Aplicação da Transformada de Fourier no processamento digital de imagens
Alexander Kreuger | comentários
Aracaju- Se, novembro de 1999. e-mail: jfonseca@sergipe.com.br
Resumo - Este trabalho apresenta a aplicabilidade da Transformada de Fourier no processamento de imagens. Faz-se um estudo simplificado do desenvolvimento matemático de Fourier para funções ou sinais: contínuos ou discretizados em uma ou duas dimensões, periódicos ou não, apresentando e provando algumas de suas propriedades importantes.
Abstract -This paper presents the aplicability of Fourier Transform in the image processing. A simplified study of Fourier's mathematical development for functions or signals: continuous or discretes in one or two dimensions, periodicals or not by showing and demonstrating some importants properties.
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Sumário: · Transformada de Fourier:
1. Sinais contínuos periódicos unidemensionais; 2. Sinais contínuos não periódicos unidimensionais; 3. Sinais contínuos periódicos bi-dimensionais; 4. Sinais contínuos não periódicos bi-dimensionais; 5. Sinais discretos periódicos unidimensionais; 6. Sinais discretos não periódicos unidimensionais; 7. Sinais discretos periódicos bi-dimensionais; 8. Sinais discretos não periódicos bi-dimensionais;
• Teorema da convolução: 1. Convolução no tempo de dois sinais contínuos unidimensional;
2. Convolução na freqüência de dois sinais contínuos unidimensional; 3. Convolução de sinais discretos unidimensionais; 4. Convolução de sinais contínuos bi-dimensionais; 5. Convolução de sinais discretos bi-dimensionais;
1. Correlação cruzada entre sinais contínuos unidimensionais; 2. Correlação cruzada entre sinais discretos unidimensionais; 3. Correlação cruzada entre sinais contínuos bi-dimensionais; 4. Correlação cruzada entre sinais discretos bi-dimensionais;
O interesse em métodos de processamento digital de imagens vem principalmente de duas áreas de aplicações: melhoria de informação (imagem) para interpretação humana, e processamento de dados (imagens) em computador, e vem crescendo com aplicações no Programa Espacial, na Medicina, Arqueologia, Física, Astronomia, Biologia, Indústria etc.
O termo imagem refere-se a uma função de intensidade de luz bi-dimensional f(x,y), onde x e y são coordenadas espaciais e o valor de f em um ponto qualquer (x,y) é proporcional ao brilho ou nível de cinza da imagem naquele ponto. Uma imagem digital é uma imagem f(x,y) discretizada no espaço e na intensidade de brilho e pode ser considerada uma matriz, cujos elementos são chamados de "pixels" ("picture elements").
A Transformada de Discreta de Fourier Bi-dimensional (Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático francês - 1768 a 1830) é uma ferramenta matemática de grande aplicabilidade na solução dos problemas de processamento digital de imagens (sinais bi-dimensionais) pois, muitas vezes, é conveniente a mudança do domínio do tempo ou espaço (x,y) para o domínio da freqüência facilitando, assim, o seu processamento.
Na prática, quando queremos trabalhar uma imagem no domínio da freqüência, por exemplo, simplesmente fazemos a transformada de Fourier da referida imagem e a multiplicamos pela função de transferência de um filtro (convenientemente de acordo com a aplicação)no entanto, muitas vezes, é mais simples "zerarmos" os coeficientes das componentes de freqüência que queremos filtrar e tomamos, em seguida, em ambos os casos, a transformada inversa obtendo, assim, a imagem filtrada (processada).
Quando zeramos os coeficientes da transformada de Fourier a partir de um certo valor, obtemos um filtro passa-baixa, ou até um certo valor, temos um filtro passa-alta, ou entre dois valores de freqüência, um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa.
I - Série e Transformada de Fourier de Sinais Contínuos: 1-D e 2-D.
Esta ferramenta matemática é muito aplicada no processamento de sinais analógicos periódicos ou não, como apresentado nas seções 2.1, 2.2, 2.3.
