APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM - PDF
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Isabela Wagner da Costa
1 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM Decaimento radioativo Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, denotada por dq/dt, é dada por: dq/dt = - k Q(t) onde k é uma constante que depende do elemento. Por exemplo, para o carbono-14 o valor aproximado é k = 1, , para o rádio o valor aproximado é k = 1, O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de "meia-vida" do elemento. A "meia-vida" é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa. As "meias-vidas" de vários elementos radioativos podem ser encontradas nos livros de Química. Por exemplo, a meia-vida do carbono-14 está entre 5538 e 5598 anos, sendo em média 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O carbono-14 é uma importante ferramenta em pesquisa arqueológica conhecida como teste do radiocarbono. A quantidade inicial do elemento radioativo é Q(0) = Q o. Exemplo: Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo. Solução: Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Q o a quantidade inicial. Resolvendo a equação dq/dt = - k Q(t) temos que: Q(t) = Q o e k.t e, para t = 16, Q(16) = ½Q o, logo e -16.k = ½. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, obtemos k = [ln(2)]/16 = 0,0433 dias -1
2 e dessa forma temos a função que determina a quantidade de isótopo radioativo em qualquer instante: Q(t) = Q o e -0,0433 t Para t = 30 dias e Q(30) = 30 g: Q o = 30/e -0,0433x g Crescimento populacional: o modelo de Malthus Problemas populacionais nos levam fatalmente às perguntas: 1. Qual será a população de certo local ou ambiente em alguns anos? 2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou deste ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies? Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionadas com este problema, consideraremos o modelo matemático mais simples para tratar do crescimento populacional de algumas espécies. Ele é chamado Modelo de Crescimento Exponencial, isto é, a variação da população em relação ao tempo, denotada por dp/dt, é proporcional à população presente. Em outras palavras, se P = P(t) é a população, temos dp/dt = k P onde k é uma constante. É simples verificar que se k > 0, teremos crescimento e se k < 0, teremos decaimento. Esta é uma EDO linear cuja solução é P(t) = P o e k.t, onde P o é a população inicial, P(0) = P o. Portanto, 1. Se k > 0, a população cresce e continua a expandir para Se k < 0, a população se reduzirá e tenderá a 0. Em outras palavras, a população será extinta.
3 A longo prazo, o primeiro caso, k > 0, pode não ser adequado: o ambiente tem limitações, e o crescimento populacional é eventualmente inibido pela falta de recursos essenciais. Crescimento populacional: Modelo Logístico (Verhulst-Pearl) O modelo logístico de Verhulst-Pearl procura remediar a limitação do modelo exponencial. A EDO para este modelo é dp/dt = k P (1 - P/L) onde L é o limite máximo para a população (também chamado a capacidade do ambiente). Se P = P(t) é pequeno quando comparado com L, a EDO é praticamente a equação exponencial. Este é um exemplo de uma EDO não linear separável. As soluções constantes são P = 0 e P = L. As soluções não constantes podem ser obtidas pela separação das variáveis, seguido do uso de integração com o uso da técnica das frações parciais. Com algumas manipulações algébricas, teremos P(t) = L C e kt / (L + C e kt ) onde C é uma constante e L é a capacidade do ambiente. Para P(0) = P o, Quando t, então P(t) L, se P o não for zero. Este modelo é bem mais realista que o anterior, mas ainda é insatisfatório, pois não permite a possibilidade de extinção: mesmo começando com uma população pequena, a população sempre tenderá para L, a capacidade do ambiente. Ainda assim, o modelo é bastante apropriado para a análise de crescimento populacional de cidades e de populações de lactobacilos, entre outras situações. Exemplo: Modelo de epidemia. Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença, dotado das hipóteses:
4 1. Uma fração x de uma determinada população tem uma doença infecciosa. Assim, uma fração S = (1-x) não a tem. 2. A variação de x é proporcional a x e S. Em conseqüência destas hipóteses, temos que o modelo é dado pela equação onde r é uma constante positiva. Esta é uma equação diferencial ordinária separável. Resolvendo-se a equação: Aplicando a condição inicial x(0) = x o, obtemos:
