Lei de Benford, a lei dos números anômalos
Economistas afirmam que o governo americano faz uso da Lei de Benford, também conhecida como a "lei do primeiro dígito", para identificar fraudes de contabilidade. Mas você sabe do que se trata esta lei e porque ela é considerada tão poderosa?
Para que possamos descrevê-la, precisamos antes entender como as pessoas faziam cálculos antes de existirem as calculadoras: com livros de logaritmo ou, ainda, livros de tabuadas.
Eis que o astrônomo e matemático americano-canadiano Simon Newcomb, por volta de 1880, percebeu que as primeiras páginas dos livros de logaritmos eram mais gastas que as últimos, ou seja, dígitos menores eram mais frequentemente utilizados que os demais, como se as pessoas utilizassem mais os primeiros botões de uma calculadora. Entretanto, não foi dada a devida importância para a descoberta na época. Somente 50 anos depois de Newcomb que o engenheiro e físico Frank Benford redescobriu este comportamento utilizando área da superfície, populações, massa moleculares, endereços, entre outras listas, e concluiu que a distribuição seguia o mesmo padrão da curva já descrita. Escreveu então sua teoria, que foi comprovada em meados de 1990 pelo matemático Theodore Hill, tornando-se, de fato, uma lei da estatística através do estudo Uma Derivação Estatística da Lei dos Dígitos Significativos" ("A Statistical Derivation of the significant-Digit Law", School of Mathematics and Center for Applied Probability Georgia Institute of Technology, 1996), que aponta a seguinte expressão matemática:
Sendo: n o dígito, ou seja, ao substituirmos n por 1 calcularemos o log(2), resultado em 0,30. Assim, a probabilidade do dígito inicial ser 1 é de 30%. Consequentemente, tem-se a curva representada no gráfico abaixo:
Fonte: Documentário "Connected", Netflix.
Previamente, na década de 70 o economista americano Hall Varian começou a analisar os dígitos de dados socioeconômicos e identificou que alguns valores não seguiam o esperado por esta curva e, após pesquisar mais afundo, percebeu que os mesmos haviam sido fraudados.
Nos últimos anos esta lei foi utilizada em inúmeras circunstâncias e cenários como: identificação de bots em redes sociais, comprovação de adulteração de provas judiciais, análise de desempenho de esportistas, exames laboratoriais, entre outros. Inclusive, a China foi vítima de muitas especulações sobre os números de contaminados por COVID-19 no país, porém, um estudo realizado por Chistofer Koch e Ken Okamura comprovaram que não houve manipulação dos dados tendo como embasamento a expressão matemática de Benford.
No Brasil, alguns estudos recentes sobre COVID-19 mostram os seguinte comportamento dos dígitos.
Fonte: Nexo - Ministério da Saúde
Outro fato relevante é o de que diversos países utilizaram Benford para validar eleições presidenciais, inclusive o Brasil. O cientista de inteligência de dados e ex-procurador do ministério da fazenda Hugo César Hoeschl, afirmou com 77% de assertividade que os dados da eleição de 2018 foram fraudados. Só não conseguiu comprovar mais precisamente seu estudo por resistência política à teoria. O mesmo fato já havia acontecido nas eleições de 2014.
É perceptível que esta teoria, concebida em 1880, é utilizada até hoje em pesquisas e até mesmo na detecção de fraudes. Seria possível afirmar que o mundo está conectado através dos números? Será que podemos prever os próximos acontecimentos baseado na Lei de Benford?
Se você gostou do assunto e quer saber mais, sugerimos o episódio 4 da série Connected disponível no Netflix!