Seja uma função periódica f(t) de período T, podemos representá-la pela Série de Fourier no intervalo (-¥,¥); ou seja , podemos decompor f(t) em componentes senoidais e cossenoidais (ou exponenciais):
¥ åejnwot ,(1)
T f(t) to+T ò e-jnwot dt ,(2) o período de f(t) é T = wp o 2
, wo = 2pfo é a freqüência fundamental em rad/s e fo é a freqüência fundamental
n = 0, –1, –2, , – ¥.
em Hz;
Para encontrar a expressão de Fn, basta multiplicar ambos os lados da equação (1) por e-jnwot e integrar no tempo (período):
¥ åejnwot ,temos
òf(t) e-jnwot dt = Fn n=-¥ å to to T+ ò ejnwot e-jnwot dt
òf(t) e-jnwot dt = Fn n=-¥ å to
òf(t) e-jnwot dt = Fn T, logo
T f(t) to+T ò e-jnwot dt
Portanto, a expansão de uma função periódica em série de Fourier equivale a decomposição da função em termos de suas componentes de várias freqüências ou seja, um sinal periódico apresenta um espectro de freqüência discreto e infinito. O espectro de freqüência discreto aparece em um gráfico como linhas verticais espaçadas, com alturas proporcionais ao coeficiente da componente de freqüência (Fn) correspondente. No entanto, se formos rigorosos, necessitamos de dois gráficos para representar, completamente, uma função periódica no domínio da freqüência: o espectro e amplitude e o espectro de fase; visto que, os coeficientes Fns, normalmente, são complexos.
2.2 - A transformada de Fourier de uma função periódica
Matematicamente, a transformada de Fourier de uma função periódica não existe, uma vez que não satisfaz a condição de integrabilidade absoluta no intervalo (-¥, ¥) (condição suficiente, mas não necessária). Porém, a transformada existe no limite, ou seja a transformada de Fourier de uma função periódica é a soma das transformadas da Fourier das suas componentes individuais, obtidas pela sua série de Fourier. Seja a série de Fourier de f(t), periódica em T:
åejnwot , onde wo = 2 T p rad. Tomando a transformada de Fourier em ambos os lados, temos:
¥ å ejnwot]
¥ å[ejnwot], como, [3], [ejnwot] = 2pd(w - wo), obtem-se:
[f(t)] = 2pFn ( - n o)dww -¥
A transformada de Fourier de um sinal periódico é formada por impulsos localizados nas freqüências harmônicas do sinal e que o peso de cada impulso é 2p vezes o valor do coeficiente na série exponencial de Fourier (Equação 2).
A transformada de Fourier, F(u), é a decomposição do sinal, f(x), de energia finita (não periódico) em termos de sinais senoidais e cossenoidais (ou exponenciais).
F(u) = f(x) -¥
¥ òe-j2pux dx , (4)
5 onde x e u são variáveis independentes nos domínios do espaço e freqüência respectivamente.
F(u) = ÷F(u) ÷ ejf(u)
Neste caso, o espectro é contínuo e existe para todos os valores de freqüência, -¥<u<¥. A transformada inversa é:
f(x) = F(u) -¥
¥ òej2pux du(5)
Portanto, representamos uma função arbitrária f(x) em termos de funções exponenciais em todo o intervalo (-¥< x < ¥).
Observação: Quando a função é temporal (x = t) e a variável independente de freqüência é dada em rad/s (u =
¥ òejwt dw,
o fator 2p na equação acima pode ser removido se a integração for realizada em função da freqüência em Hz ao invés de w: w = 2pf, dw = 2pdf, logo f(t) = 1
¥ òej2pft 2p df
¥ òej2pft df
As equações apresentadas acima são normalmente conhecidas como par de transformadas de
Fourier. A Equação 4 é conhecida como transformada direta de Fourier de f(x) enquanto, a Equação 5 é conhecida como transformada inversa de Fourier de F(u).
2.4 - Transformada de Fourier de uma Função Contínua 2-D
A Transformada de Fourier [1], [2] pode ser estendida para uma função de duas variáveis f(x,y). Se f(x,y) é contínua e apresenta a condição de integrabilidade então, temos o par de transformadas:
F(u,v) = f(x,y)
f(x,y) = F(u,v)
onde "u" e "v" são variáveis independentes de freqüência.
