https://doi.org/10.1590/S1413-80502005000400006
Choques transitórios em variáveis econômicas*
Erik Alencar de FigueirêdoI; Paulo Amilton Maia Leite FilhoII
IDoutorando do Programa de Pós-Graduação em Economia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Bolsista CNPq — Brasil. End. para correspondência: Av. João Pessoa, 52/3º andar, 90040-000, Porto Alegre — RS — Brasil. Endereço Eletrônico: erik_cme@yahoo.com.br
IIProfessor do Programa de Pós-Graduação em Economia. Universidade Federal da Paraíba — PPGE/CME/UFPB
Esse estudo objetiva testar a existência de raiz quase unitária e persistência local em diversas variáveis centrais de modelos econômicos (mercado de produto, CCAPM e derivação da fórmula de opção de compra de Black-Scholes). Argumenta-se que a rejeição da hipótese de raiz unitária não necessariamente implicará a aceitação de um comportamento estacionário e ergódigo para a série temporal. Para tanto, selecionou-se o modelo de raiz quase unitária desenvolvido por Phillips, Moon e Xiao (2001) e uma estratégia de estimação envolvendo: a) o teste DF-GLS, sugerido por Elliott, Rothenberg e Stock (1996); b) a seleção ótima de lags proposta por Ng e Perron (2001) e; c) a correção não-paramétrica para termos de perturbação não i.i.d., a partir do kernel smoothing. Os resultados empíricos evidenciaram, para algumas séries, uma caracterização do processo gerador dos dados (PGD) a partir da persistência local.
Palavras-chave: persistência local, raiz quase unitária, produto interno bruto, modelo CCAPM, fórmula de Black-Scholes.
This study aims to test the existence of near unit roots and local persistence in several important variables of economic models (Product Market, CCAPM and Black-Scholes' formula). It is argued that the rejection of the unit root hypothesis will not necessarily imply in accepting a stationary and ergodic behavior for the time series. In order to do that, the near unit root model developed by Phillips, Moon and Xiao (2001) was selected and an estimation strategy was used. Such strategy is described as follows: a) the DF-GLS test, suggested by Elliott, Rothenberg and Stock (1996); b) optimal selection of lags used by Ng and Perron (2001); c) the non parametric correction for terms of perturbation non i.i.d., from the kernel smoothing. The empirical results show, for some series, a characterization of the DGP from the local persistence.
Key words: local persistence, near unit root, gross domestic product, CCAPM model, Black-Scholes' formula.
JEL classification: C22, C14, E32, E34.
A hipótese da raiz unitária tem sido largamente considerada nos estudos macroeconômicos, assumindo, com isso, lugar de destaque na literatura especializada.1 Grosso modo, a detecção de um comportamento não estacionário em uma série econômica resulta em importantes implicações teóricas e empíricas. Um exemplo notório é o estudo específico do mercado de produto.2 Outra importante conseqüência se dá em modelos econômicos/financeiros que formulam hipóteses quanto à estacionariedade das variáveis, tais como taxas de crescimento do consumo, juros e inflação, podendo-se citar, entre outros: a) a abordagem de Lucas (1978) para o comportamento intertemporal do consumo (Consumption Capital Asset Pricing Model — CCAPM) e; b) a derivação da fórmula de opção de compra de Black e Scholes (1973).
De fato, desde o influente estudo de Nelson e Plosser (1982) inúmeras investigações empíricas destacaram a presença de raiz unitária em séries econômicas e financeiras. No entanto, esses resultados, bem como os métodos econométricos utilizados para a sua obtenção, têm sido largamente contestados, essencialmente por estudos desenvolvidos no âmbito da estatística bayesiana.
No campo teórico, Dejong et al. (1992a), por exemplo, evidenciam o baixo poder dos testes clássicos para raiz unitária,3 situando-se abaixo de 50% e algumas vezes abaixo de 10%. Resultados similares também são observados em Diebold e Rudebusch (1990), quando se consideram processos fracionários, e Dejong et al. (1992b), para processos alternativos de raiz quase unitária. Do lado empírico, destacam-se Dejong e Whiteman (1991) e Kwiatkowski et al. (1992), que reanalisando as séries estudadas por Nelson e Plosser obtiveram resultados substancialmente diferentes.
Ng e Perron (2001) reafirmaram a pertinência do ceticismo quanto aos resultados de raiz unitária, não só por conta dos argumentos anteriores, mas pelas grandes distorções causadas quando se observa conjuntamente: a) uma grande raiz negativa no polinômio de médias móveis da série estudada e; b) uma seleção inapropriada do truncamento auto-regressivo.
Todo esse debate, no entanto, conduz a outro desdobramento: a rejeição da hipótese de raiz unitária não necessariamente implicará a aceitação de um comportamento estacionário e ergódigo para a série temporal. Este fato decorre da possibilidade de o processo gerador dos dados (PGD) ser constituído por uma raiz quase (e não exatamente) unitária com persistência local. Logo, em uma investigação direcionada a variáveis macroeconômicas, a análise tradicional para a raiz unitária pode apresentar resultados inconclusivos.
Sendo assim, em estudos que considerem esse tipo de análise devem-se destacar: a) o ceticismo quanto aos resultados de raiz unitária, buscando na literatura o método mais "robusto" de estimação e; b) no caso da rejeição da hipótese nula, ou seja, inexistência de raiz unitária, um teste apropriado para a pertinência da caracterização quase estacionária da variável.
Resumidamente, espera-se que as séries econômicas e financeiras aqui selecionadas sejam caracterizadas: a) por um processo com raiz quase unitária e; b) pela existência de regiões de persistência, ou seja, que os efeitos das inovações não se dêem indefinitivamente, desaparecendo no longo (ou longuíssimo) prazo, o que de fato tem sido largamente observado.4
Para testar tais hipóteses utilizam-se variáveis nacionais e internacionais, tais como PIB real, taxa de crescimento do consumo real, taxa de juros nominal e inflação. Buscou-se em Phillips, Moon e Xiao (2001) uma alternativa aos modelos tradicionais de raiz quase unitária e persistência, discutidos, respectivamente, por Phillips (1987b) e Cochrane (1988).
