Formado por duas retas numéricas perpendiculares e uma quantidade infinita de números racionais, o plano cartesiano pode assustar à primeira vista. Desenvolvido pelo matemático e filósofo francês René Descartes (1596-1650) para auxiliar a encontrar pontos específicos, esse plano é uma grande contribuição para as ciências matemáticas, facilitando o estudo das funções e de seus comportamentos.
Imagem: exemplo de reta em plano cartesiano
No entanto, para entender o seu funcionamento, precisamos antes compreender como os pares ordenados funcionam e qual o seu papel dentro da geometria analítica. Pronto para a revisão? Vamos lá!
Para localizar um ponto em um plano, utilizamos dois números racionais, escritos em uma determinada ordem. Estes números recebem o nome de par ordenado. Veja:
(-1, 2), no qual o número -1 é o primeiro elemento e o número 2 é o segundo elemento.
(3, -5), no qual o número 3 é o primeiro elemento e o número -5 é o segundo elemento.
(7, 3), no qual o número 7 é o primeiro elemento e o número 3 é o segundo elemento.
O conjunto de números racionais compreende todos aqueles que podem ser escritos na forma de fração. Entre eles, temos as próprias frações, numerais inteiros, números decimais finitos e dízimas periódicas. Vale ressaltar também que todos esses números podem ser tanto positivos quanto negativos.
Portanto, determinamos como (x, y) um par de números racionais no qual x sempre irá representar o primeiro elemento e y, o segundo elemento.
Aqui, é importante perceber duas propriedades essenciais. Considerando que x e y são números racionais:
(x, y) ? (y, x), pois (4, 1) é diferente de (1, 4).
(x, y) = (r, s) apenas se x = r e y = s.
Um par ordenado também pode ser representado graficamente em um plano através de um ponto.
Este ponto recebe o nome de imagem.
Os números representados por um par ordenado recebem o nome de coordenadas cartesianas. Confira o exemplo:
A (4, 8) - os números 4 e 8 são as coordenadas para o Ponto A.
B (2, -6) - os números 2 e -6 são as coordenadas para o Ponto B.
C (-1, 2) - os números -1 e 2 são as coordenadas para o Ponto C.
Nesse caso, o primeiro número do par ordenado recebe o nome de abscissa, enquanto o segundo número é chamado de ordenada.
O plano cartesiano é considerado um objeto matemático plano formado por duas retas numéricas, x e y, perpendiculares entre si, ou seja, seu único ponto em comum forma um ângulo reto. Veja:
Imagem: Plano cartesiano com a identificação de alguns pontos em seus eixos x e y
Ambas as retas que originam o plano cartesiano precisam ser retas numéricas, estabelecendo correspondência direta com números racionais. Dessa maneira, é possível localizar diversos pontos em sua extensão, uma vez que cada ponto está ligado a um único número real ao longo de toda a extensão infinita da reta.
Cada uma de suas retas recebe um nome específico. Acompanhe:
A reta horizontal é representada pela letra x e recebe o nome de eixo das abscissas.
A reta vertical é representada pela letra y e recebe o nome de eixo das ordenadas.
O ponto no qual as duas retas se cruzam recebe o nome de origem e corresponde ao par ordenado (0; 0).
O plano cartesiano, também conhecido como Sistema de Coordenadas Cartesianas, foi batizado em homenagem a René Descartes, matemático responsável pelo seu desenvolvimento.
Considerado um dos grande nomes desta ciência, Descartes relacionou o estudo da álgebra com a geometria, culminando no desenvolvimento da geometria analítica. O plano cartesiano foi o resultado desses estudos e tem o objetivo de representar planos, retas, curvas e círculos através de equações.
Suas pesquisas figuram entre as primeiras a representar propriedades geométricas de maneira numérica. A contribuição de Descartes foi essencial para o desenvolvimentos, tempos depois, do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton e Leibniz.
A localização de um ponto no plano cartesiano
Como vimos anteriormente, um ponto é expresso por meio de dois números reais, chamados de par ordenado. Nesse caso, o primeiro número representa a localização do ponto no eixo x, enquanto o segundo número representa a localização do ponto eixo y.
Para encontrar um determinado ponto, basta seguir três passos. Acompanhe:
Primeiro passo: encontre o primeiro número expresso no par ordenado. Ele está localizado no eixo das abscissas (eixo x).
Segundo passo: encontre o segundo número expresso no par ordenado. Ele está localizado no eixo das ordenadas (eixo y).
Terceiro passo: trace retas perpendiculares a cada um dos pontos identificados pelo par ordenado. O ponto procurado vai estar exatamente no lugar onde as duas retas traçadas se cruzam.
Imagem: Plano cartesiano com a ilustração gráfica para identificação de P (5, 5)
O plano cartesiano possui algumas propriedades interessantes que podem auxiliar você a desvendar a posição de um ponto mais facilmente.
Pontos mais à direita possuem uma coordenada x maior que os pontos mais à esquerda. Algo similar acontece com a coordenada y: pontos mais para cima possuem uma coordenada maior quando comparados aos pontos mais abaixo.
Além disso, o plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes:
Imagem: Plano cartesiano e seus respectivos quadrantes
O quadrante onde x e y são valores positivos é chamado de primeiro quadrante - (I)
Portanto, x > 0 e y > 0
O quadrante onde x é negativo e y é positivo é chamado de segundo quadrante - (II)
Portanto, x < 0 e y > 0
O quadrante onde x e y são valores negativos é chamado de terceiro quadrante - (III)
Portanto, x < 0 e y < 0
O quadrante onde x é positivo e y é negativo é chamado de quarto quadrante - (IV)
Portanto, x > 0 e y < 0
Importante: perceba que os quadrantes são numerados no sentido anti-horário!
Muito utilizado para construir gráficos de funções matemáticas e observar os seus comportamentos, o plano cartesiano configura-se como um instrumento imprescindível para a geometria analítica.
Além das suas funções no ramo dos estudos matemáticos, as coordenadas cartesianas também são de grande auxílio para os estudos geográficos e a criação do nosso atual sistema de posicionamento global, conhecido como GPS, por exemplo.
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