cm3.
b) 45 cm3.
d) 50 cm3.
e) 35 cm3.
04 – (Universidade Iguaçu RJ/2019)
Em uma pirâmide regular de base quadrada, a área dessa base mede a2 u.a. e a sua altura é igual ao dobro da medida da aresta da base.
Nessas condições, a área lateral dessa pirâmide mede, em u.a.,
05 – (FAMERP SP/2018)
A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base quadrada. A altura desses sólidos, em relação ao plano em que ambos estão apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras.
Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em centímetros, será igual a:
06 – (UCB DF/2018)
Essa figura representa a planificação de uma pirâmide cujo volume é
07 – (UTF PR/2017)
Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma pirâmide de altura 3 metros, cuja base é um hexágono regular de lados medindo 2 metros. Assim, a área da base e o volume desta barraca medem, respectivamente: