Neste exemplo, a carga P é decomposta em Pv, perpendicular ao eixo da viga, produzindo flexão simples em Ph, colinear ao eixo, produzindo tração. Este é um caso de solicitação composta de flexão + tração.
6..5 Momento Fletor
A fórmula da flexão é aplicada nas secções críticas, ou seja, nas secções onde o momento fletor é máximo Mmáx. O momento fletor máximo de uma viga, pode ser determinado através dos diagramas obtidos pelo método das secções, ou através de tabelas que apresentam expressões para estas grandezas.
Nos anexos desta apostila estão algumas tabelas que permitem determinar o momento fletor máximo e outras grandezas relativas ao estudo de vigas.
6..6 Hipóteses
Os modelos de flexão utilizados em nosso estudo de resistência dos materiais baseiam-se nas seguintes hipóteses:
SOBRE O CCORRPPO SSÓÓLLIIDDO i. O material é considerado homogêneo e isotrópico; i. A viga admite um plano de simetria; i. O corpo é formado por um conjunto de fibras unidas entre si e paralelas ao plano longitudinal.
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SOBRE AS FFOORRÇÇAS iv. As forças atuam no plano de simetria; v. As forças atuantes são perpendiculares ao eixo, portanto trata-se de um problema de flexão simples;
Plano de Simetria vi. Hipótese de Bernoulli: Os sólidos sob flexão são elásticos longitudinalmente e rígidos transversalmente.
vii. Hipótese de Navier:
Sob ação de cargas de flexão, algumas fibras longitudinais que compõem o corpo sólido são submetidas à tração e outras "a compressão, existindo uma superfície intermediária onde a deformação (εx) e a tensão (σx) para as fibras nela cintidas tornam-se nulas, isto é, não se encurtam e nem se alongam. Esta superfície é chamada de superfície neutra. A superfície neutra intercepta uma dada secção transversal da barra segundo uma reta chamada linha neutra.
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- Os esforços de tração e compressão aumentam à medida que se afastam da superfície neutra, atingindo sua intensidade máxima nas fibras mais distantes a ela.
- O material obedece a Lei de Hooke, ou seja, as tensões e deformações produzidas no sólido estão abaixo do limite de proporcionalidade do material (regime elástico).
1. Supondo uma viga submetida a esforços de flexão, constituída por uma série de fibras planas longitudinais, as fibras próximas à superfície convexa estão sob tração e portanto sofrem um aumento em seu comprimento. Da mesma forma, as fibras próximas à superfície côncava estão sob compressão e sofrem uma diminuição no seu comprimento. Como na superfície neutra o esforço é nulo, a deformação resultante também será nula, sendo assim um plano de transição entre as deformações de tração e compressão.
2. De acordo com a Lei de Hooke, a tensão varia linearmente com a deformação. Desta forma temos que a tensão de flexão varia linearmente numa dada seção transversal de uma viga, passando por zero (tensão nula) na linha neutra.
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Figura 6.7 Superfície e Linha Neutra apresentadas num trecho de uma viga fletida.
3. Em uma viga com seção transversal constante, a linha neutra (interseção entre a superfície neutra e a seção transversal) passa pelo centro de gravidade desta seção.
6..7 Tensão de Flexão
A equação abaixo é conhecida como fórmula da flexão em regime elástico, e a tensão normal σF, provocada quando a barra se flexiona, é chamada de tensão de flexão.
M yI σ=
Esta equação representa a distribuição linear de tensões apresentadas na figura? . A tensão de flexão asume seu valor máximo na superfície mais distante da linha neutra, ou seja, no maior valor de y. Em vigas com seção simétrica (em realção a linha neutra), as tensões de tração e compressão produzidas durante a flexão terão o mesmo valor. Nas vigas com seções assimétricas, a tensão máxima ocorrerá na superfície mais distante da linha neutra.
Mfletor Mfletor Viga
Figura 6.8 Diferentes distribuições de tensão para um mesmo perfil tipo "U" utilizado no modelo de viga, conforme sua posição em relação ao momento fletor aplicado.
A distribuição de tensões para o caso de perfis com seção assimétrica a linha neutra, como apresentado Figura 6.8, deve ser observada durante o dimensionamento de componentes fabricados em materiais que apresentam valores diferentes para os limites de resistência, como o ferro fundido por exemplo.
