Física Moderna | O átomo de Hidrogênio | e-física
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Determinando o comportamento assintótico
As soluções da equação radial
Algumas propriedades do átomo de hidrogênio
O núcleo do átomo de hidrogênio é cerca de 2000 vezes mais pesado do que um elétron. Por isso se pode ignorar o movimento do núcleo e descrever o átomo simplesmente como um elétron movendo-se com energia potencial . A Eq.(335) é então escrita
Note-se que esta equação descreve mais do que o átomo de hidrogênio: a interação de um elétron com um campo coulombiano possui também casos em que o elétron não permanece nas proximidades do núcleo, mas afasta-se indefinidamente dele: trata-se do espalhamento de um elétron por um campo coulombiano. Aqui vamos estudar apenas os estados ligados do elétron: aqueles em que ele está preso ao núcleo, formando um átomo. O que caracteriza esses estados, na Eq.(336), é que eles possuem energia negativa. Portanto, estudaremos as soluções do problema de autovalores dado pela Eq.(336), com , e, portanto, .
É conveniente introduzir variáveis adimensionais. Substituiremos por
e a energia , ou, antes, o seu inverso, por
Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que, efetivamente, e são quantidades adimensionais. Verifica-se facilmente que
e que a Eq.(336) pode ser reescrita como
Resolver este problema de autovalores consiste em determinar os pares submetidos à condição de que
que corresponde ao fato de que o átomo tem dimensões finitas.
Para resolver este problema utilizaremos uma técnica devida a Sommerfeld. Em primeiro lugar, estudaremos que tipos de comportamento assintótico, para grande, as soluções de Eq.(340) podem ter. Note-se que a equação
coincide com a Eq.(340) para grandes valores de . Podemos, portanto, afirmar que as soluções de Eq.(341) devem coincidir com o limite, para grandes , das soluções da Eq.(340).
e vamos multiplicar cada um de seus termos por , obtendo
O leitor verificará facilmente que esta equação é a mesma que
onde é uma constante. Mas tanto quanto as suas derivadas tendem a zero no infinito. Logo, a constante deve ser nula, pois, calculada no infinito é nula, e tem o mesmo valor em todos os pontos. Conseqüentemente,
As soluções dessas equações são
das quais a que satisfaz os requisitos físicos de se anular no infinito é
Este é, então, o comportamento assintótico que as soluções da Eq.(340) devem ter.
Vamos então procurar soluções da Eq.(340) da forma
sendo um polinômio em . A razão de ser um polinômio é que o comportamento assintótico de (349) deve ainda ser dado pelo termo exponencial, o que é garantido se for um polinômio. Uma análise mais fina mostraria que, se se admitisse que fosse uma série infinita, sua soma seria essencialmente uma exponencial em , alterando o comportamento assintótico.20
Seja uma expressão da forma
onde a potência mais baixa é a primeira para assegurar que
Derivando termo a termo, temos
Inserindo estas expressões na Eq.(350), temos
O coeficiente da potência de é dado por
para que a equação diferencial seja satisfeita termo a termo. Diminuindo o valorde de uma unidade, temos uma relação mais conveniente:
Para os índices mais baixos temos as equações
A equação (354) é muito importante. Dela vemos que, para que a série se interrompa em algum ponto, tornando-se um polinômio, devemos ter que . Ora, os são inteiros, logo, a condição para que a série se interrompa é que exista um inteiro tal que
ou, eqüivalentemente,
que é a fórmula de Bohr! Voltando ao cálculo das autofunções, além da condição , devemos ter que , de outra forma, na equação (354), o denominador se anularia ao mesmo tempo que o numerador, não garantindo o anulamento do coeficiente . Portanto devemos ter .
Vamos construir as primeiras soluções. Tomemos A este valor corresponde a energia
que é a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio (o de energia mais baixa). Para este valor de podemos ter , mas não . Então, das equações
temos Que é indeterminado, e , assim como os coeficientes de índice mais alto. Temos então, para a solução,
Em termos de , usando
e introduzindo
denominado raio de Bohr, obtemos, após cálculos simples,
Para o estado fundamental, temos, então,
que é também a função completa, pois é constante.
Para temos as possibilidades e . Para o primeiro caso, temos, novamente, indeterminado. Para , usamos a equação (353), que dá
A solução então é
Expressando em termos de , obtemos
onde usamos a notação tradicional para os autoestados do átomo de hidrogênio: . O leitor, neste ponto, deveria ser capaz de mostrar que
No segundo caso, ,vemos, da Eq.(355), que
enquanto é indeterminado. , assim como os índices mais altos. Logo,
A expressão em termos de vem a ser
Como vimos, a função radial fica definida quando se dão os valores de e . Por isso ela é denotada por . Para o caso de a dependência angular não é trivial, pois temos
que, nesse caso dá
com podendo tomar os valores 1, 0, e -1.
