Fazer um esboço do gráfico de f , determinando:. Os extremos relativos | Cálculo com Geometria Analítica Volume 1
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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.Revisão - Ex. 18
Fazer um esboço do gráfico de f , determinando:
. Os extremos relativos de f ;
. Os pontos de inflexão do gráfico de f ;
. Os intervalos onde f é crescente e aqueles nos quais f é decrescente;
. Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;
Da função x + 2 3 + 2
Legal gente, sem pânico! Temos milhões de coisas pra calcularmos, então vamos ser organizados e dividir tudo em pequenos passos de cada vez. A primeira coisa que a questão nos pede, é que determinemos os extremos relativos de f. Para isso, temos que:
Fazer a primeira derivada e igualar a 0 para achar um c
Fazer a segunda derivada e realizar um teste para determinamos se é um extremo ou mínimo relativo.
Então, nossa função é dada por:
x + 2 3 + 2
Derivando e igualando a 0, temos que:
3 2 + x 2 = 0
Resolvendo essa equação, temos que a raíz é:
x 1 = - 2
Então temos 1 C. Vamo aos testes! A segunda derivada da função é igual a:
6 2 + x
Aplicando x 1 , temos que:
-p/ x 1 :
6 2 - 2 = 0
Para esse caso, pode-se afirmar que não existem nem máximos ou mínimos relativos.
Ufa, primeira parte já foi! Para a segunda parte, precisamos definir o nosso ponto de inflexão. Resumindo, vamos derivar 3 vezes e achar esses pontos? PREPARADOS? SIMBORA!
f ' x = 3 2 + x 2
f ' ' x = 6 2 + x
Neste ponto, igualamos a 0 e temos nossos primeiros candidatos a pontos de inflexão.
6 2 + x = 0
Agora vamos derivar pela terceira vez, se essa derivada for diferente de 0, os nossos candidatos a pontos de inflexão são realmente pontos de inflexão.
f ' ' ' x = 6
Logo, nosso ponto (-2,2) é um ponto de inflexão.
E vamos seguindo o rumo galera! Para determinamos a região aonde a nossa curva cresce e decresce, é bem simples. Derivamos uma vez, achamos os 0 e comparamos os intervalos dos 0. Como assim? Vamos lá.
Para a nossa função, temos que a primeira derivada é igual a
As raízes dessa equação correspondem somente a - 2 .
Então, analisando antes de -2, nossa função fica positiva, indicando crescimento da função. Analisando depois de -2, também nossa função fica positiva, indicando crescimento da função.
Como só temos 1 ponto de inflexão, só temos 1 regiao côncava e outra convexa, respectivamente indo de ( - ∞ , - 2 ) e ( 2 , ∞ ) .