https://doi.org/10.1590/S0034-71402009000400005
Custos de transação em investimentos coletivos*
Prova: Sabemos que existe uma solução ótima, que minimiza o desembolso comum D e consiste de um repasse r em que cada sócio ou é credor ou devedor. Suponha que existam c credores e d devedores para um valor adequado de c (e o leitor cético e preguiçoso pode até aceitar os casos extremos c =0 e c = n). Agora, as equações (3) estão bem justificadas, e como sabemos que existe um repasse mínimo, sabemos também que, para algum c, a expressão calculada para D forçosamente satisfaz a condição Pc > D > Pc+1, o que garante que saídas e entradas são não negativas de acordo com (3). O argumento está completo.
Terminamos a seção com algumas observações. Note que, apesar da fórmula aparentemente explícita para o desembolso mínimo D, ele não foi encontrado: é necessário saber o c adequado para calculá-lo. A demonstração de que algum D de fato está em Pc > D > Pc+1 não precisa ser feita: ela segue do Teorema de Weierstrass (Bortolossi, 2002)!
Note que, para a maioria dos cortes (isto é, de escolhas para o número c de credores), o desembolso calculado não satisfaz as exigências Pc > D > Pc+1. Aliás, o único desembolso que honra as restrições é justamente o ótimo, D = R$ 52 199,282. Uma outra maneira de representar a Tabela 1 é através de um gráfico. Na figura 3, o eixo x representa as diferentes escolhas de c e as funções lineares por partes superior e inferior são obtidas interligando os valores de Pc+1 e Pc respectivamente. Os círculos representam os diferentes valores de D para cada c, e o desembolso ótimo D é aquele que está dentro da região definida pelas duas funções. Neste exemplo, os sócios 1 a 6 são credores e os demais são devedores.
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