5 Quando t, x 1: mais cedo ou mais tarde cada pessoa vai contrair a doença, não importando quantas pessoas estavam infectadas inicialmente, a menos que a condição inicial x o seja igual a 0 (zero), pois neste caso teríamos x = 0 para todo t. Felizmente, este modelo é muito simplificado e não leva em consideração, por exemplo, a possibilidade de que as pessoas infectadas sejam isoladas ou que se recuperem da doença. Lei do resfriamento de Newton Um modelo real simples da troca de calor entre um corpo e o meio ambiente onde está situado admite três hipóteses básicas: 1. A temperatura T = T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo. 2. A temperatura T m do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência. 3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o maio ambiente. Dessa forma, a EDO que descreve o problema é: dt/dt = -k (T-T m ) onde T = T(t) é a temperatura do corpo no instante t, T m é a temperatura constante do meio ambiente, T-T m é a diferença de temperatura e k é uma constante positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente. Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em: dt/(t-t m ) = -k dt integrando ambos os lados: Ln(T-T m ) = -kt + k o
6 ou de forma equivalente: T(t)-T m = C exp(-kt) logo, a solução da EDO será: T(t) = T m + C exp(-kt) Quando temos a temperatura inicial do corpo T(0) = T o, podemos obter a constante C, já que T o = T m + C e assim C = T o -T m e a solução do PVI: dt/dt = -k(t-t m ), T(0) = T o será: T(t) = T m + (T o -T m ) exp(-kt)
7 2ª Lei de Newton A segunda lei de Newton diz que o produto da massa pela aceleração de um corpo é igual ao somatório das forças que atuam sobre ele: Para um corpo em queda livre, introduzindo um termo simples para levar em conta o atrito com o ar, onde v é a velocidade do corpo, k o coeficiente de atrito e g a aceleração da gravidade. Rearranjando a equação, obtemos ou seja, uma EDO linear de 1ª ordem cuja solução geral é Exemplo: Um paraquedista, pesando 70 kg, salta de um avião e abre o paraquedas após 10 s. Antes da abertura do paraquedas, o seu coeficiente de atrito é k spq = 5 kg s -1, depois é k cpq = 100 kg s -1.
8 a) Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas? Já vimos a equação que descreve a queda livre, bem como a sua solução A constante de integração é determinada a partir da condição inicial, A solução particular é então
9 Ao fim de 10 segundos, a velocidade alcançada pelo paraquedista é b) Qual a distância percorrida em queda livre? Já obtivemos no item anterior a forma como a velocidade do paraquedista varia com o tempo durante a queda livre. Sabemos também que a velocidade é a derivada da distância percorrida com relação ao tempo. Então: ou seja Aplicando a condição inicial A solução particular é então: A distância percorrida após 10 segundos foi:
10 Esperemos que o nosso homem tenha saltado do avião quando este se encontrava a uma altura superior a 392 m, do contrário terá se estatelado no chão antes de abrir o paraqueda. c) Qual a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas? Após a abertura do pára-quedas a velocidade começa a decrescer, devido ao maior coeficiente de atrito, até que é eventualmente atingido um equilíbrio entre a força da gravidade e a força de atrito. A partir desse momento a velocidade permanece constante (velocidade limite). A evolução da velocidade após a abertura do paraquedas é mais uma vez dada pela lei de Newton: e a sua solução é: Para um tempo suficientemente longo (t ) atinge-se a velocidade limite: Reator químico bem misturado
11 Vamos considerar um reator bem misturado (a concentração de soluto(s) no seu interior é uniforme em todos os pontos do meio líquido) como o representado na figura abaixo. Pretendemos saber como a concentração do soluto A no reator varia ao longo do tempo. Definimos as seguintes variáveis de processo: Vazão total de entrada (constante) = Q in (m 3 /h) Concentração de entrada do componente A (constante) = C in (g/m 3 ) Vazão total de saída (constante) = Q out (m 3 /h) Concentração de saída do componente A = C out (g/m 3 ) Concentração do componente A no reator = C out (g/m 3 ) Volume de líquido no reator = V (m 3 ) É dada a seguinte condição inicial: O chamado balanço de massa aplicado ao componente A é simplesmente variação da massa de A no reator por unidade de tempo, isto é, a massa de A que entra por unidade de tempo menos a massa de A que sai por unidade de tempo.
