Matematica Essencial: Superior: Algebra: Grupos
ENSINO SUPERIOR :: Álgebra: Grupos
Aplicação binária
Observações sobre aplicações binárias
Características das operações binárias
Tabelas de operações binárias e grupos
Interpretação das tabelas
Seja S um conjunto não vazio. Uma aplicação binária em S é uma aplicação f:S×S S. Às vezes, uma operação binária é denominada operação interna, pois tomando dois elementos arbitrários em S, o resultado deverá estar dentro do conjunto S.
Exemplos: Seja N é o conjunto dos números naturais.
A aplicação f:N×N N definida por f(m,n)=m+n é uma aplicação binária, onde + é a adição usual.
A aplicação f:N×N N definida por f(m,n)=m.n é uma aplicação binária, onde . é a multiplicação usual.
A aplicação f:N×N N definida por f(m,n)=m−n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a diferença m−n está no conjunto N dos números naturais.
A aplicação f:N×N N definida por f(m,n)=m ÷ n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a divisão m ÷ n está no conjunto N dos números naturais.
Escrevemos m+n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m+n que é a operação de adição.
Escrevemos m.n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m.n que é a operação de multiplicação.
Se não estiver clara a operação, usaremos outros sinais como: *, o, ou para substituir esta operação.
Em geral, a notação (S,*) significa que está definida uma aplicação binária * sobre um conjunto não vazio S.
Seja * uma aplicação binária sobre um conjunto não vazio S. Diz-se que a estrutura (S,*) possui:
a propriedade comutativa se, para quaisquer m,n S: m*n = n*m.
a propriedade associativa se, para quaisquer m,n,p S: (m*n)*p=m*(n*p).
elemento neutro (ou identidade) e S, se para todo n S: e*n=n*e=n.
elemento simétrico em S, se para cada n S, existe m S tal que n*m=m*n=e. onde e é o elemento neutro apresentado no ítem anterior. Aqui, m passa a representar o elemento simétrico de n.
Proposição: Demonstrar que se a estrutura (S,*) é associativa, possui elemento neutro e para cada m S existe um elemento simétrico em S, então, cada simétrico é único e além disso, o simétrico do simétrico de m é o próprio m.
Observação: A palavra simétrico pode receber nomes especiais como oposto ou inverso, dependendo da operação utilizada. Se usamos a adição usual, o simétrico aditivo de m S é denotado por −m e conhecido na literatura como oposto, mas se usamos a multiplicação usual, o simétrico multiplicativo de m S é denotado por m −1, conhecido na literatura como inverso.
Um grupo é uma estrutura (S,*), formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:
(S,*) é associativa;
(S,*) possui um elemento neutro;
Cada elemento n S possui um simétrico m S com relação à operação *.
Se a aplicação * é a adição, o grupo (S,*) é aditivo e se a aplicação * é a multiplicação, o grupo (S,*) é multiplicativo.
Se a estrutura de grupo (S,*) é comutativa, o grupo é comutativo ou grupo abeliano.
O conjunto Z dos números inteiros com a adição usual, estabelece uma estrutura (Z,+) de grupo abeliano, pois:
Para quaisquer m,n,p Z tem-se que: (m+n)+p=m+(n+p).
Existe 0 Z tal que para todo m Z tem-se que 0+m=m+0=m.
Para cada m Z existe −m Z tal que m+(−m)=0.
Para quaisquer m,n Z tem-se que m+n=n+m.
O conjunto W={0,1} com a operação tal que
0 0=0, 0 1=1, 1 0=1, 1 1=0
estabelece uma estrutura (W, ) de grupo abeliano.
O conjunto Y={1,−1} com a operação usual de multiplicação de números inteiros estabelece uma estrutura (Y,.) de grupo abeliano.
Se P={0,1,2,3,4,5,...} é um conjunto de números inteiros munido com a adição usual, (P,+) não forma uma estrutura de grupo, pois nem todos os elementos de P possuem opostos em P, embora (P,+) seja associativa, comutativa e possua elemento neutro.
Muitas vezes temos conjuntos S munidos de operações definidas através de tabelas de dupla entrada (na forma de uma matriz) com o resultado da operação do primeiro elemento de uma linha com o primeiro elemento de uma coluna aparecendo no cruzamento da linha com a coluna.
Exemplos: Grupos definidos por tabelas:
O conjunto W={0,1} com a adição definida pela tabela abaixo define (W, ) como um grupo abeliano.
O conjunto Y={−1,1} com a multiplicação usual definida pela tabela abaixo define (Y,.) como um grupo abeliano.
. −1 1
O conjunto S1={0,1,2,3} com a adição definida pela tabela abaixo define (S1, ) como um grupo abeliano.
O conjunto S2={1,i,−1,−i} dos números complexos que são zeros da equação algébrica x 4−1=0 com a multiplicação definida pela tabela abaixo define uma estrutura (S2, ) de grupo abeliano.
1 i −1 −i
Tomaremos a tabela abaixo para extrair as informações.
A simetria dos elementos em relação à diagonal principal significa que esta operação é comutativa.
A linha (ou coluna) do 0 se repete em relação à linha (ou coluna) do significando que 0 é o elemento neutro.
Quando aparece 0 (elemento neutro citado no ítem anterior) no cruzamento de uma linha com uma coluna, significa que o primeiro elemento da linha e o primeiro elemento da coluna são simétricos um do outro, como é o caso de 3 e 1, pois 3 1 = 1 3 =0.
A associatividade deve ser verificada para todos os elementos.
Uma aplicação f:S1 S2 é um isomorfismo entre os grupos (S1, ) e (S2, ), se f é bijetora e para todo x S1 e y S1:
f(x y) = f(x) f(y)
Quando existe um isomorfismo entre os grupos (S1, ) e (S2, ), dizemos que os grupos (S1, ) e (S2, ) são isomorfos.
Exemplo: Sejam S1={0,1,2,3} e S2={1,i,−1,−i} os conjuntos cujas operações binárias foram apresentados nas duas tabelas. Os grupos (S1, ) e (S2, ) são isomorfos, pois tomando a aplicação f:S1 S2 definida para cada m S1 por
f(m) = im = i * i * i ... * i (m vezes)
segue que f é bijetora e além disso, quaisquer que sejam m e n em S1, tem-se que:
f(m n) = i m+n = im in = f(m) f(n)
A aplicação acima f é um isomorfismo entre (S1, ) e (S2, ), f(0)=1, isto é, o elemento neutro 0 S1 é aplicado no elemento neutro 1 S2 por f e temos: f(1)=i, f(2)=−1 e f(3)=−1.