Para o caso de uma dimensão, temos, também, o espectro de amplitude, fase e potência, e como, normalmente F(u,v) é complexa, temos:
F(u,v) = R(u,v) +jI(u,v) • Espectro de Amplitude
F(u,v) = [R2(u,v) + I2(u,v)]1/2 , onde R(u,v) é a parte real e I(u,v) é a parte imaginária.
f(u,v) = tg-1I(u,v)
R(u,v)Ø º
• Espectro de Potência P(u,v) = F(u,v)2 = R2(u,v) + I2(u,v)
I - Sinais Discretizados: 1-D
A representação de uma seqüência periódica pela Série Discreta de Fourier, DFS 1-D, e a representação de uma seqüência não periódica pela Transformada Discreta de Fourier, DFT 1-D, são ferramentas matemáticas de grande utilidade no processamento de sinais digitais, como apresentado nas seções 3.1, 3.2.
Seja uma seqüência periódica f(x) = {xo, x1, , xN-1}, com período N, tal que f(x) = F(x+kN),
3.1 - Representação de uma Seqüência Periódica em Série Discreta de Fourier onde k é um número inteiro. Podemos representar f(x) em termos da Série Discreta de Fourier.
Diferentemente à série de Fourier para funções contínuas e periódicas, uma seqüência periódica apresenta somente N exponenciais complexas. Isso ocorre devido a periodicidade da função ej2pkx/N em k com período N:
Seja: ek(x) = ej2pxk/N , temos que e0(x) = eN(x), e1(x) = eN+1(x) , pois para k =0:
e0(x) = e0 = 1; para k = N:
eN(x) = ej2pxN/N = ej2px = cos (2px) + j sin (2px) , para qualquer valor de x cos (2px) = 1 e sin (2px) = 0. Logo:
e0(x) = eN(x).
Para k = 1: e1(x) = ej2px/N , para k = N+1:
eN+1(x) = ej2px(N+1)/N = ej2px . ej2px/N , como já vimos o termo ej2px é sempre igual a unidade para qualquer valor de x inteiro. Logo:
e1(x) = eN+1(x) Assim, f(x) = F u
1 ej(2pux/N) , (8)
x = 0,1,2, , N-1 (número de amostras);
u = 0,1,2, ..., N-1 (variável independente de freqüência);
As Equações 8 e 9 são o par de transformadas para representação de uma Série Discreta de Fourier (DFS 1-D), onde F(u) e f(x) são periódicas de período N.
Nós podemos encontrar a expressão de F(u) da seguinte forma: multiplicamos ambos os lados da equação 8 por e-j2pxu/N e efetuamos o somatório em x [0, N-1].
f(x) e-j(2pux/N) = xN=
1 ej(2pux/N) e-j(2pux/N) , permutando os somatórios
f(x) e-j(2pux/N) = F u
1 ej(2pux/N) e-j(2pux/N) , usando a propriedade dos somatórios: K
= KN, onde K é uma constante, e o somatório
representa a seqüência periódica dos coeficientes da série de Fourier: F(0), F(1), F(2), , F(N-1),
1 denotada por F(u). Temos, então:
1 f(x) e-j(2pux/N) = F(u) N,
1 f(x) e-j(2pux/N) = F(u)
3.2 - Representação de uma Seqüência de Duração Finita (não periódica) 1-D, Transformada Discreta de Fourier (DFT -1D)
Seja uma seqüência de duração finita g(x) de comprimento N, tal que g(x) = 0 fora do intervalo 0£ x £ N-1.
Para facilidade de análise, vamos considerar que g(x) é um período da seqüência periódica f(x) apresentada no item 3.1, temos:
onde "r" é um número inteiro.
A seqüência de duração finita, g(x), pode ser obtida da seqüência periódica f(x) pela extração de um período:
g(x) = f(x), 0xN-1
Por conveniência matemática, definimos uma seqüência retangular RN(x) tal que:
Assim, podemos expressar a seqüência finita g(x0 da seguinte forma:
g(x) = f(x)RN(x)
Como já definido, os coeficientes, F(u), da DFS e a seqüência periódica, f(x), são periódicos com período N.
Denotando por G(u) os coeficientes de Fourier para a seqüência finita g(x), temos: G(u) = F(u)RN(u), como:
N f(x) xN=
1 e-j(2pux/N) , e f(x) = F(u) uN=
1 ej(2pux/N) , temos o par de Transformadas Discretas de Fourier: DFT 1-D
N g(x) exp(-j2 ux/N) , 0uN-1
• g(x) = G u
0 (1) onde "u" e "x" = 0,1,2,..., N-1
Observação: é importante ter em mente que sempre consideramos uma seqüência aperiódica como sendo um período de uma seqüência periódica e a partir daí, efetuamos os cálculos para encontrar os coeficientes de Fourier (DFT).