12 Em termos matemáticos, O balanço de volume aplicado ao reator é a variação do volume de líquido no reator por unidade de tempo, isto é, o volume de líquido que entra por unidade de tempo menos o volume de líquido que sai por unidade de tempo. Em termos matemáticos, Temos agora duas situações possíveis: 1 - Se as vazões de entrada e saída forem iguais (Q in = Q out ): e a equação de balanço a A fica simplesmente Substituindo Q out por Q in :
13 A solução desta EDO é: e após aplicação da condição inicial: 2 - Se as vazões de entrada e saída forem diferentes (Q in Q out ), mas constantes ao longo do tempo, então é óbvio que o volume de líquido não será constante. Temos então que resolver a equação de balanço de volume: onde V 0 é o volume no instante t = 0. Agora a equação do balanço de A fica:
14 Lembrando que V é função de t e substituindo o resultado anteriormente obtido: Esta EDO é de variáveis separáveis: A solução após aplicação da condição inicial é: Esboce o gráfico da curva de variação de C out com o tempo. A Torre de Hanói
15 Só para não dizer que não foram consideradas equações de diferenças, considere essa aplicação, que essencialmente mostra que qualquer situação recursiva leva a uma equação desse tipo. Juros, por exemplo, são equações assim, aliás, verdadeiros modelos de crescimento discretos entenda porque. O matemático francês Édouard Lucas em 1883 inventou um jogo que invocava uma falsa lenda antiga. A Torre de Brama tinha três agulhas, e em uma delas, havia 64 discos de ouro de tamanhos diferentes, empilhados de maneira a nunca ter um disco maior sobre um menor. A tarefa dos monges era transferir os discos para outra agulha, passando um disco de cada vez de uma agulha para a outra, sem nunca colocar um disco maior sobre um menor. O que surpreende nesse problema, que vamos resolver a seguir, é que são necessários pelo menos movimentos (aproximadamente 18 quintilhões). Com a velocidade de um movimento por microssegundo, isso levaria 5000 séculos. Uma torre com 5 discos (bolas) Chame as agulhas de A, B e C, e imagine que os discos estão inicialmente na agulha A. O pulo de gato é pensar os movimentos em grandes blocos. Por exemplo: suponha que você sabe transferir 4 discos respeitando as regras, da agulha A para a agulha B como isso ajuda a transferir 5 discos para, digamos, a agulha C? Você transfere os quatro discos menores de A para B, transfere o maior disco de A para C e agora leva os quatro discos de B para C.
16 O problema só pergunta por quantos movimentos você tem que fazer: para transferir cinco discos, você transferiu duas vezes quatro discos e fez um movimento com o disco maior. Se Q(n) é o número de movimentos necessários para transferir n discos, acabamos de aprender que Q(5 ) = 2 Q(4) + 1, ou, de maneira geral, Q(n+1) = 2 Q(n) + 1. Aliás, é óbvio que Q(1) = 1. Até o momento, só mostramos que podemos resolver o problema com Q(n) movimentos não mostramos ainda que Q(n) de fato é o menor número de movimentos necessários para resolver o problema. Vamos deixar isso por sua conta. Enfim, agora é basta resolver Q(n+1) = 2 Q(n) + 1, Q(1) = 1. Essa equação é tão simples que você pode adivinhar a resposta olhando para os primeiros termos, Q(1) = 1, Q(2) = 3, Q(3) = 7, Q(4) = 15,... Tudo leva a crer que Q(n) = 2 n 1. Verifique isso. Obtenha a resposta usando as técnicas aprendidas no curso.
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