Não, sua velocidade de internet não influenciará no AirPlay. O Air Play vai utilizar a "banda" do seu router apenas, ou seja, você está limitado a 54 Mbps, nesse momento. Apenas se você for utilizar o Netflix por exemplo na sua Apple TV, com certeza irá influenciar... tanto a sua velocidade de internet, quanto o seu router.
E você pode sim adquirir um router apenas para o Air Play, separado da sua rede com internet, assim não sofre oscilações/perdas na rede por conta de um download ou vídeo em Full HD no YouTube! Mas não aconselho fazer isso não, deixe sua Apple TV sempre conectada a internet, assim não precisa ficar conectando/desconectando de uma rede ou outra sempre que for fazer Air Play ou utilizar algum recurso online. Compre um router esperto e tudo se resolverá!