7º CADERNO DO ANULO - VOLUME 2
Observação: As questões a seguir são questões do Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o "ideal" é você ter em mãos do Caderno o Aluno Volume 2 Ano 2020.
"Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo"
ATIVIDADE 1 – COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
O retângulo está dividido em 40 quadradinhos, logo 25 x 40 = 16 quadradinhos. O nome ANA CRISTINA (com espaço) ocupou 12 quadradinhos, logo, sobraram 4 quadradinhos. Considerando um espaço, sobram três quadradinhos para escrever o sobrenome.
b) Qual é o possível sobrenome de Ana Cristina, atendendo aos critérios do procedimento?
Resposta será pessoal.
1.2 Felipe recebeu duas propostas para vender sorvete em um evento que aconteceria no dia aniversário de sua cidade. Leia com atenção as dus propostas descritas abaixo e responda o que se pede:
Escreva as propostas em forma de fração (razão) e compare-as. Na sua opinião, qual proposta é mais vantajosa financeiramente? Por quê?
Uma outra solução seria a de simplificar as duas frações, obtendo respectivamente 1 6 𝑒 1 5 . Assim, você poderia fazer a discussão chamando a atenção de que mesmo que não tenham o mesmo denominador, as frações são facilmente comparáveis.
1.3 Usando os sinais < (menor que), > (maior que) ou =(igual), compare as frações a seguir:
a) 2/3 > 1/5
c) 2/5 > 1/7
d) 1/4 < 3/4
e) 2/7 < 5/7
f) 3/6 = 4/8
1.4 Descreva os procedimentos que você utilizou para fazer a comparação entre as frações.
Para comparar duas frações, é necessário que elas estejam representadas com o mesmo denominador. Isso significa que as frações consideradas são partes de inteiros que foram todos divididos da mesma forma. Essa representação é obtida por meio da equivalência de frações.
É importante discutir com os estudantes o fato de que existem outras possibilidades que podem ser mais adequadas, fazendo uma análise das frações dadas antes de escolher o procedimento para comparar as frações. Uma boa discussão seria questionar os estudantes sobre a seguinte situação: vocês preferem ganhar 2/3 de chocolate ou 1/5? Por quê? Ou preferem 1/3 ou 1/5? Explorar essas frações é uma forma de mostrar que o procedimento para representar as frações no mesmo denominador deve ser utilizado quando, de fato, os estudantes tiverem dificuldade para comparar as frações. Se tiverem o mesmo denominador, eles conseguirão fazer a comparação de forma mais fácil; do contrário, outras estratégias podem facilitar essa comparação.
1.5 Junte-se a um colega e escrevam os procedimentos para comparar frações nos seguintes casos:
a) Frações com denominadores iguais.
Quando os denominadores forem iguais, comparamos os numeradores.
b) Frações com denominadores diferentes.
É conveniente que as frações estejam representadas com o mesmo denominador quando a comparação for mais complexa, considerando a quantidade que ela representa. Caso a comparação não seja tão complexa, os estudantes podem apresentar outras estratégias.
1.6 O fluxograma a seguir mostra o passo a passo para comparar frações com denominadores iguais. Complete os comandos não preenchidos:
1.7 Agora, faça um fluxograma com o passo a passo para comparar frações com denominadores diferentes.
ATIVIDADE 2 – PROBLEMAS DE RAZÃO ENTRE PARTES DE UMA GRANDEZA
2.1 Um segmento de reta de 28 cm foi dividido em dois segmentos na razão 34 . Quantos centímetros tem cada segmento obtido após a divisão?
3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16
Podemos concluir que o segmento de reta foi dividido da seguinte maneira: 12 cm e 16 cm, pois 12 cm +16 cm = 28 cm.
2.2 Em uma classe há 35 alunos e sabe-se que a razão entre o número de meninas e o número de meninos é 23. Qual é o número de meninos dessa classe?
O número de meninos é igual 21.
2.3 Ao confeccionar um colar Adriana, pensou na razão 45 entre o número de bolinhas brancas e bolinhas laranja. Quantas bolinhas brancas e laranja Adriana vai utilizar para fazer um colar com 180 bolinhas?
O número de bolinhas brancas é 80 e o de bolinhas laranjas é 100.
2.4 O lucro de 15 mil reais foi dividido entre dois sócios. Porém, o primeiro sócio recebeu o dobro do segundo sócio, uma vez que gastou o dobro para montar o negócio. Calcule que parte do lucro coube à cada um dos sócios.
ATIVIDADE 3 – FLUXOGRAMA E PASSOS DE UM GRUPO DE PROBLEMAS
3.1 O fluxograma abaixo descreve o procedimento para a resolução do problema a seguir:
"Para aparar 2/3 da grama do jardim de sua casa, Ruan gastou 30 minutos. Continuando neste ritmo, quanto tempo demorará para aparar todo o jardim?"