IV - Transformada Discreta de Fourier Bi-Dimensional
Esta ferramenta matemática é muito empregada no processamento de imagens e sinais bidimensionais, pela computação da convolução para filtragem; realce, restauração, decodificação etc.
4.1 - Série Discreta de Fourier Bi-Dimensional (DFS - 2D)
Seja uma seqüência periódica bi-dimensional f(x,y) = f(x+qM, y+rN), onde "M" é o período das linhas, "N" é o período das colunas e "q" e "r" são números inteiros que podem ser positivos ou negativos.
A seqüência f(x,y) tem sua representação em série de Fourier como uma soma finita de exponenciais complexas, de seguinte maneira:
f(x,y) =F(u,v) vNuM =-=
1 ej2p (ux/M + vy/N)(12)
F(u,v) = 1
MN f(x,y)
1 e-j2p (ux/M + vy/N)(13) onde, F(u,v) e f(x,y) têm a mesma periodicidade; "u" e "x" = 0,1,2,..., M-1; "v" e "y" = 0,1,2,..., N-1.
4.2 - Transformada Bi-Dimensional Discreta de Fourier (DFT -2D)
Vamos, aqui, aplicar a mesma interpretação dado no caso da Tansformada em uma dimensão; ou seja, uma seqüência de duração finita é considerada como sendo um período da seqüência periódica correspondente.
Uma seqüência bi-dimensional não periódica g(x,y) que é zero fora do intervalo 0£ x £ M-1, 0£ y £ N-1 é referida como uma seqüência de área finita. Analogamente a discussão do item anterior, temos:
G(u,v) = F(u,v)RN(u,v), g(x,y) = f(x,y)RN(x,y), como
G(u,v) = 1
å (14) g(x,y) =ì í
G vNu
Observação, uma opção para implantação de DFT 2-D é utilizar uma DFT 1-D para as linhas e
DFT 1-D para as colunas e vice-versa. A mesma interpretação é dada para o caso da DFT 2-D inversa (propriedade da separabilidade, seção 5.1).
V - Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier
Temos duas maneiras de representar uma mesma função ou sinal: uma representação no domínio do tempo ou do espaço e outra no domínio da freqüência.
A representação de um sinal no domínio do tempo está presente, naturalmente, no nosso dia a dia. Contudo, certas operações, principalmente na engenharia, tornam-se muito mais simples e esclarecedoras se trabalharmos no domínio da freqüência, domínio este, conseguido através das Transformadas de Fourier.
É muito importante observar o que ocorre em um domínio, quando efetuamos certas operações no outro domínio.
Segundo [2], muitas propriedades das Transformadas de Fourier discutidas em uma dimensão podem ser estendidas para sinais multi-dimensionais. Por isso, vamos demonstrar algumas propriedades das Transformadas em 1D e estender os resultados ao caso bi-dimensional, que nos interessa no momento.
5.1 - Separabilidade
Esta propriedade nos mostra que o par de transformadas F(u,v) e f(x,y) pode ser obtido em dois passos separados, considerando-se duas operações 1D. Em outras palavras, a função bi-dimensional F(u,v) é obtida pela transformação em cada linha de f(x,y) e o resultado é multiplicado pelo número total das mesmas, M, obtendo-se F(x,v). F(u,v) é obtida, agora, transformando-se F(x,v) coluna por coluna.
Demonstação:
Seja o gráfico representando uma imagem: temos que:
ej2p (ux/M + vy/N) , onde x, y = 0,1, , N-1
MN f x y yNx
e-j2p (ux/M + vy/N) , onde u,v = 0,1, , M-1
Podemos desdobrar F(u,v) em duas operações:
F(x,v) = [f(x,y)œx=cte], operação sobre as linhas.
F(u,v) = [F(x,v)œy=cte], operação sobre as colunas. Primeiramente, efetuando a transformação sobre as linhas de f(x,y):
F(x,v) = M Ø f(x,y)å =
-e-j2pyv/N e-j2pux/M
x=cte
F(x,v) = f x y
åe-j2pvy/N x j ux M =
2exp(/)p
1 x=cte
F(x,v) =
-åf(x,y) e-j2pyv/N
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