O estudo comporta três seções além dessa introdução. Na segunda seção apresentam-se: a) as implicações teóricas da raiz unitária em modelos econômicos e financeiros e; b) o modelo de raiz quase unitária e persistência local, com seus respectivos métodos de estimação, tanto paramétricos como não-paramétricos. A terceira seção é reservada à discussão dos resultados e, a quarta, às considerações finais. Devem ser destacadas ainda algumas notações utilizadas a seguir: ":=", " ", " " e "Þ" significam, respectivamente, igualdade por definição e convergências em probabilidade, distribuição e fraca.
Nesta seção apresentam-se os referenciais teóricos do estudo. Em um primeiro momento busca-se discutir as implicações teóricas da existência de uma raiz unitária em séries econômicas. Em seguida, dá-se atenção especial ao modelo de raiz quase unitária e persistência local proposto por Phillips, Moon e Xiao (2001), no qual se destacam: a) a obtenção do parâmetro auto-regressivo (casos quase estacionário e com raiz unitária) e; b) sua respectiva estimação paramétrica, conjugando o método de inferência proposto por Elliott, Rothenberg e Stock (1996) e o critério ótimo de seleção de lags desenvolvido por Ng e Perron (2001).
2.1 Raiz unitária: implicações econômicas
A análise da existência de raiz unitária tem tomado lugar de destaque na literatura econômica, podendo-se citar inúmeras aplicações empíricas e conseqüências teóricas advindas de sua observação. No entanto, destacam-se, nessa subseção, as implicações específicas para o mercado de produto e para uma classe de modelos econômicos/financeiros. Em resumo, pretende-se justificar, economicamente, o estudo mais aprofundado dos modelos de raiz unitária e persistência.
2.1.1 Mercado de produto
Em termos econômicos, a detecção de uma raiz unitária na série temporal do produto indica que os fatores reais possuem influência sobre os movimentos cíclicos de curto prazo.5 Ou seja, contesta-se a hipótese da dicotomia entre as políticas de curto e longo prazos e a concepção de flutuações estacionárias do produto em torno de seu nível potencial.
Outra importante implicação relaciona-se ao efeito de longo prazo das políticas de estabilização. Isto é, devido ao comportamento estocástico do produto, os agentes econômicos serão obrigados a conviver indefinitivamente com políticas de estabilização ineficientes. Além do mais, previsões sobre o comportamento futuro do produto somente serão exeqüíveis para pequenos horizontes de tempo, tornando delicada a implantação da política econômica.
Tais conseqüências fomentaram o desenvolvimento de inúmeras investigações empíricas, destacando-se os artigos de Nelson e Plosser (1982), Cochrane (1988), Hamilton (1989), entre outros. No caso específico da investigação do mercado de produto brasileiro, têm-se: Cribari-Neto (1990, 1992 e 1993), Fava e Cati (1995) e Cati (1998) e Aguirre e Ferreira (2001).
2.1.2 Modelos econômicos/financeiros
Em modelos econômicos/financeiros, a caracterização do processo gerador das séries temporais a partir de uma raiz unitária conduz a importantes distorções. Lima e Xiao (2003), por exemplo, enumeraram uma classe de modelos suscetíveis a esse viés. A motivação desses autores se faz presente neste estudo ao considerar-se o CCAPM e a derivação da fórmula de opção de compra de Black-Scholes.
Lucas (1978) apresentou o modelo de CCAPM como um problema geral de um agente representativo, em que os planos de consumo futuro envolvem a retenção de riqueza (ativos), seus respectivos retornos e o grau de aversão ao risco. Foge do escopo desse estudo uma investigação aprofundada em torno desse modelo.6 Pretende-se, apenas, destacar a importância da hipótese da estacionariedade das taxas de consumo, juros e inflação para o seu funcionamento. Isto posto, considera-se a maximização condicional, dada por:
Ct+j +qt+j qt+j+1 <[qt+j + q*t+j]qt+j +yt+j, "j=0,1,2,...
onde, em uma economia com N ativos, Et(·) corresponde à esperança condicional; b é a taxa de desconto intertemporal [b Î=(0,1)]; Ct+1representa o consumo agregado no tempo t + j; qt+j corresponde ao vetor de quantidades de ativos no tempo t + j; qt+j é o vetor de preços dos ativos no tempo t + j; q*t+j é o vetor de dividendos desses ativos e; yt+j corresponde à renda exógena recebida.
Resolvendo o problema de maximização (2.1.1) sujeito a (2.1.2), tem-se:
onde (2.1.3) corresponde às N equações de Euler; à taxa de retorno real do ativo i no tempo t+1 e g é o coeficiente de aversão relativa ao risco. Aplicando o logaritmo em (2.1.3), e estendendo a análise em termos da taxa de juros nominal (ri), tem-se:
De acordo com Rose (1988), a observação de (2.1.4) sugere que a taxa de crescimento do consumo, inflação e juros nominais possuem uma mesma ordem de integração, ambas estacionárias ou, no caso I(1), necessariamente co-integradas.
A derivação da fórmula de opção de compra de Black-Scholes também assume restrições sobre o comportamento da taxa de juros, notadamente relacionadas à sua estacionariedade e distribuição gaussiana.7 A idéia básica de Black e Scholes (1973) era analisar uma opção de compra, sob determinadas características do mercado financeiro europeu, cujo preço fosse modelado em dois componentes: um determinista e outro aleatório. Dessa forma, a taxa de retorno do ativo será composta por uma parte determinista conhecida e uma parte aleatória seguindo um processo estocástico estacionário, de modo que essa taxa seja estacionária e normalmente distribuída.