Continuando nesse ritmo, Ruan levará 45 minutos para aparar todo o jardim.
3.2 Escreva um texto explicando o procedimento organizado no fluxograma.
Para esta atividade, o estudante irá interpretar os passos do fluxograma e compreender o que está descrito, por isso a descrição da resposta será pessoal.
3.3 Utilizando um fluxograma, represente os procedimentos para resolver o problema abaixo:
"Vanessa saiu para viajar com a família e, em determinado momento, perguntou quanto faltava para chegar. A mãe respondeu que, naquele instante, já haviam percorrido 120 km, mas ainda faltava 1/5 do percurso total da viagem. Quantos quilômetros a família percorrerá até ao final da viagem?
A família terá percorrido 150 km.
ATIVIDADE 1 – UM POUCO DE HISTÓRIA
1.1 Os números estão presentes em nosso dia a dia. Você já vivenciou situações envolvendo números positivos e negativos? Registre estas situações para poder socializar com a turma.
Os estudantes podem acessar a indicação do vídeo pelo QRCode. Oriente-os a registrar os pontos que lhes chamaram atenção e, se for o caso, as dúvidas que possam ter surgido. Em seguida, sugerimos organizar uma roda de conversa em que todos possam compartilhar suas anotações e, assim, caso algum equívoco seja mencionado, você poderá fazer as intervenções para esclarecimento de dúvidas.
1.2 Ana e Geraldo foram ao armazém do senhor Manoel e enviaram suas listas de compras, descritas abaixo, para serem entregues em suas residências. Ao verificar seu estoque, o senhor Manoel observou que havia 20 quilos de arroz, 10 quilos de feijão, 9 litros de óleo, 15 quilos de açúcar, entre outros produtos.
Com os produtos que o Senhor Manoel tem o estoque, ele conseguirá atender totalmente os dois pedidos? Comente sua resposta
O Senhor Manoel atenderá parcialmente os dois pedidos, pois faltará 1,5 quilo de feijão e 1 litro de óleo. Já os pedidos de arroz e açúcar, o Senhor Manoel atenderá em sua totalidade. Explore com os estudantes de que forma Sr. Manoel poderia anotar as quantidades que estão faltando, utilizando os números negativos.
O time do Botafogo marcou 38 gols, mas sofreu 45, logo 38 - 46 = -8. Já o Paraná marcou 18, mas sofreu 57 gols, logo 18 - 57= -39. O Chapecoense marcou 34 gols, mas sofreu 50, logo 34 - 50= -16. Por fim, o Corinthians marcou 34 gols, mas sofreu 35, logo 34 – 35 =-1.
A variação foi de 35ºC, ou seja, 25 - (-10) =35
O cálculo foi feito subtraindo a temperatura inicial da temperatura final, isto é: 16,8°C – 9,6°C = 7,2°C
A correspondência indicada trata dos números simétricos ou opostos, sendo as duas próximas correspondências: - 5 e + 5; - 6 e + 6.
3.4 Podemos comparar dois números dizendo se um é maior ou menor do que o outro. Observe o subconjunto dos números inteiros abaixo:
Localize esses números na reta numérica.
3.5 Diego conferiu o estoque de celulares de sua loja no final do dia 20 e verificou que havia 40 aparelhos. Nos dias posteriores, ele fez a seguintes transações:
40 + 20 – 40 – 10 + 15 - 11= 14, logo Diego tem em estoque 14 celulares.
3.6 No final do outono em São Paulo, a temperatura era de 20°C. Com a entrada de uma frente fria, a temperatura baixou para 9°C. De quanto foi a variação de temperatura? Como você calculou essa variação?
3.7 Luciano fez uma dívida de R$ 50,00 e outra de R$ 96,00, ambas para serem pagas no próximo mês. Quanto ele está devendo? Como você indicaria esse valor?
3.8 O gerente do banco informou a Eduardo que sua conta estava com saldo negativo de R$ 130,00. Ele fez um depósito e seu saldo agora é de R$ 64,00. Qual foi o valor depositado?
3.9 Na cidade de São Joaquim, a temperatura era de 4°C ao anoitecer. Durante a madrugada, a temperatura teve uma queda de 6°C. Qual foi o registro da temperatura na madrugada?
3.10 Elabore um problema a partir da imagem abaixo. Em seguida, troque com seu colega para que um resolva o problema do outro. Analise as resoluções.
ATIVIDADE 4 – RESOLVENDO PROBLEMAS
Ao acertar 48 questões, significa que a turma errou 12 questões. Então, 48 x 10= 480 e 12 x 15=180, logo 480 – 180 = 300. Portanto, a pontuação final da turma da professora Eliana foi 300 pontos.
