III - Cone Circular Reto ou de Revolução. IV - Pirâmides de Bases Regulares. V- Esfera. esférica. Parte I: Praticando é que se Aprende. - PDF
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Liliana Nobre Pinhal
1 Sólidos Geométricos Área: II reinando para o ENEM/014 Fórmulas dos Sólidos Geométricos I - Prismas Retos 01 III - Cone Circular Reto ou de Revolução Cone equilátero g = R 1 - Prismas Especiais Cuo Paralelepípedo A = A + A t V = AH A = r A = rg A = r + rg (A + A ) r H A V. H IV - Pirâmides de Bases Regulares A = a F A = 4a A = 6a V = a d = a D = a - Prismas de Bases Regulares Base riangular Base Quadrangular A = (a + ac +c) V = ac D = a + + c A = A + A V A. H Base Hexagonal V- Esfera esférica = aresta lateral m = apótema de pirâmide h = altura a = aresta da ase a = apótema da ase Volume: Área da superfície A = Volume: V = 4 r 4 r Parte I: Praticando é que se Aprende A. h 1- (UFMG) Um recipiente sem tampa, cuja ase inferior tem a forma de um triângulo isósceles, foi desdorado na chapa cuja forma se vê na figura. O volume do recipiente era de a A = 4 A ah A = a A = 4aH a A = 6 4 ag A = 6. a) 1600 ) 169 c) 196 d) 4800 II - Cilindro Circular Reto ou de Revolução A = r A = rh A = r + rh A + A V = r h (A. h) B Cilindro Eqüilátero H = R - (UFMG) Corta-se em cada canto de uma placa quadrada de lado a, um quadrado de lado, conforme a figura aaixo. Em seguida, as aas são doradas para cima, ao longo das linhas pontilhadas, formando uma caixa retangular sem tampa, de volume. O valor de a é a) 6 ) 8 c) 9 d) 10
2 Área: II reinando para o ENEM/014 - Uma caixa cúica fechada tem 0 cm de aresta. Saendo-se que a caixa foi toda recoerta de papelão, a quantidade de papelão gasta, em m, foi a) 0,54 ) 5,4 c) 0,6 d),6 4 - A figura a seguir nos mostra uma esfera inscrita num cilindro eqüilátero cuja seção meridiana tem área igual a 6 cm. Podemos afirmar que o volume do líquido que foi colocado no cilindro exterior à superfície esférica, em cm, é igual a a) 6 ) 9 c) 18 d) (Enem) Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente seu corpo, conforme a figura. Suponha que, para fazer medições, que disponha apenas de uma régua milimetrada. Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é: a) 1 ) c) d) 4 e) (Enem/001) Em muitas regiões do estado do Amazonas. O volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões: 5 - Duas esferas de raios m e 4m têm centro no eixo do cone da figura, são tangentes entre si e ao cone. A altura do cone mede a) 51 m 7 6 ) m 7 c) 6 1 m 7 4 d) m I) Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um arante II) O arante é dorado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica. 6- Considerando V 1 o volume do copo 1 e V o volume do copo, é correto afirmar que a) V1 V ) V1 V c) V V1 d) V1 V 4V 7- rês olas metálicas e de mesmo diâmetro, quando jogadas dentro de um tamor cilíndrico cujo raio mede 4 cm, fica totalmente sumersas e fazem o nível da água, no interior do tamor, suir 1 cm. A medida do raio de cada esfera, em centímetros, é III) O valor otido com essa medida é multiplicado Por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira. Outra estimativa pode ser otido pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para a comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de a) 0% ) % c) 15% d) 1% e) 5% GABARIO 1- D - B - A 4- C 5- D 6- D 7- D 8- B 9- D 10- B 11-B -x-x- a) 4 ) 6 c) 8 d) 1 Parte II: Desenvolvendo Hailidades 8- (Enem) Uma fárica produz arras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cuos, com o mesmo volume. As arestas da arra de chocolate no formato de paralelepípedo medem cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cuo é igual a 1-(ENEM/001) Um faricante de rinquedos receeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma aertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros. 11 a) 5 cm. ) 6 cm. c) 1 cm d) 4 cm. e) 5 cm. 9- (Enem/011) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cuo de dentro é vazio. A aresta do cuo maior mede 1 cm e a do cuo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse ojeto foi de a) 1 cm ) 64 cm c) 96 cm d) 116 cm e) 178 cm Os sólidos são faricados nas formas de I. um cone reto de altura 1 cm e raio da ase 1,5 cm.