Buscou-se a obtenção do preço racional, ou seja, aquele que torna possível o gerenciamento da carteira a partir de uma estratégia autofinanciadora, de forma a obter o mesmo retorno no final da vida da opção, além de possibilitar a arbitragem sem nenhum risco de perda. Para tanto, partiu-se da escolha de uma estratégia autofinanciadora, mesclando ativos com e sem risco. Os ativos isentos de risco possuem um retorno constante capitalizado continuamente, de modo a se obter uma carteira com risco neutro e retorno igual ao do ativo sem risco. Sendo assim, empregando a fórmula de Ito, obtém-se a equação diferencial parcial de Black-Scholes, sendo sua solução (fórmula de Black-Scholes) obtida por diversos métodos.8
Pode-se notar que, assim como no modelo CCAPM, não se buscou a demonstração algébrica detalhada e, sim, destacar as hipóteses relativas à estacionariedade das variáveis. No caso específico da derivação da fórmula de Black-Scholes, ainda se deve considerar a hipótese da normalidade da distribuição. No entanto, este ponto não será discutido por este estudo, podendo o leitor mais interessado buscar essa discussão em Lima e Xiao (2003).
2.2 Raiz quase unitária e persistência local
Os modelos de raiz quase unitária, especificadamente aqueles nos quais se considera a captação de processos de persistência local, têm atraído uma maior atenção em anos recentes, por fornecer uma maior flexibilidade na modelagem de séries temporais não-estacionárias. Sua forma mais simples consiste em:
yt= ayt-1+ut, a=1+ , t=1,...,n, ut ~ i.i.d.N(0,s2)
Note que a®1quando n®¥, e que, para amostras finitas, o sistema possui comportamentos diversos, devido à localização de , ou seja: quase estacionário (c<0); explosivo (c>0); e com raiz unitária (c=0). Phillips, Moon e Xiao (2001) destacaram que o parâmetro c é identificável, porém não pode ser estimado consistentemente. Dessa forma, propuseram a seguinte re-parametrização para (2.2.1):
onde Tm=1,...,m}, implicando que o sistema é composto por uma seqüência de blocos com m observações e ={-K,-K+1,...,0,1,...,M}, com K>0. Com relação a k, postula-se a existência de um passado infinito e de um bloco observável k=1,...,M, de modo que a série temporal seja definida por {yk,t : t ÎTm; k=1,...1,M}e a amostra total, n= mM. Dessa forma, podem-se escrever blocos particulares yk= (yk,1,...,yk,m)e a combinação desses blocos como y= (y1', y2',..., yM').
Tomando m= nd, tem-se no parâmetro d a magnitude da persistência do processo, sendo 0< d< 1. Sabe-se que os choques podem afetar a trajetória de longo prazo das séries temporais econômicas. No entanto, entende-se que esses choques não possuem um efeito de ordem infinita. Ou seja, admite-se a existência de regiões de persistência de ordem O(nd), para n igual ao tamanho da amostra.
Observa-se, ainda, que o modelo (2.2.2) possui uma interação completa entre os processos I(0) e I(1) e suas respectivas taxas de convergência e O(n). No modelo tradicional (2.2.1), a taxa de convergência do parâmetro auto-regressivo é exatamente a mesma, seja em processos estacionários ou com de raiz unitária [O(n)], sendo que somente nas situações em que c ®-¥+¥ é que se têm processos respectivamente estacionários e explosivos.9 De outro lado, o novo modelo possui uma taxa de convergência do parâmetro auto-regressivo igual a O(nd) para d Î [1/2,1]. Por fim, destaca-se que em (2.2.2), assim como em (2.2.1), é importante a localização do parâmetro c. No entanto, no caso específico desse estudo serão considerados apenas os casos: a) quase estacionário, isto é, c< 0, e; b) com a presença de raiz unitária (c= 0). Sendo assim, passa-se à demonstração dos resultados relativos à estimação dos parâmetros.
2.2.1 Parâmetro auto-regressivo ( c< 0 e c= 0)
Nesta subseção,10 serão consideradas duas situações. A primeira assume a quase estacionariedade das séries (c< 0), ou seja, a rejeição da existência de uma raiz unitária não necessariamente implicará a aceitação de um comportamento de covariância estacionária para a série, o que de fato será determinado pela magnitude e significância do parâmetro de persistência local d. Em um segundo momento admite-se a existência de raiz unitária (c= 0).
Introduzindo-se uma correção não-paramétrica no estimador de OLS (ordinary least squares), tem-se o estimador de a em (2.2.2) dado por:
onde se destacam as propriedades de k, ou seja: k lk a) quando m®¥, "k; b) ( k-lk) N(0, Vk) quando m®¥, "k, sendo o tamanho da janela usada para a construção do estimador k (isto é, o bandwidth parameter) e; c) supkVk<¥. As hipóteses (a) e (b) satisfazem a classe de estimadores não-paramétricos para lk sob um processo linear11 e (c) sugere que Vk possui variância finita. Tradicionalmente, utiliza-se o kernel smoothing para a estimação de lk.12 Sendo assim, a convergência de para o seu valor populacional é dada por:
Ou seja, observa-se uma convergência para uma distribuição normal com média zero e variância Va.13 De fato, como já ressaltado anteriormente, a taxa de convergência do estimador situa-se entre as taxas de convergência do processo estacionário e com raiz unitária. Por exemplo, escrevendo m e M como função da amostra total n, ou seja, m= nj e M= n-1j, com 0< j< 1. Tem-se então , com . Dessa forma, conclui-se que (2.2.2) é parte constituinte da classe dos modelos intermediários, entre os estacionários e os que possuem raiz unitária.