Note que a energia fica totalmente determinada por . Então, exceto pelo estado fundamental, a cada nível de energia correspondem mais de um estado do sistema. O espectro é dito degenerado (no bom sentido!). Considere, por exemplo, o nível de energia com . Podemos ter , que dá um único estado, ou , que admite 3 valores de . No total, então, há 4 estados neste nível de energia . Diz-se que o grau de degenerescência é 4. É fácil provar que o grau de degenerescência do nível é . O numero quântico é denominado número quântico principal.
A seguir apresentamos uma lista das partes radiais de algumas funções de onda do átomo de hidrogênio.
Até agora escrevemos as funções de onda assim:
Como determinar a constante ? Uma vez que os harmônicos esféricos são normalizados por conta própria, pois
Exemplo: para o estado ,
confirmando o valor da tabela.
De posse da expressão detalhada da função de onda, podemos fazer perguntas interessantes. Qual é a probabilidade de o elétron estar, no estado fundamental do átomo de hidrogênio, entre e ? Ela é dada por
Para que valor de a probabilidade é máxima (para idênticos )? No ponto de máximo, teremos
Logo, para o átomo de hidrogênio ( ), temos que a probabilidade máxima é para , o raio de Bohr!21
Vamos calcular agora a velocidade média do elétron no estado fundamental.
Usando e , obtemos
onde usamos . Como
temos que o valor médio da componente da velocidade do elétron no estado fundamental é 0. Como o estado é esfericamente simétrico, o mesmo resultado deve valer para as outras componentes. Logo,
Isto posto, podemos dizer que e elétron está em repouso, no estado fundamental? Certamente não! Em qualquer modêlo clássico com órbita circular (qualquer órbita fechada, de fato) o elétron está em movimento e sua velocidade média é zero. Para obter mais informações sobre o que o elétron faz no estado fundamental do átomo de hidrogênio, vamos calcular sua energia cinética média. Ela é dada por:
Usando as integrais
obtemos o resultado, para ,
Logo, o elétron não está parado. E nem poderia: se tivesse momento perfeitamente definido (no caso, nulo), sua posição teria de ser totalmente indefinida, pelo princípio da incerteza. Como a incerteza na posição é da ordem de e, da Eq.(382), vemos que a incerteza no momento é da ordem de , vemos que o produto das incerteza é da ordem de . Ou seja, o elétron tem o mínimo movimento exigido pelo princípio de incerteza. Está tão parado quanto é possível!
1. Os estados estacionários do átomo de Hidrogênio são denotados por . A seguinte superposição:
com , , , é um estado do Hidrogênio, que não é um estado estacionário, e não é autofunção nem de nem de . Dentro deste estilo, construa
(a) Um estado do Hidrogênio que seja autofunção simultanea de e , mas não de .
(b) Um estado do Hidrogênio que seja autofunção simultânea de e , mas não de .
2. Uma partícula livre executa movimento unidimensional ao longo do eixo , e sua função de onda em é
onde é uma constante real. Determine .
3.(a) Um sistema físico é descrito por um hamiltoniano
onde é hermiteano. Mostre que é hermiteano, e que se um operador é hermiteano, seu quadrado também é. Finalmente, mostre que os autovalores da energia do sistema são positivos ou nulos.
(b) É possível um operador ser ao mesmo tempo unitário e hermiteano? Exemplo!
(c) Demonstre que .
(d) Demonstre que, se e são hermiteanos, também é.
(e) Sejam e nulos. Mostre que , onde , o operador ``zero'', é tal que, qualquer que seja a função de onda ,
Sugestão: identidade de Jacobi.
4.(a) Determine e para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio. Expresse suas respostas em termos do raio de Bohr . Determine também , que é o raio da ``órbita de Bohr'' do estado de mais baixa energia , no modelo de Bohr.
(b)Determine e no estado fundamental sem calcular mais integrais, usando o resultado anterior e as simetrias do estado fundamental.
(c) Determine no estado . Note que este estado não é simétrico em .
5. Qual é a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo?
(a)Primeiro calcule a resposta exata. Denote o raio do núcleo por .
(b) Expanda o seu resultado como uma série de potências no número pequeno , e mostre que o termo de ordem mais baixa é cúbico: . Este termo deveria já ser uma boa aproximação, pois .
(c) Alternativamente, poderíamos pensar que a função de onda do elétron é essencialmente constante sobre o pequeno volume do núcleo, de modo que . Verifique que o resultado é efetivamente bom.
(d) Use cm e cm para uma estimativa numérica de . Grosso modo, isto representa a fração do tempo em que o elétron se encontra dentro do núcleo.
6. Estime, a partir do princípio de incerteza, quanto tempo um lápis pode ficar em equilíbrio vertical sobre a sua ponta.
7. Uma bola perfeitamente elástica, localizada entre duas paredes paralelas, move-se perpendicularmente a elas, sendo refletida de uma para outra. Perfeitamente elástica quer dizer que a energia cinética não se altera.. Usando a mecânica clássica, calcule a variação da energia da bola se as paredes passam a se aproximar, lenta e uniformemente, uma da outra. Mostre que esta variação de energia é exatamente o que se obtém na mecânica quântica se o número quântico principal da bola permanece constante.