4.2 Eduardo ganhou um jogo em seu aniversário, onde acertando os foguetes, eles se transformam em números positivos ou negativos, que devem ser adicionados à pontuação de cada jogador.
Durante a partida, Eduardo marcava 11 pontos ganhos e transformou um foguete no número -4. Em seguida, uma nova transformação fez aparecer o número 7, como mostra a figura acima. Quantos pontos ele tem agora? Explique sua resposta:
Logo, 11- 4+7=14.
Errata: - caderno do aluno:
Onde se lê anual
Leia-se: mensal
(-156)+248+(- 223)+(- 127) + 58+ 117+ (-34)+ 98+145+ 202+12+(- 267)= 73.
4.4 A temperatura dos planetas depende da atmosfera, do calor e de outras condições. Observe a tabela abaixo, que indica a temperatura média de alguns planetas do sistema solar, e responda:
-53°C + 15°C= - 38°C
4.5 Flavia utilizou a calculadora para fazer uma operação matemática e o resultado registrado no visor foi – 24. Elabore uma situação-problema para que seu colega possa descobrir os números que ela utilizou na operação matemática.
4.6 Na aula de Educação Financeira, Giovana está aprendendo a organizar seus gastos. Ela elaborou uma planilha eletrônica com os gastos do mês de maio.
Converse com os estudantes e mostre que a tabela apresenta os gastos e os ganhos de Giovana.
50 - (12 +10 + 8 + 9+15) = 50 - 54= - 4, logo o saldo de Giovana é – R$ 4,00. Conclusão: A mesada de R$ 50,00 será insuficiente.
4.8.Adelaide fez uma divisão na máquina de calcular e o quociente foi - 30. Quais possíveis números foram utilizados nesse cálculo? Registre-os.
Algumas possibilidades: (-60): 2 = -30; 60: (-2) = -30; (-180): 6 = -30 .
ATIVIDADE 5 – NÚMEROS POSITIVOS OU NEGATIVOS
5.1 Discuta com seus colegas em quais situações são usados números positivos ou negativos. Façam uma lista com exemplos. Socialize com outros grupos para completar sua lista, caso apareçam situações que vocês não haviam identificado.
Para a realização das propostas a seguir, coloque os alunos em duplas ou quartetos para que discutam e produzam suas respostas. Acompanhe as discussões para observar as dificuldades enfrentadas. Em seguida, organize um momento para que os estudantes possam compartilhar seus exemplos.
5.2 Utilizando uma calculadora, realize o que se pede:
a) Dê o seguinte comando à calculadora:
Anote o primeiro resultado. Em seguida, aperte a tecla 17 vezes, e anote a sequência dos resultados que aparecerem no visor. Registre o que você observou com esse comando. Para a realização das propostas a seguir, coloque os alunos em duplas ou quartetos para que discutam e produzam suas respostas. Acompanhe as discussões para observar as dificuldades enfrentadas e fazer intervenções que os auxiliem a repensar seus procedimentos.
b) Dê o comando à calculadora:
Aperte a tecla 7 vezes. Anote a sequência dos resultados. Registre o que você observou com esse comando.
Para a realização das propostas a seguir, organize os estudantes em duplas ou quartetos para que discutam e produzam suas respostas. Acompanhe as discussões para observar as dificuldades enfrentadas e fazer intervenções que os auxiliem a repensar seus procedimentos.
5.3 Junte-se a um colega e discutam as questões a seguir. Depois, se acharem necessário, utilizem uma calculadora para verificação dos resultados. a) É possível calcular 27- 30? Dê o resultado e justifique sua resposta.
Nesse momento, espera-se que o estudante compreenda que a operação é possível, obtendo como resultado um número negativo.
b) É possível calcular 125 – 84? Dê o resultado e justifique sua resposta.
Espera-se que o estudante compreenda que a operação é possível, obtendo como resultado um número positivo.
5.4 Como você faria para aparecer -15 no visor da sua calculadora? Registre pelo menos duas maneiras diferentes para concluir essa tarefa.
A descrição da resposta será pessoal. Compartilhe algumas descobertas e convide os estudantes a explicarem como realizaram essa atividade.
5.5 As sequências a seguir foram obtidas a partir de alguns comandos numa calculadora, complete-as e registre quais foram as teclas acionadas inicialmente, e faça um esquema para a representação dessas teclas.
A tecla inicial corresponde à colocação no visor do primeiro termo da sequência e, a partir daí, ir obtendo os outros aplicando a regra de formação da sequência.
a) -12; -14; -16; _-18_; _-20__; _-22_. Tecla inicial (-2).
Acionamos a tecla "–" seguida da tecla "1" e da tecla "2".
b) 20; 15; _10_; _5_; _0_; -5; __-10 . Tecla inicial (-5).
Acionamos a tecla 2 seguida da tecla 0.
c) _-8_; -3; 2; 7; _12; _17_. Tecla inicial (+5).