Os resultados anteriores são possíveis, dada a hipótese da quase estacionariedade do processo, c=0. Caso a série seja caracterizada pela existência de uma raiz unitária, isto é, em (2.2.2), tem-se um comportamento similar ao modelo de raiz unitária convencional, com uma taxa de convergência para correspondente a O(n= mM).
Em suma, a estimação do parâmetro auto-regressivo requer a utilização de procedimentos paramétricos e não-paramétricos. A estimação não-paramétrica dá-se a partir da correção do parâmetro auto-regressivo (equação 2.2.3), onde , sendo estimadores consistentes para as variâncias de curto e longo prazos do erro. A variância de longo prazo será estimada a partir da variância do kernel smoothing Epanechnikov dado por:
onde é o argumento da função kernel e I a variável de indicador que assume valor um se o argumento é verdadeiro e zero caso contrário. No entanto, caso o termo de erro seja i.i.d., tem-se lk=0, podendo-se empregar, apenas, o método de estimação paramétrico, que no caso específico deste estudo envolve o DF-GLS discutido na seção seguinte.
2.3 Estimação do parâmetro auto-regressivo: procedimentos paramétricos
Nesta seção busca-se apresentar um método eficaz para a estimação do parâmetro auto-regressivo . Para tanto, conjugam-se os resultados obtidos por Elliott, Rothenberg e Stock (1996), isto é, o desenvolvimento do teste DF-GLS, e o critério ótimo de seleção de lags apresentado por Ng e Perron (2001). Para tornar a exposição mais elucidativa devem-se tomar como ponto de partida algumas considerações básicas do modelo padrão de Dickey e Fuller (1979) e Said e Dickey (1984). Ou seja, considerando, inicialmente, um processo gerador para dado por:
onde et ~i.i.d.(0,s2e); {ut}é uma seqüência estacionária, invertível e sem raízes ( ai e qj) comuns e dt=y'zt, onde zt representa o conjunto de variáveis deterministas e y, os seus respectivos parâmetros, ou seja, . Pode-se, assim, obter a seguinte representação:
Nessa especificação, os coeficientes bj(j= 1,...,¥)são funções dos parâmetros {ai, qj, i=1,..., p, j= 1,...,q}. Sob a hipótese nula (r=1), tem-se o PGD representado por um ARIMA (p,1,q) [note que sob essa hipótese Dyt= ut]. Desta forma, as ordens desconhecidas do modelo (p,q) poderão ser aproximadas por trucagens auto-regressivas (k), de modo que o teste padrão consista na observação do valor da estatística t para b0 na equação a seguir:
Devem ser destacados dois aspectos centrais nesse processo: a) a estimação dos parâmetros deterministas é realizada por OLS, mesmo sem informações quanto às presenças de auto-correlação e heteroscedasticidade nos dados e; b) a importância de uma seleção apropriada para trucagem , de modo a obter uma melhor aproximação para PGD verdadeiro. A não consideração desses tópicos pode conduzir o teste de estacionariedade a importantes distorções, como foi demonstrado em Elliott, Rothenberg e Stock (1996) e Ng e Perron (2001).
No primeiro caso (a), busca-se reduzir o viés na estimação de y a partir de uma inferência alternativa (Generalized Least Squares — GLS), dado que, regra geral, não se conhece a natureza dos componentes deterministas. Para tanto, considerando a série yt e seus componentes deterministas zt, definiu-se: , t=0,...,n, sendo a estimação dos parâmetros deterministas obtida a partir da minimização de . Em resumo, o procedimento consiste na obtenção do valor mínimo para o quadrado dos resíduos em um conjunto de regressões GLS, no qual se impõem duas hipóteses: a= = 1+c/n e a=1.
Realizada a estimação eficiente para os parâmetros deterministas, obtém-se o resíduo do processo, ou seja, ydt º yt- ' zt, e se emprega o procedimento padrão [observa-se o valor da estatística t para q0em (2.3.3)].
Com relação ao segundo aspecto (b), considera-se um critério ótimo para a seleção do truncamento . Tradicionalmente, a literatura vem recorrendo aos critérios de seleção de Akaike (Akaike Information Criterion) e Schwarz (Bayesian Information Criterion). No entanto, Ng e Perron (2001) demonstraram que tais critérios tendem a selecionar baixos valores para , quando se tem uma grande raiz negativa (próximo a — 1) no polinômio de médias móveis da série. De forma geral, esse comportamento conduz os testes de raiz unitária a importantes distorções.14
Esse fato motivou o desenvolvimento de um critério alternativo para a seleção do truncamento auto-regressivo (Modified Information Criteria — MIC), de modo a minimizar as distorções no processo de estimação. Tal procedimento pode ser representado por:
onde ; e Cn/ n®0, quando n®¥; . O valor de é obtido por kmax (ver Schwert, 1989). Note que fazendo Cn= 2 ou Cn= ln(n-kmax), têm-se, respectivamente, os critérios modificados de Akaike e Schwarz.
Em suma, o procedimento de estimação paramétrico consiste em: a) obter o resíduo para a série a ser estimada (extrair os componentes deterministas por GLS); b) estimar (2.3.3) por OLS utilizando o valor ótimo para k obtido por (2.3.4) e o intervalo amostral n-kmax e; c) por fim, observar o valor da estatística t para q0=0.
2.4 Estimação e significância estatística do parâmetro de persistência local
Considerando o modelo (2.2.2) com m=nd, sabe-se que a magnitude da persistência está associada ao valor do parâmetro d. Ou seja, para valores de d próximos a 1, tem-se uma longa persistência. Por conveniência, assume-se um valor de c=-1. Sendo assim, 1-a=n-d. Extraindo o logaritmo da expressão anterior, observa-se a estimação consistente15 para d dada por:
Sua significância estatística é obtida a partir de um teste de hipótese baseado na soma cumulativa de yi, onde se confronta a hipótese nula de um processo caracterizado por covariância estacionária (H0:d=0) diante da hipótese alternativa (H1 :0< d<1). Este teste é determinado por:
onde é o estimador para o desvio padrão de longo prazo de yi(kernel smoothing), e v, ao CUSUM (cumulative summation). Informações sobre o comportamento assintótico e valores críticos de Qn encontram-se em Lima e Xiao (2002).
