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FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - Capítulo 2.Problemas - Ex. 67
Uma parede plana composta e unidimensional tem espessura global igual a 2 L . O Material A está no domínio - L ≤ x ≤ 0 e há no seu interior uma reação química exotérmica que ocasiona uma taxa de geração volumétrica uniforme q ˙ A . O Material B está no domínio 0 ≤ x ≤ L e há no seu interior uma reação química endotérmica que ocasiona uma taxa de geração volumétrica uniforme q ˙ B = - q ˙ A . As superfícies em x = ± L estão isoladas termicamente. Esboce as distribuições, em regime estacionário, de temperaturas e de fluxos térmicos, T ( x ) e q x ' ' ( x , t ) , respectivamente, no domínio - L ≤ x ≤ L para k A = k B , k A = 0,5 k B e k A = 2 k B . Aponte as características importantes das distribuições que você desenhou. Se q ˙ B = - 2 q ˙ A , você pode esboçar a distribuição de temperaturas no regime estacionário?
Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de dois materiais em contato um com o outro mas isolados termicamente do meio, um sofre um processo exotérmico (libera calor) e o outro passa por um processo endotérmico (absorve calor), pra deixar isso mais claro vamos analisar um esquema gráfico do nosso sistema
Origem e sentido da geração de calor e da dissipação.
I I - R e g i m e p e r m a n e n t e
Tendo tudo isso em mente vamos escrever nossa lei de Fourier pra podermos analisar a dinâmica do problema.
Como nossa condução é unidimensional e há geração de energia, temos:
∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ k = 0 , ∂ T ∂ x = - q x ' ' k
q ˙ = ∂ q x ' ' ∂ x
Esse resultado nos indica que o fluxo de calor varia linearmente com x , pois se integrarmos ambos os lados da equação temos:
∫ q ˙ ∂ x = ∫ ∂ q x ' ' ∂ x ∂ x
q ˙ x + C 1 = q x ' '
Aplicando nossas condições de contorno, temos:
x = - L , q x ' ' = 0
C 1 = q ˙ L
Lembrando que o fluxo pode ser ± q A dependendo do lado que estamos, o que garante nossa condição de contorno para todo o material.
Com esses dados em mãos vamos montar nosso gráfico, assim temos:
(b) Vamos refazer o passo anterior agora com o foco em encontrar T x
∂ ∂ x ∂ T ∂ x = - q ˙ k
Integrando duas vezes temos:
∫ ∫ ∂ ∂ x ∂ T ∂ x d x 2 = ∫ ∫ - q ˙ k d x 2
T x = - q ˙ x 2 2 k + C 1 x + C 2
Usando nossas condições de contorno temos:
x = - L , ∂ T ∂ x = 0
C 1 = - q ˙ L k
Como não temos dados o suficiente para inferir uma condição de contorno para encontrarmos T 2 , vamos manter ela assim na equação, assim vamos montar nosso gráfico para T - x
Nossa T ( x ) é uma equação do segundo grau, mas como o fator q ˙ que o multiplica muda de sinal de acordo com o material temos uma mudança no sentido da concavidade da parábola.
Como k é inversamente proporcional a nossa temperatura, da forma que mostramos na nossa equação, quanto menor for o k maior será a nossa temperatura. (no caso maior será o pico da concavidade da nossa parábola.
Pra terminarmos de vez com nosso problema vamos fazer o balanço de energia assim.
Para q ˙ B = - 2 q ˙ A temos:
Como V é o volume e a variação de energia acumulada é diferente de 0 , logo nosso sistema não pode atingir o estado permanente tendo em vista que ele está acumulando energia constantemente enquanto os processos estão ocorrendo.
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