6..8 Dimensionamento
IWy=
O módulo de flexão W só depende da geometria da secção transversal da viga (consulte a tabela em anexo). Substituindo esta relação na equação do ítem 6.7, temos:
maxF MW σ=
, onde Mmáx é o momento fletor máximo.
Para que uma viga trabalhe em segurança, é necessário que a tensão admissível estipulada para o projeto seja igual ou maior que a tensão máxima de flexão:
Elementos de Máquinas - Profa. Daniela Águida Bento 45 admFmaxσσ≥ , então:
maxadm MW σ =
Em nosso estudo, o problema de dimensionamento estará associado 'a determinação de W. Com esta grandeza, podemos decidir quanto ao perfil a ser utilizado, de acordo com as restrições de projeto, com o auxílio de tabelas tais como a apresentada no EXEMPLO 6.2.
Essa relação mostra que a tensão máxima é inversamente proporcional ao módulo resistente W, de modo que uma viga deve ser projetada com maior valor de W possível, nas condições de cada problema.
EXEMPLO 6..1
Determinar o módulo de flexão para uma barra de seção retangular de 3x8 cm, para (a) b=3cm e (b) b=8cm
No exemplo acima vemos que, tendo duas vigas com a mesma área de secção transversal, a viga com maior altura terá um módulo resistente maior, sendo então mais apropriada para resistir tensões de flexão.
EXEMPLO 6..2
Selecione um perfil estrutural tipo I (Aço ABNT 1020) para ser utilizado na ponte rolante ilustrada abaixo, com comprimento equivalente a 7 metros e que deverá suportar uma carga máxima equivalente a 3 toneladas. Para o dimensionamento desta viga, utilize Sg = 3.
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Para esta viga, a condição crítica de trabalho ocorrerá quando trole estiver localizado na metade do seu comprimento. Desta forma teremos o seguinte modelo:
Para este modelo podemos determinar o momento fletor máximo com auxílio da tabela.
, onde: - P = 30 kN = 30000 N então:
452500000maxmaxM M Nmm
A tensão admissível para este projeto:
O dimensionamento da viga poderá , enão, ser feito através da determinação do módulo de flexão:
Elementos de Máquinas - Profa. Daniela Águida Bento 47 maxadm M W
Com auxílio da tabela de perfis tipo I da Norma ABNT podemos selecionar o perfil que apresenta o módulo de flexão próximo a este valor, neste caso W = 782 cm3, qua apresenta as seguintes dimensões:
EXEMPLO 6..3
1) Uma manivela de ferro fundido cinzento (FC-20), tem a extremidade A engastada no eixo. Na extremidade B, livre, está aplicada uma carga concentrada P = 6 kN. O comprimento L = 80 cm. O coeficiente de segurança Sg = 10. Calcular as dimensões da secção transversal.
Tensão admissível: Para o FºFº especificado no problema, temos os seguintes limites de resistência:
σRtração = 155 MPa σRcompressão = 583 MPa
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Sendo simétrico, o perfil a ser projetado, devemos adotar o menor valor de limite de resistência do material para que o dimensionamento seja realizado com segurança. Desta forma:
Momento Fletor: o problema da manivela pode ser representado pelo modelo:
,onde, de acordo com a tabela:
.maxMPl=
, onde: - P = 6 kN = 6000 N então:
maxadm M W
Para a seção transversal retangular, podemos obter a relação para o módulo de flexão, através da tabela:
, sendo, para este problema, b = 0,4h, temos:
, substituindo o valor de W determinado:
Elementos de Máquinas - Profa. Daniela Águida Bento 49 h hm m
, e consequentemente:
bh b bm m
6..9 EXERCÍCIOS
1) Para a estrutura abaixo, determine: a)O diâmetro dos pinos p/ uma tensão cisalhante admissível de 80 MPa; b) As dimensões (W) do perfil AB de aço (σadm = 50 Mpa)
2) Para as vigas abaixo, selecione o perfil I (aço ABNT 1020) apropriado. Utilize sg = 3.
A B 5 kN
2kN5 kN
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3) Determine as dimensões indicadas para a manivela ilustrada abaixo.
Dados: - Material: ferro fundido cinzento
- Fator de segurança: 10
- Dimensões (proporção):
• b = 0,3 H
4) A Haste em ângulo reto, representada abaixo, é fabricada em ferro fundido cinzento. Calcule o fator de segurança referente às dimensões das seções indicadas, considerando que a peça suporta um carregamento máximo P2 equivalente a 15 kN.