Os resultados das estimações realizadas nesta seção confrontam as hipóteses da existência de raiz unitária ante a caracterização quase estacionária das séries temporais. Em suma, admite-se que a rejeição da hipótese da raiz unitária não necessariamente implicará a aceitação de um comportamento estacionário e ergódigo para a série temporal. Sendo assim, para testar tal suposição selecionaram-se as seguintes variáveis: produto interno bruto real, taxa de juros nominal, inflação e taxa de crescimento do consumo real. A pertinência da escolha dessas variáveis foi discutida na seção 2.1.
A análise será procedida em dois blocos. O primeiro referente à economia brasileira e o segundo às economias internacionais. Os dados do primeiro bloco foram obtidos nos endereços eletrônicos do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada — IPEA (http://www.ipeadata.gov.br) e da Fundação Getúlio Vargas (http://www.fgvdados.br). O PIB real anual compreende o intervalo entre 1900 e 2002; a taxa de juros (retorno dos títulos públicos federais) compreende o período de 1975:01 a 2003:11; a taxa de inflação (IGP-DI para o período de 1944:02 a 2003:02) possui periodicidade mensal; a taxa de crescimento do consumo familiar real anual comporta o período de 1948 a 2002.
O bloco internacional refere-se aos dados da Alemanha, Canadá, Estados Unidos, França, Itália e Japão, obtidos nos diversos endereços eletrônicos.16 Os dados de produto real (1965:01 a 2002:02) e taxa de inflação (1957:02 a 2003:02) possuem periodicidade trimestral e a taxa de crescimento do consumo real (1964 a 1999) possui periodicidade anual.
Selecionou-se uma grande quantidade de taxas de juros com diversas maturidades, são elas: Canadá — paper rate comercial com um (M-1) e três meses (M-3) de maturidade (1971:01 a 2002:12); EUA — paper rate comercial com um mês (M-1) de maturidade (1971:04 a 2003:11), bônus governamental com maturidades de três (M-3) e dez (M-10) anos (1975:01 a 1999:01 — trimestral); Japão — bônus governamental com maturidade dez (M-10) anos (1985:10 a 2003:10); e Alemanha, França e Itália com taxas Call Money (1975:01 a 1999:01 — trimestral).
Utilizou-se, no processo de estimação, o software Statistics Data Analysis (STATA 8.0), sendo estabelecidas duas estratégias. O ponto de partida para ambas envolve o teste DF-GLS. Este primeiro passo servirá como um indicativo para a determinação da ordem de integração das séries. Caso o PGD seja caracterizado pela existência de uma raiz unitária, tem-se um processo de longa persistência. No entanto, rejeitando-se essa hipótese, parte-se para a obtenção dos parâmetros quase unitários e de persistência local, considerando: a) um termo de perturbação i.i.d. e; b) não i.i.d..
O teste DF-GLS será conduzido a partir da seguinte estratégia: a) identifica-se a especificação correta da série, ou seja, com flutuações em torno de uma tendência ou de uma média; b) realiza-se a estimação considerando todas as trucagens estabelecidas entre 0 e kmax, sendo obtido a partir do método de Schwert (1989); c) escolhe-se o ótimo utilizando o Modified Information Criteria (MIC), sugerido por Ng e Perron (2001) e, por fim; d) reestima-se o parâmetro auto-regressivo no intervalo n-kmax, comparando sua estatística com os valores críticos contidos em Elliott, Rothenberg e Stock (1996).
A estimação dos parâmetros a e d, como ressaltado anteriormente, será realizada de duas formas. Na primeira admitir-se-á uma seqüência {ut}i.i.d.. Neste caso, k, em (2.2.3), será igual a zero e o parâmetro auto-regressivo será obtido a partir da equação objetivo do teste DF-GLS (isto é, envolvendo as trucagens ótimas). A partir desse parâmetro, denotado , obtêm-se o grau da persistência local ( ) e sua significância estatística (teste Qn). Este procedimento foi tomado, por exemplo, por Lima e Xiao (2002).
A segunda estimação considerará um termo de erro não i.i.d.. Sendo assim, adota-se a correção não-paramétrica descrita em (2.2.3). Ou seja, estimam-se consistentemente as variâncias de curto e longo prazos para e se aplica essa correção ao parâmetro auto-regressivo da equação (2.2.2).17 Conseqüentemente, obtêm-se os parâmetros quase unitários ( ) e de persistência local ( +) diferenciados dos anteriores. A variância de longo prazo para ut será obtida a partir do kernel smoothing Epanechnikov.18 O mesmo método de estimação será empregado na correção do teste Qn.19
3.1 Evidência empírica para o Brasil
A análise será efetuada em dois momentos. No primeiro, discutem-se os resultados relativos ao mercado de produto, buscando-se confrontá-los com as evidências estabelecidas na literatura. No segundo momento, analisam-se os resultados referentes às taxas de crescimento do consumo real, juro nominal e inflação.
3.1.1 Mercado de produto
Os estudos de Cribari-Neto (1990, 1992 e 1993) constituem um importante referencial na investigação da existência de um comportamento estocástico no PIB brasileiro. Utilizando, essencialmente, o teste padrão ADF e as medidas de persistência paramétricas e não-paramétricas o autor conclui em favor da existência de raiz unitária e longa persistência na série do produto (1900 a 1993). Este resultado foi, em parte, contestado por Fava e Cati (1995), estudo no qual foram encontradas evidências de estacionariedade em subperíodos anteriores à década de 1980, e amplamente refutado por Aguirre e Ferreira (2001) a partir de uma abordagem alternativa (changing growth model).
