Equação do Primeiro Grau com Duas Variáveis - Matemática Didática
Como já explicado no tópico Equação, equação do 1° grau com duas incógnitas, é qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax + by = c, onde x e y são incógnitas e a, b e c são números racionais, com a ≠ 0 e b ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação.
Como também já explicamos no referido tópico, a resolução de problemas de equação do 1° grau com uma incógnita, resume-se a isolarmos a incógnita no primeiro membro, obtendo assim a raiz da equação no segundo membro.
Abaixo temos um exemplo de um problema envolvendo uma equação do 1° grau com duas incógnitas:
"Em minha sapateira tenho sapatos meus e de minha esposa. A sapateira tem capacidade para o armazenamento de 20 pares de sapatos e no momento está lotada. Quantos pares são meus e quantos são de minha esposa?"
Assumindo que a incógnita x represente os meus pares de sapato e que y represente os pares dela, podemos montar a seguinte equação:
Resolução de equações do 1° grau com duas incógnitas
Antes mesmo de qualquer explicação você pode intuir que a equação x + y = 20 admite várias soluções.
x = 5 e y = 15 é uma das possíveis soluções, já que a soma de 5 com 15 totaliza 20, o que torna a equação verdadeira.
Como a representação de sapatos é realizada pelo conjunto dos números naturais, já que não faria sentido termos sapatos fracionários ou negativos, por exemplo, temos uma solução para qualquer valor de x entre 0 e 20 inclusive, desde que y seja igual a 20 - x, por exemplo, se x = 8, então y = 12.
Matematicamente podemos fazer a seguinte representação:
S = {x, y ∈ N | x ≤ 20, y = 20 - x}
Com x e y sendo números naturais, temos 21 soluções possíveis para este problema, no entanto se não houvesse a restrição para números fracionários ou negativos, teríamos infinitas soluções, pois qualquer que fosse o valor arbitrado a x, bastaríamos subtrair tal valor de 20, para encontrarmos o correspondente valor de y que tornasse a equação verdadeira, por exemplo, se arbitrarmos -30 a x, temos que y = 50, pois 20 - (-30) = 50.
Para que você possa obter uma solução para uma equação do primeiro com duas ou mais incógnitas, você deve atribuir um valor aleatório a todas as incógnitas, exceto a uma. Os valores atribuídos devem estar contidos no conjunto universo da equação. A partir daí você terá uma equação do primeiro grau com uma incógnita, cuja solução irá compor a solução da equação original, se o valor encontrado estiver contido no conjunto universo da equação.
2x + 3y - z = 40 , sendo que o conjunto universo é: U = {x, y, z ∈ N}
Como as incógnitas são números naturais, segundo o seu conjunto universo, só podemos atribuir valores inteiros e positivos às variáveis, ou então o número 0. Podemos então arbitrar 10 a x e 20 a y, para então encontrarmos o valor de z. Vejamos:
Como 40 ∈ N, então uma dentre as infinitas soluções seria: S = {10, 20, 40}
Agora observe o que aconteceria se tivéssemos arbitrado 3 a x e 5 a y:
Note que -19 não é um número natural, portanto {3, 5, -19} não está contido no conjunto universo desta equação e por isto não pode ser sua solução.