Como o primeiro deve ser completado, começamos com a tecla "–" seguida da tecla "3". Uma segunda possibilidade seria pensar antes na regra de formação e acionar as teclas já com as respostas a serem colocadas, assim:
a) Seria a tecla "–" seguida da "1" e da "8".
b) Seria a tecla "1" seguida da "0".
c) Seria a tecla "–" seguida da tecla "8".
5.6 Qual será o saldo de cada conta a seguir? a) Sr. Antonio – comerciante.
a) Sr. Antonio – comerciante.
b) Sra. Katia – manicure.
c) Sr. Pedro – vendedor.
ATIVIDADE 6 – REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS POSITIVOS OU NEGATIVOS
6.1 Represente as frases a seguir matematicamente, escolhendo os símbolos + ou - :
a) 12 pontos ganhos num jogo. + 12 pontos.
b) 16 graus abaixo de zero. - 16°C.
c) 120 m abaixo do nível do mar. - 120 m.
d) Saldo devedor de R$ 234,00. - R$ 234,00.
e) 24 graus acima de zero. + 24°C.
6.2 Você já observou que em alguns painéis de elevadores apresentam números positivos e negativos, como o da figura:
a) Quais dos números indicariam o 1º e o 2º subsolos? Por quê?
Os números são -1 e -2, porque o térreo está indicado pelo zero e acima estão os números positivos. Logo, o subsolo está representado pelos números negativos.
b) Uma pessoa tomou o elevador no 4º andar e foi até o -2. Quantos andares ela desceu? Explique como você chegou ao resultado.
+4 – (-2) = 6 . Do 4º andar até o térreo, ela desceu 4 andares.
Já do térreo até o -2, desceu 2 andares. Logo, no total, essa pessoa desceu 6 andares.
c) Uma pessoa tomou o elevador no -1 e foi até o 2º andar. Quantos andares ela subiu?
Do -1 até o térreo, ela subiu 1 andar. Do térreo até o 2º andar, mais dois. Logo, subiu no total 3 andares.
6.3 Carlos e Pedro anotaram os pontos obtidos em um jogo: os pontos negativos representavam os pontos perdidos na rodada, e os positivos representavam os pontos ganhos. Qual foi o total de pontos de cada um deles?
a) Qual foi o total de pontos negativos que cada um obteve?
Pedro fez 5 pontos e Carlos -9 pontos.
b) Explique como você resolveu esse problema.
A descrição da resposta será pessoal, pois cada estudante poderá utilizar uma estratégia diferente.
1.1 Um game apresenta, na sua tela inicial, um instante de um jogo de futebol feminino e as posições de algumas jogadoras. Para facilitar as suas localizações, foi imaginado um Plano Cartesiano com dois eixos, o das abscissas e o das ordenadas, graduados com números inteiros. Observe com atenção a figura abaixo e escreva as coordenadas referentes a cada posição das jogadoras, conforme o exemplo:
As coordenadas da posição da jogadora Ana são representadas pelo par ordenado (-4, -3), lembrando que o primeiro número do par ordenado se refere ao valor de onde a jogadora se encontra em relação ao eixo das abscissas, e o segundo número refere-se ao valor em relação ao eixo das ordenadas. O conjunto dos dois valores resulta na posição exata onde ela se encontra.
Ivana (-9,1); Ana (-4,-3); Karla (-2,3); Luísa (3,-5); Marta (4,2); Joana (8,-3).
Ana (-1,-3); Karla (1,3); Joana (6,-3).
c) Qual comando você daria para que Luísa, ao se movimentar, ficasse próxima de Marta? Qual seria sua nova localização?
Há várias possibilidades para Luísa aproximar-se de Marta. Exemplo: deslocar 07 unidades no eixo vertical para cima, "bem próxima" de Marta. A nova localização seria o par (3,2). Ou deslocar 01 unidade no eixo horizontal para a direita e, em seguida, deslocar 06 unidades no eixo vertical e ficar "próxima" de Marta. A nova localização seria o par (4,1). É possível explorar as localizações que os estudantes apontarem e os argumentos que utilizaram.
ATIVIDADE 2 - TRANSFORMAÇÕES
2.1 No Plano Cartesiano abaixo está representado o polígono AVE.
a) Multiplique as coordenadas dos vértices por 3, reescreva as novas coordenadas e represente-as no Plano Cartesiano acima. Explique o que ocorreu.
A' (3,3) V' (6,9) E' (9,6), ocorreu uma ampliação do polígono AVE.
b) Multiplique as coordenadas dos vértices por (-1), reescreva as novas coordenadas e represente-as no Plano Cartesiano acima. Explique o que ocorreu.
A' (-1,-1) V' ( -2,-3) E' (-3,-2), ocorreu uma reflexão em relação à origem do plano cartesiano do polígono AVE.