Porém, parte dos estudos anteriores tem em comum a hipótese de mudanças estruturais na função determinista, incluindo-se, portanto, variáveis de intervenção em suas estratégias de estimação. Não se observou, no entanto, as possíveis distorções causadas por: a) uma caracterização quase unitária no PGD; b) uma grande raiz negativa no polinômio de médias móveis; c) o desconhecimento quanto à presença de autocorrelação e heteroscedasticidade nos dados; d) uma seleção inapropriada no número de trucagens auto-regressivas, e; e) a possibilidade de que, caso se rejeite a hipótese da raiz unitária, se observe um processo com persistência local. Deve-se, portanto, lançar um olhar crítico quanto a seus resultados.
A Tabela 1 apresenta os resultados da estimação dos testes de raiz unitária para diversos subperíodos, em sua maioria já analisados na literatura.20 Regra geral, não se observaram problemas de polinômios de médias móveis negativos. Os testes indicam a não-rejeição da hipótese de existência de raiz unitária em praticamente todos os períodos considerados. Esses resultados mostram-se conflitantes com os obtidos por: a) Fava e Cati (1995), no que se refere aos subperíodos 1900 a 1985, 1900 a 1980 e 1947 a 1980 e; b) Aguirre e Ferreira (2001), para o período de 1950 a 1997. Sendo assim, a hipótese da associação entre a raiz unitária e a situação econômica observada no período pós-década de 1980, levantada por Fava e Cati (1995), mostra-se não condizente com o processo de estimação alternativo adotado neste estudo.
Observou-se, no entanto, a rejeição da hipótese de raiz unitária para o período compreendido entre 1947 a 1985. Tal comportamento conduz à estimação do parâmetro de persistência local (Tabela 2). Esse teste indicará o grau de persistência de um choque, confrontando as hipóteses de uma caracterização covariância estacionária (H0:d=0) ante a persistência local (H1 :0< d< 1). Em ambas as estimações (adotando as correções paramétrica e não-paramétrica) observaram-se uma alta persistência, sendo esses parâmetros estatisticamente significativos.
Em suma, os resultados mostram-se contraditórios com os estabelecidos em Fava e Cati (1995) e Aguirre e Ferreira (2001), reforçando a evidência da não-estacionariedade do PIB presente em Cribari-Neto (1990, 1992 e 1993). O único período no qual se observou estacionariedade (1947 a 1985) apresentou um alto coeficiente de persistência local, implicando a não aceitação da caracterização covariância estacionária para a série.
3.1.2 Modelos econômicos/financeiros
A análise para as séries nacionais de taxa de inflação e taxas de juros21 apresenta uma dificuldade adicional devido à existência de inliers.22 Esta característica introduz um importante viés no processo de estimação convencional, ou seja, os testes tendem a rejeitar a hipótese da existência de raiz unitária. Por conta disso, os estudos, notadamente os relacionados à investigação do comportamento das taxas de inflação, defrontaram-se com o paradoxo da inexistência da raiz unitária conjuntamente à longa persistência (inércia inflacionária).23
Nesse sentido, Campêlo e Cribari-Neto (2003) dão um passo à frente em relação a Cati, Garcia e Perron (1999), ao conduzir sua investigação sob o teste alternativo de Hasan e Koenker (1997), permitindo uma melhor performance dada a sua não-sensibilidade à presença de inliers.
Os resultados da Tabela 3 corroboram os resultados não robustos presentes na literatura, ou seja, se aceita a hipótese da estacionariedade da série para o período de 1944:02 a 2003:03. Quando se observa apenas o período pós Plano Real, tem-se a aceitação da raiz unitária. Comportamento similar é observado na série de taxa de juros (Tabela 4). Têm-se a rejeição e a aceitação da hipótese de raiz unitária para os períodos de 1975:01 a 2003:11 e 1994:08 a 2003:11, respectivamente. Em ambos os casos, inflação e juros, não serão calculados os parâmetros de persistência local, dado que os resultados relativos à estacionariedade são viesados.
A taxa de crescimento do consumo real mostra-se estacionária (Tabela 5). Observam-se grandes raízes MA negativas e um polinômio auto-regressivo (AR) próximo a um, indicando que a série apresenta os dois problemas enunciados em Ng e Perron (2001). Têm-se, na Tabela 6, os parâmetros quase unitários iguais a 0,35 e 0,48 e os parâmetros de persistência local significativamente diferentes de zero.
Os resultados desta subseção mostraram-se não condizentes com as hipóteses do modelo de CCAPM e da derivação da fórmula de Black-Scholes. No primeiro caso, excluindo-se a análise de co-integração, postulava-se a estacionariedade das taxas de inflação, juros e de crescimento do consumo, o que, de fato, não foi observado. Embora as estimações referentes à taxa de inflação e juros possuam um forte viés, principalmente no que se refere às estimações contendo toda a amostra, a literatura sinaliza em favor de suas não estacionariedades.24 No segundo caso, fórmula de Black-Scholes, esperava-se encontrar uma taxa de juros estacionária, o que não foi observado mesmo para o subperíodo pós-Plano Real.
3.2 Evidência empírica internacional
Campbell e Mankiw (1989) foram pioneiros na investigação da persistência à inovação internacional. Seus resultados registraram a longa persistência nos produtos reais da Alemanha, Canadá, França, Itália e Japão. Sendo o produto norte-americano caracterizado por um processo de reversão gradual, ou seja, uma inovação (choque), esta seria revertida em um período de aproximadamente dez anos. Não se pretende aqui discutir de forma aprofundada a causa dessa diferenciação, nem tampouco mensurar o grau de persistência de uma inovação em cada país selecionado. O leitor mais interessado poderá obter uma melhor discussão sobre esses pontos nos diversos textos25 contidos na bibliografia.
