LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 18 de Novembro de 2002, as 12:10 p.m.
1.1 Questoes 2
1.2 Problemas e Exercıcios 3
1.2.1 Fluxo do campo eletrico 3
1.2.2 Lei de Gauss 3
1.2.5 Lei de Gauss: simetria plana 7
1 Lei de Gauss – [Capıtulo 25, pagina 5] 2 1.2.3 Um condutor carregado isolado 4 1.2.4 Lei de Gauss: simetria cilındrica 5 1.2.6 Lei de Gauss: simetria esferica . 8
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1.1 Questoes
Considere uma superfıcie gaussiana envolvendo parte da distribuicao de cargas mostrada na Fig. 25-2. (a) Qual das cargas contribui para o campo eletrico no ponto ? (b) O valor obtido para o fluxo atraves da superfıcie circulada, usando-se apenas os campos eletricos devidos a e , seria maior, igual ou menor que o va- lor obtido usando-se o campo total?(a) Todas as cargas contribuem para o campo. Ou seja, o campo e devido a todas as cargas. (b) O fluxo total e sempre o mesmo. Por estarem fora da gaussiana, as cargas e nao contribuem efetivamente para o flu- xo total uma vez que todo fluxo individual a elas devido entra porem tambem sai da superfıcie.
Uma carga puntiforme e colocada no centro de uma superfıcie gaussiana esferica. O valor do fluxo mudara se (a) a esfera for substituıda por um cubo de mesmo volume? (b) a superfıcie for substituida por um cubo de volume dez vezes menor? (c) a carga for afastada do centro da esfera original, permanecendo, entretanto, no seu interior? (d) a carga for removida para fora da esfera original? (e) uma segunda carga for colocada proxima, e fora, da esfera original? (f) uma segunda carga for colocada dentro da superfıcie gaussiana?(a) Nao. O fluxo total so depende da carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada. A forma da superfıcie gaussiana considerada nao e relevante.
(b) Nao. O fluxo total so depende da carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada. O volume englobado pela superfıcie gaussiana considerada nao e relevante.
(c) Nao. O fluxo total so depende da carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada. A posicao das cargas nao altera o valor do fluxo total atraves da superfıcie gaussiana considerada, desde que o o valor desta carga total nao seja modificado.
(d) Sim. Neste caso, como a carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada e nula, o fluxo total sera igual a zero.
(e) Nao. O fluxo total so depende da carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada. Colocando-se uma segunda carga fora da superfıcie gaussiana considerada, nao ocorrera nenhuma variacao do fluxo total (que e determinado apenas pelas cargas internas). As cargas externas produzem um fluxo nulo atraves da superfıcie gaussiana considerada.
(f) Sim. Neste caso, como a carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada passa a ser igual a
Suponha que a carga lıquida contida em uma superfıcie gaussiana seja nula. Podemos concluir da lei de Gauss que e igual a zero em todos os pontos sobre a su- perfıcie? E verdadeira a recıproca, ou seja, se o campo eletrico em todos os pontos sobre a superfıcie for nu- lo, a lei de Gauss requer que a carga lıquida dentro da superfıcie seja nula?Se a carga total for nula podemos conlcuir que o fluxo total sobre a gaussiana e zero mas nao podemos concluir nada sobre o valor de em cada ponto individual da superfıcie. Para convencer-se disto, estude o campo gerado por um dipolo sobre uma gaussiana que o envolva. O campo sobre a gaussiana nao precisa ser homogeneo para a integral sobre a superfıcie dar zero.
A recıproca e verdadeira, pois neste caso a integral sera calculada sobre o produto de dois vetores, um dois quais e identicamente nulo sobre toda a gaussiana.
Q Extra – 25-8 da terceira edicao do livro Na lei de Gauss, o campo e necessariamente devido a carga ? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 2
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 18 de Novembro de 2002, as 12:10 p.m.Nao. O fluxo total atraves da gaussiana depende do excesso de carga (i.e. da carga nao-balanceada) ne- la contida. O campo eletrico em cada ponto da su- perfıcie gaussiana depende de todas as cargas existentes, internas ou nao. O que ocorre e que, como demonstrado no Exemplo 25-1 do livro texto, o fluxo total devido a qualquer carga externa sera sempre zero pois "todo campo que entra na gaussiana, tambem ira sair da gaussiana". Reveja os dois paragrafos abaixo da Eq. 25-8.