Os estudantes devem constatar que, ao multiplicar as coordenadas dos vértices do polígono AVE por um número positivo, provocamos uma ampliação e, ao multiplicar as coordenadas dos vértices do polígono AVE por (-1), obtemos os pontos simétricos do polígono uma transformação chamada de reflexão em relação à origem do plano cartesiano. Essa transformação provoca um deslocamento do polígono para o terceiro quadrante.
2.2 Construa um polígono localizado no segundo quadrante. Ao multiplicarmos seus vértices por (-2), qual seria a "transformação" sofrida? Explique. O estudante deverá escolher o polígono, localizar seus vértices e então multiplicá-los por (-2).
2.3 Observe o quadrado ABCD representado abaixo.
a) Escreva as coordenadas dos vértices, multiplique todas elas por 2, renomeie o novo polígono por EFGH, e represente-o no plano cartesiano acima. A (1,1); B (2,1); C (2,2); D (1,2); E (2,2); F (2,4); G (4,4); H (2,4).
b) Utilizando como unidade de medida um "quadradinho", complete a tabela:s novas coordenadas e represente-as no Plano Cartesiano acima. Explique o que ocorreu.
Compare os polígonos ABCD e EFGH. O que você observou ao multiplicar os vértices por 2? Escreva um parágrafo com suas observações. As medidas dos lados e do perímetro do quadrado dobram, e a medida da área quadruplica.
2.4 No Plano Cartesiano abaixo está representado o polígono AVE. Nesta atividade no item a, trabalhar somente com as abscissas, mantendo a ordenada. No item b, deve-se fazer o contrário, descobrindo a reflexão em relação aos eixos.
a) Multiplique a abscissa dos vértices por (-1), reescreva as novas coordenadas e represente-as no Plano Cartesiano acima. Explique o que ocorreu. A' (-1,1); B'( -2,3); C'(-3,2) . Os alunos devem descobrir que, ao multiplicar a abscissa dos vértices de um polígono por um número negativo, provocamos uma transformação chamada de reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
b) Multiplique ordenada dos vértices por (-1), reescreva as novas coordenadas e represente-as no Plano Cartesiano acima. Explique o que ocorreu. A'' (1,-1); B''(2,-3); C''(3,-2)
2.5 No Plano cartesiano abaixo, anote as coordenadas do polígono, depois adicione 6 unidades nas abscissas dos vértices e 4 unidades nas ordenadas dos vértices, e então localize os pontos no plano cartesiano e represente o polígono na nova posição.
Compare os dois polígonos, o que você observou? Registre suas observações.
2.6 No desenho a seguir, obtenha as coordenadas dos vértices, multiplique as abscissas por (-1) e represente-as na malha. Una todos os pontos e pinte seu desenho.
A simetria obtida é uma reflexão em relação ao eixo das ordenadas. A (0,4), A' (0,4), G (0,-3), G' (0,-3), C (3,1), C' (-3,1).
2.7 A figura a seguir foi construída utilizando simetria. Na mesma malha, crie uma figura usando simetrias
O desenho será de livre escolha do estudante
2.8 O polígono verde sofreu três transformações no Plano Cartesiano. Dê o nome de cada uma delas e explique sua classificação.
a) Do polígono verde para o rosa.
Reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
b) Do polígono verde para o azul. Reflexão em relação à reta y.
c) Do polígono verde para o laranja.
2.9 As costureiras normalmente desenham no papel o molde da roupa em tamanho real, para depois sobrepô-lo ao tecido e cortá-lo. O interessante é que desenham apenas um dos lados do corpo, dobram o tecido e cortam seguindo o modelo de papel. No Plano Cartesiano abaixo, está representado o desenho que uma costureira fez da frente de um colete. Imaginando que ela irá dobrar o tecido exatamente no eixo das ordenadas, desenhe a frente do colete por inteiro, representando exatamente o que a costureira obterá após desdobrar o tecido.
a) Anote as coordenadas de cada ponto inicial e as coordenadas finais. Compare-as e explique qual operação realizar a fim de obter estas novas coordenadas.
O' (1,9), L'(3,9), E'(4,6), C'(0,6), T'(4,1) e I'(0,1). Estas novas coordenadas foram encontradas a partir da multiplicação dos valores das abcissas por (-1), pois é uma reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
b) Se a costureira resolvesse dobrar o tecido exatamente sobre o eixo das abscissas ao invés do eixo das ordenadas, quais novas coordenadas ela obteria? Qual operação pode ser realizada para se obter essas novas coordenadas? Neste caso, ela obteria a frente completa do colete?
O' (-1,-9), L' (-3,-9), E' (-4,-6), T'(-4,-1) e I' (0,-1). Deve-se multiplicar por (-1) os valores das ordenadas. Não, ela obteria a mesma parte do colete.
c) Quais tipos de transformações do desenho do colete, no plano cartesiano, foram propostos nesta atividade?