Os resultados da Tabela 7 destacam a não-estacionariedade dos PIBs internacionais. Grosso modo, as séries não apresentaram problemas relativos às raízes AR e MA. O resultado relativo aos EUA é condizente com o observado em Cheung e Chinn (1997), que utilizando DF-GLS, embora sem adotar o critério de seleção ótima MIC, aceitaram, parcialmente, a existência da raiz unitária.26
Em relação às taxas de inflação internacionais (Tabela 8), destacam-se: a) praticamente todas as séries apresentaram um MA negativo, situando-se entre —0,03 (França) e —0,67 (Japão) e; b) grosso modo, todas as séries apresentaram um AR inferior (próximo) a um.
As séries relativas à Alemanha, Canadá e EUA são estacionárias, devendo-se, portanto, proceder ao cálculo dos parâmetros de persistência local (Tabela 9). Estes resultados indicam uma alta e significativa persistência (0,88) quando se utiliza o método de estimação paramétrico (ou seja, DF-GLS como equação objetivo). Quando se adota a correção não-paramétrica para o termo de erro, obtêm-se parâmetros quase unitários com menor magnitude e menores persistências locais. Destaca-se o comportamento da série alemã, em que, no primeiro procedimento, aceita-se a hipótese de persistência local, rejeitando-a quando se emprega a correção não-paramétrica.
Deve-se destacar, no entanto, que os comportamentos dos polinômios MA sugerem uma possível distorção na estimação do parâmetro auto-regressivo, sendo, neste caso, preferível a correção via trucagens auto-regressivas.27
Em relação às taxas de juros, apenas a alemã mostrou-se estacionária (Tabela 10) e com relativas e significativas baixas persistências (Tabela 11). Os dados, em geral, não apresentaram os problemas relativos ao parâmetro de médias móveis. As taxas de crescimento do consumo apresentaram um maior número de variáveis estacionárias (Tabela 12).
A estimação dos parâmetros indica uma caracterização de persistência local para os PGDs. No entanto, este parâmetro só se mostrou significativo para a Alemanha, Canadá e Itália. No caso dos Estados Unidos, o parâmetro é estatisticamente igual a zero. Logo, o processo é caracterizado pela covariância estacionária.
Em geral, observou-se: a) a existência de raiz unitária nas séries dos PIBs reais internacionais; b) em um primeiro momento, as condições do modelo CCAPM só não seriam violadas para as séries alemãs, ou seja, as séries mostram-se integradas de mesma ordem (quase estacionárias) e; c) a derivação da fórmula de Black-Scholes também se torna comprometida, à exceção do caso alemão.
A dificuldade em se demonstrar a estacionariedade das taxas de juros tem sido recorrente na literatura especializada. Observou-se, para as economias canadense e norte-americana, que a taxa de juros foi a única variável financeira não-estacionária. Devido a essa característica, Lima e Xiao (2003) desenvolveram uma metodologia de estimação, na qual considerou-se a hipótese de inovações não-gaussianas. Seus resultados reforçaram a hipótese da estacionariedade das taxas de inflação e crescimento do consumo, porém não se pôde rejeitar a hipótese de raiz unitária para a taxa de juros norte-americana. No entanto, esta discussão foge do escopo deste estudo, constituindo um passo à frente em investigações futuras.
Neste estudo pretendeu-se observar a pertinência da caracterização do processo gerador dos dados (PGD) a partir de uma raiz quase unitária com persistência local. Para tanto, selecionou-se o modelo teórico desenvolvido por Phillips, Moon e Xiao (2001) e uma estratégia de estimação envolvendo: a) o teste DF-GLS sugerido por Elliott, Rothenberg e Stock (1996); b) a seleção ótima de lags proposta por Ng e Perron (2001) e; c) a correção não-paramétrica para termos de perturbação não i.i.d., a partir do kernel smoothing.
Optou-se por observar as implicações da não-estacionariedade das séries temporais para o mercado de produto e para dois modelos econômicos/financeiros, o CCAPM (Consumption Capital Asset Pricing Model) e a derivação da fórmula de opção de compra de Black-Scholes. Por conta disso, selecionaram-se as variáveis produto interno bruto real, taxa de juros nominal, inflação e taxa de crescimento do consumo real. Os dados foram constituídos por variáveis da economia brasileira e internacional (Alemanha, Canadá, Estados Unidos, França, Itália e Japão).
Tal procedimento decompôs a análise em dois blocos: o primeiro referente à economia brasileira e o segundo às economias internacionais. No primeiro bloco, identificou-se a existência de um forte componente estocástico no PIB brasileiro, não só em toda a amostra (1900 a 2002) como também nos diversos subperíodos selecionados (em geral, já investigados na literatura). Apenas no período de 1947 a 1985 observou-se a estacionariedade, porém com um alto grau de persistência. Os resultados contradizem os obtidos por Fava e Cati (1995) e Aguirre e Ferreira (2001), corroborando as evidências apontadas por Cribari-Neto (1990, 1992 e 1993).
Em relação às variáveis econômicas e financeiras, constatou-se um forte viés no processo de estimação, devido à existência de inliers nas taxas de inflação e juros. Sendo assim, os resultados apenas reforçaram as evidências não robustas presentes na literatura.28 A taxa de crescimento do consumo caracterizou-se por um processo de persistência local. Em suma, para o caso brasileiro, não se observaram as hipóteses do modelo de CCAPM e da derivação da fórmula de Black-Scholes, dado o comportamento não-estacionário das taxas de inflação e juros.