3 Área: II reinando para o ENEM/014 0 II. um cuo de aresta cm. III. uma esfera de raio 1,5 cm. IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões cm, cm e 4 cm. V. um cilindro reto de altura cm e raio da ase 1 cm. O faricante não aceitou o projeto, pois perceeu que, pela aertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos a) o triplo. ) o doro. c) igual. d) a metade. e) a terça parte. 16- (ENEM/006) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possiilita a navegailidade, suida ou descida de emarcações. No esquema aaixo,está representada a descida de uma emarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante. a) I, II e III. ) I, II e V. c) I, II, IV e V. d) II, III, IV e V. e) III, IV e V. 1- (ENEM/00) Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 0 cm x 0 cm x 0 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de loco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é: a)9 )11 c)1 d)15 e) (ENEM/005) Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da oca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras. A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 00 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de 4.00 m por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma emarcação leva cerca de a) minutos. ) 5 minutos. c) 11 minutos. d) 16 minutos. e) 1 minutos. Representando por V1, V e V o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se a) V1 = V = V ) V1 < V < V c) V1 = V < V d) V < V1 < V e) V1 < V = V 15- (ENEM/006) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 0 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras aaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. 17-(ENEM 007) Representar ojetos tridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher ( ) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como ojetos tridimensionais, a exemplo da litografia Belvedere, reproduzida aaixo. Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo tridimensional real? Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II,será
4 Área: II reinando para o ENEM/ ( ENEM/007) A diversidade de formas geométricas espaciais criadas pelo homem, ao mesmo tempo em que traz enefícios, causa dificuldades em algumas situações. Suponha, por exemplo, que um cozinheiro precise utilizar exatamente 100 ml de azeite de uma lata que contenha 1.00 ml e queira guardar o restante do azeite em duas garrafas com capacidade para 500 ml e 800 ml cada, deixando cheia a garrafa maior. Considere que ele não disponha de instrumento de medida e decida resolver o prolema utilizando apenas a lata e as duas garrafas. As etapas do procedimento utilizado por ele estão ilustradas nas figuras a seguir, tendo sido omitida a 5ª etapa (ENEM/009) Uma empresa que farica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cuo, para transportá-las. Saendo que a capacidade da caixa e de 1.84 cm, então o numero máximo de esferas que podem ser trans - portadas em uma caixa e igual a a) 4. ) 8. c) 16. d) 4. e). 1- (ENEM/009) Uma farica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da ase. Essas velas são formadas por 4 locos de mesma altura troncos de pirâmide de ases paralelas e 1 pirâmide na parte superior, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a ase superior de cada loco e igual a ase inferior do loco soreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada loco, unindo-os, conforme a figura. Qual das situações ilustradas a seguir corresponde à 5ª etapa do procedimento? Se o dono da farica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na ase, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para faricar uma vela? a) 156 cm. ) 189 cm. c) 19 cm. d) 16 cm. e) 540 cm. - (ENEM/009) Um artesão construiu pecas de artesanato interceptando uma pirâmide de ase quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes pecas que poderia oter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? 19- (ENEM/008) A figura ao lado mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para aastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas aastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação, a) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m. ) a altura do nível da água que sorou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm. c) a quantidade de água economizada seria suficiente para aastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros. d) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 00,00, se o custo de 1 m de água para o consumidor fosse igual a R$,50. e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da ase 10% menor que o representado, teria água suficiente para aastecer todas as casas. a) Uma pirâmide de ase quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. ) Uma pirâmide de ase quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. c) Uma pirâmide de ase quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano e um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono otido nessa interseção tem 5 lados. d) O número de lados de qualquer polígono otido como interseção de uma pirâmide com um plano e igual ao numero de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. e) O numero de lados de qualquer polígono otido interceptando-se uma pirâmide por um plano e igual ao numero de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados - (ENEM/010) Alguns testes de preferência por eedouros de água foram realizados com ovinos, envolvendo três tipos de eedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os eedouros 1 e tem a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da ase superior igual a 10 cm e 60 cm, respectivamente. O eedouro e um semicilindro, com 0