ATIVIDADE 3: PARA PRATICAR
3.1 Os polígonos ABC e DEFG foram desenhados no plano cartesiano abaixo. Escreva as coordenadas que representam seus vértices:
ATIVIDADE 1 – "EM BUSCA DO PADRÃO – O CANTO PERFEITO DO CURIÓ"
A origem do Curió tem algumas controvérsias, pois alguns estudiosos dizem que a ave é originária de Angola e do Gabão, já outros a classificam como uma ave tipicamente brasileira. A natureza nos surpreende com coisas maravilhosas e o canto das aves é uma delas. Infelizmente, pela caça predatória, desmatamento e urbanização, o curió se encontra extinta na maioria das regiões do Brasil.
O IBAMA (Instituto Brasileiro do Meio Ambiente e dos Recursos Naturais Renováveis) é o órgão responsável pelo controle e monitoramento da criação de pássaros silvestres entre outras.
Saiba que criar aves silvestres sem autorização devida do IBAMA é crime e deve ser combatido.
Vamos agora entender porque o canto do Curió tem fascinado muitas pessoas. Um fato interessante é notar como o canto "clássico" dele é constituído por notas e o conjunto delas formam uma bela melodia. Observe como elas podem ser traduzidas:
O conjunto de todas as notas acima constituem um canto clássico que poucos Curiós conseguem, sem errar nenhuma delas, repetir muitas vezes. Quando as notas são colocadas lado a lado, formam um "padrão" que é a "regra" de execução do canto clássico perfeito
Observe como ficaria o canto quando todas notas são colocadas em sequência:
Ti-tui-tuil-tué-tué-quim-quim-toi-té-té-tuá-tuá-tuá-quim-quim-té-té-uil-uil-tuétué-quim-quim-toi-té-té-tuá-tuá-tuá
Observe que as notas que compõem o canto do Curió clássico têm uma ordem e um padrão, pois trata-se de uma sequência, e cada elemento que a constitui tem seu devido lugar.
Vamos ouvir o Curió?
1.1 Pesquise e represente a sequência do canto de uma ave que você conheça.
ATIVIDADE 2 – CLASSIFICANDO SEQUÊNCIAS E ESTABELECENDO PADRÕES
A ordem dos elementos de uma sequência pode caracterizar um padrão, por isso, ao mudar a ordem de qualquer elemento, teremos uma nova sequência. Passaremos a designar os elementos da sequência por "termos de uma sequência" e padrão por "regras de formação". 2.1. Veja as sequências de figuras. Quais os três próximos termos? Explique a "regra de formação" que você utilizou.
2.2 Na sequência (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), indique quais serão os dois próximos termos e explique porquê.
2.3 Escreva a sequência dos números naturais menores que 8 e classifique-a como finita ou infinita.
2.4 Observe a sequência numérica infinita: (2, 5, 8, 11, 14, ...). Qual é sua regra de formação?
2.5 Descubra qual é a regra de formação e encontre até o oitavo termo de cada sequência.
a) (20, 15, 10, 5, ...) (20, 15, 10, 5, 0, -5, -10, -15)
b) (6, 2, - 2, - 6, - 10, - 14, ...) (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
2.6 Complete a sequência finita com 5 termos, descobrindo a regra de formação, e registre-a:
a) Adicione 4 ao termo anterior. (1, 5, 9, 13, 17) b) Multiplique o termo anterior por 3 e subtraia 2. (2, 4, 10, 28, 82)
c) Divida o termo anterior por 2. (2, 1, 1/2, 1/4, 1/8)
d) Eleve o termo anterior ao quadrado e divida por 2. (2, 2, 2, 2, 2)
2.7 Complete a sequência finita com 5 termos, descobrindo a regra de formação, e registre-a:
Recursiva, pois ao termo anterior soma-se
ATIVIDADE 3 – A FAMOSA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI E SUAS APLICAÇÕES NA ARTE, NA NATUREZA E NO COTIDIANO
Leonardo Fibonacci, famoso matemático italiano, ao final do século XII, elaborou um problema sobre a criação de coelhos e registrou a quantidade de filhotes nascidos ao longo de um período. Organizou estes dados e descobriu uma sequência numérica que seguia uma regra de formação.
O famoso problema sobre a criação de coelhos, está representado no esquema abaixo:
3.1 Forme uma dupla e analise o esquema. Explique essa sequência a partir da regra de formação. Após a discussão, responda: após um ano, qual seria o número de casais de coelhos?
Espera-se que os estudantes relatem que, a partir do 3º termo, o termo seguinte é o resultado da soma dos dois anteriores. Após a discussão, responda: após um ano, qual seria o número de casais de coelhos? Se pensarmos que cada ciclo dure um mês (tempo médio de gestação de um coelho), serão 12 ciclos, ficando a sequência: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144). Portanto, a resposta é 144 coelhos.