As evidências internacionais apontaram a presença de raiz unitária nas séries do PIB real. As taxas de inflação mostraram-se estacionárias em três países (Alemanha, Canadá e EUA), no entanto, as estimações dos parâmetros de persistência local indicaram uma alta persistência quando adotada a estratégia de estimação paramétrica e uma baixa persistência quando se empregou a correção não-paramétrica (kernel smoothing). No entanto, o comportamento dos polinômios de médias móveis das séries sugere que a estimação paramétrica (isto é, com a inclusão das trucagens ótimas) mostra-se mais confiável.
Apenas para a taxa de juros alemã é que se rejeitou a hipótese da raiz unitária. Os parâmetros e +, estatisticamente diferentes de zero, indicaram a existência de persistência local. As taxas de crescimento do consumo mostraram-se estacionárias para a Alemanha, Canadá, EUA e Itália. No entanto, só a taxa dos EUA pôde ser caracterizada por um processo de covariância estacionária. Em geral, as evidências internacionais destacaram: a) a presença de raízes unitárias nos PIBs internacionais; b) a observação das hipóteses do modelo CCAPM e da derivação da fórmula de Black-Scholes para os dados da Alemanha.
Em suma, foram realizados 41 testes de estacionariedade. Destes, 12 rejeitaram a hipótese da raiz unitária, porém apenas um pôde ser caracterizado por processo covariância estacionária. Este fato reforçou o argumento levantado no início do estudo: a rejeição da hipótese de raiz unitária não necessariamente implicará a aceitação de um comportamento estacionário e ergódigo para a série temporal. Isto indica que a investigação em séries temporais, especificadamente aquela destinada a determinar a ordem de integração das séries, deve: a) mostrar-se cética quanto aos resultados de raiz unitária, buscando-se sempre o método mais "robusto" de estimação; e b) no caso da rejeição da hipótese nula (inexistência de raiz unitária), testar a pertinência da caracterização quase estacionária com persistência local.
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Recebido em julho de 2004. Aceito em junho de 2005.
* Os autores gostariam de agradecer aos professores Luiz Renato Lima, Ricardo G. Silva, Sinézio Maia e Luciano Silva. No entanto, os erros e omissões são de nossa inteira responsabilidade.
1 Ver Campbell e Perron (1991).
2 Tradicionalmente, as flutuações nas variáveis reais (notadamente o produto) eram concebidas como transitórias em torno de uma tendência polinomial determinista (linear ou exponencial) (ver Lucas, 1977).
3 Notadamente os testes DF, ADF e Phillips-Perron.
4 Ver, por exemplo, Lanne (2000) e Lima e Xiao (2002).
5 Os movimentos dos ciclos são aqueles associados às políticas de curto prazo, seja política fiscal ou monetária; já os fatores reais são associados a: acumulação de capital, crescimento populacional, desenvolvimento tecnológico, recursos naturais etc.
6 O leitor mais interessado encontrará uma discussão teórica em Lucas (1978). Para uma análise empírica do caso brasileiro, ver Issler e Piqueira (2000).
7 Uma discussão sobre a derivação da fórmula de opção de compra sob a hipótese de distribuições não-gaussianas foi desenvolvida por Borland (2002).
8 Por exemplo: Método de Merton, Fórmula de Feynman-Kac e aproximação binomial.
9 Ver Phillips (1987b).
10 O desenvolvimento desta subseção baseia-se na articulação dos argumentos de Phillips, Moon e Xiao (2001) e Phillips (1987a e 1987b).
11 Ver Park e Phillips (1988).
12 Ver Xiao et al. (2002).
13 O Va envolve uma razão de processos de difusão gaussianos de Ornstein-Uhlenbeck, que no limite assumem, em um caso especial, um valor constante igual a.
14 A investigação quanto aos efeitos de grandes raízes negativas no componente MA do PGD foi promovida teoricamente por Nabeya e Perron (1994). Observou-se que caso o PGD seja caracterizado por um ARMA(1,1), com MA próximo a -1, tem-se uma estimação inconsistente do parâmetro auto-regressivo [testes ADF e Phillips-Perron].
15 A prova para a consistência de d encontra-se em Lima e Xiao (2002).
16 Os dados de PIB e inflação foram obtidos no IPEA; os dados de consumo, na Macrodata (http://www.fgn.unisg.ch/eumacro/macrodata/dmtrxneu.htm) e as taxas de juros, nos endereços de Bancos Centrais e instituições financeiras. São eles: (http://www.bankofcanada.ca/en/), (http://www.bancaditalia.it), (http://www.boj.or.jp/cn/index.htm), (http://www.federalreserve.gov.htm) e (http:// www.globalfindata.com).
17 Vale ressaltar que, nesse caso, a equação objetivo não contém trucagens auto-regressivas.
18 Considerado como kernel ótimo, ele é dado por.
19 Ver fórmula (2.4.2).
20 Vale ressaltar que as estimações envolvendo um pequeno número de observações (abaixo de 50) podem apresentar vieses.
21 Optou-se pela taxa de retorno dos títulos públicos federais, seguindo uma orientação de Issler e Piqueira (2000).
22 Intervenções governamentais que desviam as taxas de sua trajetória natural.
23 Vale salientar que existe uma explicação alternativa para esse comportamento, onde se considera a longa dependência de série (ver Fava e Alves, 1998).
24 Tem-se observado que a presença de inliers e outliers contamina a distribuição das variáveis econômicas, viesando as estimações baseadas em OLS. Neste sentido, diversos testes têm sido desenvolvidos com o intuito de contornar tal adversidade. Estes testes compõem a chamada "inferência robusta", e podem ser encontrados em Lucas (1995a,b), Hasan e Koenker (1997), Xiao (2001) e Lima e Xiao (2003).
25 Por exemplo: Cochrane (1988), Hamilton (1989) e Cheung e Chinn (1997).
26 Diz-se parcialmente, pois ao adotarem o teste KPSS desenvolvido por Kwiatkowski et al. (1992), os autores aceitaram a caracterização tendência-estacionária.