1.2 Problemas e Exercıcios
1.2.1 Fluxo do campo eletrico
A superfıcie quadrada da Fig. 25-24, tem m de la- do. Ela esta imersa num campo eletrico uniforme comN/C. As linhas do campo formam um angulo de com a normal "apontando para fora", como e mostrado. Calcular o fluxo atraves da superfıcie.Em todos os pontos da superfıcie, o modulo do campo eletrico vale
N/C, e o angulo , entre e a normal da superfıcie d , e dado por . Note que o fluxo esta definido tanto para superfıcies abertas quanto fechadas. Seja a superfıcie como for, a integral deve ser sempre computada sobre ela. Portanto,N/C mN.m /C
Note que o objetivo desta questao e relembrar como fazer corretamente um produto escalar: antes de medir o angulo entre os vetores e preciso que certificar-se que ambos estejam aplicados ao mesmo ponto, ou seja, que ambas flechas partam de um mesmo ponto no espaco (e nao que um vetor parta da 'ponta' do outro, como quando fazemos sua soma).
1.2.2 Lei de Gauss
Uma carga puntiforme de C encontra-se no centro de uma superfıcie gaussiana cubica de cm de aresta. Calcule o valor atraves desta superfıcie.Usando a Eq. 9, encontramos o fluxo atraves da superfıcie gaussiana fechada considerada (que, no caso deste exercıcio, e um cubo):
C /(N m )N m /C
Determinou-se, experimentalmente, que o campo eletrico numa certa regiao da atmosfera terrestre esta dirigi- do verticalmente para baixo. Numa altitude de m o campo tem modulo de
N/C enquanto que a o campo vale N/C. Determine a carga lıquida contida num cubo de m de aresta, com as faces horizontais nas altitudes de e m. Despreze a curvatura da
Terra.Chamemos de a area de uma face do cubo, a magnitude do campo na face superior e a magnitude na face inferior. Como o campo aponta para baixo, o fluxo atraves da face superior e negativo (pois entra no cubo) enquanto que o fluxo na face inferior e positivo. O fluxo atraves das outras faces e zero, de modo que o flu- xo total atraves da superfıciedo cubo e .
A carga lıquida pode agora ser determinada facilmente com a lei de Gauss: C
Uma carga puntiforme e colocada em um dos vertices de um cubo de aresta . Qual e o valor do fluxo atraves de cada uma das faces do cubo? (Sugestao: Use a lei de Gauss e os argumentos de simetria.) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 3
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 18 de Novembro de 2002, as 12:10 p.m.Considere um sistema de referencia Cartesiano no espaco, centrado na carga , e sobre tal sistema colo- que o cubo de modo a ter tres de suas arestas alinhadas com os eixos, indo de ate os pontos ,
Usando a lei de Gauss: O fluxo eletrico sobre cada uma das tres faces que estao sobre os planos , e e igual a zero pois sobre elas os vetores e sao ortogonais (i.e. seu produto escalar e nulo). Como se pode perceber da simetria do problema, o fluxo eletrico sobre cada uma das tres faces restantes e exatamente o mesmo. Portanto, para determinar o fluxo total, basta calcular o fluxo sobre uma qualquer destas tres faces multiplicando-se tal resultado por tres. Para tanto, consideremos a face superior do cubo, paralela ao plano
, e sobre ela um elemento de area . Para qualquer ponto sobre esta face o modulo do campo eletrico e
Chamando de o angulo que a direcao do campo eletrico em faz com o eixo percebemos que este angulo coincide com o angulo entre a normal e e, ainda, que . Portanto, o fluxo eletrico e dado pela seguinte integral:
Observe que a integral e sobre uma superfıcie aberta, pois corresponde ao fluxo parcial, devido a uma das arestas apenas. Integrando em relacao a e depois integrando em relacao a com auxılio das integrais dadas no Apendice G, encontramos o fluxo eletrico sobre a face em questao como sendo dado por face
Portanto, o fluxo total sobre todo o cubo e face
Usando argumentos de simetria: E a maneira mais simples de obter a resposta, pois prescinde da necessidade da calcular a integral dupla. Porem, requer maior maturidade na materia. Observando a figura do problema, vemos que colocando-se 8 cubos identicos ao redor da carga poderemos usar a lei de Gauss para determinar que o fluxo total atraves dos 8 cubos e dado por total
Devido a simetria, percebemos que o fluxo sobre cada um dos 8 cubos e sempre o mesmo e que, portanto, o fluxo sobre um cubo vale total que, em particular, e o fluxo sobre o cubo do problema em questao. Simples e bonito, nao?
1.2.3 Um condutor carregado isolado
Uma esfera condutora uniformemente carregada, de m de diametro, possui uma densidade superficial de car- ga de C/m . (a) Determine a carga sobre a esfera.
(b) Qual e o valor do fluxo eletrico total que esta deixan- do a superfıcie da esfera?(a) A carga sobre a esfera sera C C
(b) De acordo com a lei de Gauss, o fluxo e dado porN m /C
Um condutor isolado, de forma arbitraria, possui uma carga total de C. Dentro do condutor exis- te uma cavidade oca, no interior da qual ha uma carga puntiforme C. Qual e a carga: (a) sobre http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 4