3.2 Escreva os cinco próximos termos das sequências abaixo utilizando a regra de formação de Fibonacci:
a) (2, 2, 4, 6, 10, 16, 26).
b) (-4, -4, -8, -12, -20, -32, -52).
3.3 A sequência de Fibonacci tem muitos usos que nem imaginamos. Ela está presente na natureza e nas artes. Você pode pesquisar nos endereços a seguir, disponíveis em: <https://www.hipercultura.com/sequencia-fibonacci/> Acesso em 08 dez. 2019 https://www.gestaoeducacional.com.br/sequencia-de-fibonacci/ Acesso em 08 dez. 2019.
Após a pesquisa, escolha duas aplicações e elabore um cartaz explicando cada uma delas. Organize com os colegas uma exposição! Oriente os estudantes a realizar a pesquisa a partir do endereço indicado no material, mas esclareça que eles também podem buscar informações em outros materiais ou sites. A partir dessa pesquisa, os alunos selecionarão duas aplicações para apresentar para a turma.
3.4 Elabore uma sequência recursiva com 6 termos e anote sua regra de formação. Escreva a sequência em um papel e solicite a um colega que encontre o 7º e o 8º termos.
3.5 Na arte, a sequência de Fibonacci aparece das mais variadas formas, e uma delas é a partir do retângulo áureo presente nas obras de arte e nas construções de prédios e monumentos. Considere cada quadradinho da malha como unidade de medida, preencha a tabela abaixo e depois responda:
Considerando a medida dos lados, escreva a sequência. (8,5,3,2,1,1).
3.6 "Monalisa". Pesquise outras obras onde o retângulo Áureo foi utilizado. Organize uma exposição da pesquisa, apresentando as obras de arte e a proporção áurea. Sugestão:
A descrição da resposta será pessoal. Você pode sugerir aos alunos que os estudantes procurem por imagens de obras de arte na internet, como a "Monalisa" ou "O Homem Vitruviano" de Leonardo da Vinci, a criação de "Adão" de Michelangelo, e, na arquitetura, o "Paternon" e as "Grandes Pirâmides".
ATIVIDADE 4 – RECURSIVIDADE NA LÍNGUA PORTUGUESA
4.1 Você conseguiria aumentar ainda mais essa frase? Escreva-a.
Sugestão: A vizinha de dona Sebastiana disse que o filho dela disse que o tio de Francisco disse que Francisco disse que Carlos é amigo de Maria.
4.2 Uma outra maneira de apresentar a recursividade seria uma ideia dentro de outra ideia, formando uma sequência de palavras teoricamente infinita. Observe a frase: Maria concluiu que, agora que estava no 7º ano escolar, poderia ir sozinha com as colegas ao cinema, sem a companhia de sua irmã mais velha. A frase começa com a ideia de que "Maria concluiu que", depois temos mais quatro ideias; quais seriam elas
Agora 7º ano;
Poderia ir ao cinema;
ter uma irmã mais velha.
Esse emaranhado de ideias, uma dentro da outra, compostas por 26 palavras, representam o conceito de recursividade.
4.3 Pesquise na literatura outras situações que apresentam a recursividade. Socialize com a sua turma.
Nesta atividade, sugere-se que durante a sistematização, o professor(a) converse com os estudantes a respeito da relação existente entre a posição que o termo ocupa na sequência e o resultado do próximo termo da sequência.
ATIVIDADE 1 – ENCONTRANDO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS.
A matemática tem um jeito próprio para escrever regras de formação de sequências e se utiliza da linguagem algébrica, em especial a expressão algébrica, que nada mais é do que colocar "letras" para representar números. As letras são valores desconhecidos que denominamos variáveis ou incógnitas.
1.1 Observe a sequência (4, 5, 6, 7, ...) e complete o quadro abaixo:
Após completar o quadro, faça uma análise da sequência. Essa sequência é recursiva ou não recursiva?
A sequência obedece à lei de formação n+3, onde n é a posição do termo.
a) Encontre o 12° e o 28° termos da sequência, utilizando a expressão algébrica n+3.
12º termo: 12 + 3 = 15 e 28º termo: 28 + 3 = 31.
b) Utilizando a expressão acima, determine o 100° termo da sequência. É possível encontrar quantos termos da sequência com esta expressão?
100º termo: 100 + 3 = 103. É possível encontrar todo e qualquer termo, pois conhecendo o valor da posição n, basta aplicar na expressão algébrica n+3.
1.2 Observe a sequência e complete o quadro:
1.3 Analise a sequência, quais regularidades é possível verificar? É possível verificar que o número da posição é multiplicado por cinco. Qual é a regra de formação dessa sequência?