5 Área: II reinando para o ENEM/ cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura. encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, tamém cilíndricos. Com o ojetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá A escolha do eedouro. In: Biotemas. V., no. 4, 009 (adaptado). Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o eedouro? ENEM a) encher a leiteira ate a metade, pois ela tem um volume 0 ) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 0 c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume (ENEM/010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 0 cm de espessura. Supondo que cada metro cúico de concreto custe R$ 10,00 e tomando,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha e igual a a) R$ 0,40. ) R$ 14,00. c) R$104,16. d) R$ 54,56. e) R$ 49, (ENEM/010) Uma fárica produz arras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cuos, com o mesmo volume. As arestas da arra de chocolate no formato de paralelepípedo medem cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que tem o formato de cuo é igual a a) 5 cm. ) 6 cm. c) 1 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 5- (ENEM/010) A siderúrgica Metal Nore produz diversos ojetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peca feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue. O produto das três dimensões indicadas na peca resultaria na medida da grandeza 8- (ENEM/010) Uma empresa vende tanques de comustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque e diretamente proporcional a medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de comustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúico de capacidade de armazenamento. Qual dos tanques devera ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π ) a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/. ) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/. c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de /4. d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de /. e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/1. 9- (ENEM/010) Uma metalúrgica receeu uma encomenda para faricar, em grande quantidade, uma peca com o formato de um prisma reto com ase triangular, cujas dimensões da ase são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura e 10 cm. al peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura. a) massa. ) volume. c) superfície. d) capacidade. e) comprimento 6-(ENEM/010) Dona Maria, diarista na casa da família eixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se
6 O raio da perfuração da peca e igual a Área: II reinando para o ENEM/ (ENEM/01) Maria quer inovar em sua loja de emalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. a) 1 cm. ) cm. c) cm d) 4 cm. e) 5 cm. 0-(ENEM/011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e oservá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair eija-flores, Mas é importante saer que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, tamém pode manter o ico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair eija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro, A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = ) a) 0 ml. ) 4 ml. c) 100 ml. d) 10 ml. e) 600 ml. 1-(ENEM/011) Uma indústria farica rindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é otida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cuo. No esquema, estão indicados o sólido original (cuo) e a pirâmide otida a partir dele. Quais serão os sólidos geométricos que Maria oterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de ase pentagonal e pirâmide. ) Cone, prisma de ase pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 4- (ENEM/01) Alguns ojetos, durante a sua faricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fárica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um ojeto cujo volume fosse de 400 cm? Os pontos A, B, C, D e O do cuo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cuo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas,, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos descartados são a) todos iguais. ) todos diferentes. c) três iguais e um diferente. d) apenas dois iguais. e) iguais dois a dois. -(ENEM/011) A figura seguinte mostra um modelo de somrinha muito usado em países orientais. a) O nível suiria 0, cm, fazendo a água ficar com 0, cm de altura. ) O nível suiria 1 cm, fazendo a água ficar com 1 cm de altura. c) O nível suiria cm, fazendo a água ficar com cm de altura. d) O nível suiria 8 cm, fazendo a água transordar. e) O nível suiria 0 cm, fazendo a água transordar. 5- (ENEM/01) A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura () e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga. Disponível em: Acesso em: 1 maio 010. BUSHAW, D. et al. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. ) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone.
7 Área: II reinando para o ENEM/ (ENEM/01) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da ase da pirâmide. GABARIO 1-C 1-C 14-B 15-B 16-D 17-E 18-D 19-B 0-B 1-B -C -E 4-B 5-B 6-A 7-D 8-D 9-B 0-D 1-E -E -A 4-C 5-A 6-C O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é a) d) ) e) c)