5.n Como você encontraria o 20º termo? 5 . 20=100
1.4 Observe a sequência (5, 10, 15, 20, ...), representada geometricamente:
Note que é possível encontrar o 2º termo da sequência acima utilizado o 1º termo somado com 5 unidades, e assim sucessivamente. Neste caso, a sequência é denominada recursiva, pois utilizamos o antecessor para encontrar o termo seguinte.
Descubra qual é sua regra de formação. Construa um quadro relacionando a posição do termo, o termo da sequência e a expressão.
(5, 5+5, 10+5, 15+5, 20+5, 25+5, 30+5, 35+5, 40+5, ...) 9º termo: 40 + 5 = 45.
1.5 Observe a sequência:
Circule a expressão algébrica que representa a sequência acima e explique por que fez tal escolha.
3n-1 3+ n 3n + 1 n – 3
3n-1 3+ n 3n + 1 n – 3 3n, porque n corresponde à posição do termo. É possível perceber que n=1 corresponde a três bolinhas (3.1=3), n=2 corresponde seis bolinhas (3.2=6), e n=3 corresponde nove bolinhas (3.3=9).
a) Quantas bolinhas tem o 5º elemento da sequência?
E o 17º? O 5º elemento tem 15 bolinhas e o 17º tem 51 bolinhas.
b) Escreva os sete primeiros termos da sequência.
(3,6,9,12,15,18,21)
ATIVIDADE 2 – O TÁXI DO FRANCISCO
2.1 Francisco tem um táxi e, para o cálculo do valor a ser cobrado pelo trajeto feito, ele usa um preço para a bandeirada e um preço por quilômetro rodado. A bandeirada é de R$ 4,50 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 2,75. Com esses valores, Francisco poderia calcular o valor de uma corrida? Sim. Escreva uma expressão algébrica que ajude Francisco a calcular o valor de corridas para qualquer distância.
V = 4,50 +2,75. d, onde V é o valor da corrida e d é a distância percorrida em km.
Teste sua expressão algébrica para uma corrida de 10 km. Valor da corrida: V= 4,50 +2,75. (10). V= 4,50+27,50. V=R$ 32,00.
2.2 Francisco atenderá uma corrida para levar um cliente da cidade do interior paulista, chamada Votorantim, até a cidade de São José do Rio Preto. Veja no mapa as distâncias e a previsão do tempo de viagem. Calcule o valor estimado para a viagem de Votorantim até São José do Rio Preto, utilizando a expressão algébrica encontrada por você. Calcule o valor da viagem para cada trecho.
Para o trecho de 409 Km: 4,50 + 2,75 (409) = 1129,25.
Para o trecho de 464 km: 4,50 + 2,75 (464)= 1 280,50.
Para o trecho de 481 km: 4,50+2,75(481) =1 327,25.
Quando se trata de recursividade, a linguagem tem um vasto campo de estudos e, em muitas frases e textos, encontramos a recursão, como por exemplo:
Frase simples – Carlos é amigo de Maria
Frase "aumentada" – Francisco disse que Carlos é amigo de Maria
Continuando o processo de "aumento da frase" e apelando para a recursividade, temos:
O tio de Francisco disse que Francisco disse que Carlos é amigo de Maria.
4.2 Uma outra maneira de apresentar a recursividade seria uma ideia dentro de outra ideia, formando uma sequência de palavras teoricamente infinita.
Maria concluiu que, agora que estava no 7º ano escolar, poderia ir sozinha com as colegas ao cinema, sem a companhia de sua irmã mais velha.
A frase começa com a ideia de que "Maria concluiu que", depois temos mais quatro ideias; quais seriam elas?
1. Agora ; 2. Poderia ; 3. ; 4. . Esse emaranhado de ideias, uma dentro da outra, compostas por 26 palavras, são a recursividade.
1. (SARESP/ 2008 ) Em um jogo, o valor de cada ponto perdido é - 4, e o valor de cada ponto ganho é +3. Ana perdeu 13 pontos e ganhou 15 pontos. Fazendo os cálculos, pode-se verificar que o total de pontos de Ana é:
Alternativa: B 2.
2. (Prova Brasil/2011- adaptado) Cíntia conduzia um carrinho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela anotou em uma tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o controle. Escreveu valores positivos para as idas e negativos para as vindas.
Alternativa: B 3.
3. (SARESP/2011) As questões de uma prova são avaliadas por pontos, de modo que um acerto vale 5 pontos positivos e um erro vale três pontos negativos. Em uma prova com 30 questões, Mirella fez 54 pontos. Quantas questões Mirella acertou?
Para resolver o problema, o professor denominou x e y ao número de questões acertadas e erradas por Mirella, respectivamente, e pediu aos alunos que escrevessem o sistema de equações que conduz à solução do problema. Assinale a alternativa que mostra corretamente o sistema de equações pedido pelo professor.