Apresenta-se aqui um conjunto de atividades interativas que permite estudar o comportamento variacional da função exponencial. A sequência didática proposta é composta de cinco etapas.
Numa primeira etapa são relembrados alguns tópicos já estudados de uma função exponencial da forma $f(x) = ax$. Uma atividade produzida com o software GeoGebra é utilizada para que o aluno possa relacionar o crescimento ou decrescimento da função $f$ com o número $a$ escolhido para definir a função (quer dizer: se $0 \lt a \lt 1$, $f$ é decrescente; se $a \gt 1$, $f$ é decrescente). Uma questão interessante, e que pode ser posta para o aluno e explorada nesta atividade, é por que excluímos a possibilidade de $a$ ser igual 1 na definição da função exponencial?
Nas três etapas seguintes, desenvolve-se o estudo propriamente dito do comportamento variacional das funções exponenciais.
Esse estudo é realizado inicialmente (no item de menu "Função quadrática e sequências") por meio de uma atividade que procura destacar a relação que existe entre uma progressão aritmética $x_{n}$ no domínio de uma função exponencial $f$ e a sequência formada pelas imagens $f(x_{n})$) dos elementos dessa progressão. Espera-se que o aluno conclua, observando a tabela, que, se $x_{n}$ é uma progressão aritmética, então $f(x_{n})$) será uma progressão geométrica cuja razão é o número $\displaystyle\frac{f(x_{n} + \Delta{x})}{f(x_{n})}$, que aparece na última coluna, qualquer que seja a função exponencial $f$ escolhida.
No item de menu seguinte, conforme sugere o próprio título – "Generalizando", é feita uma extensão do resultado apresentado anteriormente, só que agora para funções do tipo exponencial $f(x) = k \cdot a^x$. Essa extensão é realizada em dois momentos. Primeiro, por meio da observação de uma tabela, tal e como foi feita na atividade anterior. Espera-se que neste caso o aluno conclua, observando a tabela (assim como antes), que, se $x_{n}$ é uma progressão aritmética, então $f(x_{n})$ será uma progressão geométrica cuja razão é o número $\displaystyle\frac{f(x_{n} + \Delta{x})}{f(x_{n})}$, que aparece na última coluna, qualquer que seja a função do tipo exponencial $f$ escolhida (quer dizer: o valor de $k$ escolhido não interfere no padrão observado). Em seguida, na atividade 4, procura-se, com o auxílio do software GeoGebra, observar gráfica e numericamente que, uma vez fixado o valor de $\Delta{x}$, a razão $\displaystyle\frac{f(x + \Delta{x})}{f(x)}$ permanece constante para qualquer valor de $x$ escolhido. As demonstrações das propriedades observadas são apresentadas nas soluções das questões das atividades. Consideramos esse momento imprescindível! Só o cálculo algébrico dá a garantia efetiva de que o que foi observado tem validade para quaisquer $x$ e $\Delta{x}$ escolhidos, ainda que estes valores fossem irracionais (coisa que o computador não faz!).
No quarto item ("Variação da função exponencial") realiza-se então o estudo da taxa de variação relativa (ou acréscimo relativo) da função exponencial. O estudo é realizado em dois momentos: primeiro, numericamente, por meio de uma tabela interativa; e depois, graficamente, por meio de uma atividade elaborada com o software GeoGebra. Em ambas as atividades, pretende-se que o aluno observe que a taxa de variação relativa $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ de uma função do tipo exponencial não depende de $x$, mas apenas de $\Delta{x}$.
Terminado este estudo do comportamento variacional de uma função do tipo exponencial, apresenta-se então a caracterização da função afim (quarto item do menu). A demonstração da caracterização não é apresentada ao aluno. Espera-se que o aluno fique convencido deste resultado por meio de sua intuição matemática tal e como fizeram os primeiros matemáticos que se aventuraram no mundo do cálculo. O professor que quiser ver uma demonstração do resultado pode consultar a referência (Lima et alii, 2001) ou acessar o ícone informações suplementares (lâmpada verde) na primeira página do módulo.
E, por último, são apresentadas situações problemas que estimulam os alunos a "enxergar" a função escondida. Algumas animações em Flash são utilizadas para uma melhor visualização das situações descritas no enunciado dos problemas. Estas animações permitem também que os alunos observem os padrões que lhes permitirão concluir que uma função do tipo exponencial é uma boa possibilidade para modelar o problema proposto.
Estudar o comportamento variacional de uma função do tipo exponencial fazendo uso de recursos gráficos, numéricos e algébricos; caracterizar uma função exponencial por meio de seu comportamento variacional; usar processos de modelagem matemática para resolver problemas do cotidiano, tendo como referência o comportamento variacional de uma função do tipo exponencial; estimular no aluno o espírito crítico e intuitivo, fazendo com que crie conjecturas e sinta a necessidade de fazer generalizações.
Sugerimos que a atividade seja usada de modo preferencial na terceira série do ensino médio. São necessários para o desenvolvimento da atividade que o aluno já tenha realizado um estudo preliminar de função exponencial e progressões aritméticas e geométricas. Ter estudado retas e parábolas no plano ajudaria na compreensão e solução dos problemas propostos.
Nesta modalidade, você pode propor a atividade 1 e os problemas no final do módulo (cada qual em seu momento na sequência didática) para seus alunos como um dever de casa, para ser realizado fora do tempo de sala de aula, isto é, em um horário livre no laboratório da escola ou na própria casa do aluno, caso ele possua um computador. Tal procedimento seria mais no intuito de otimizar o seu tempo didático. Você pode definir um prazo predeterminado para a realização da atividade 1 (por exemplo, uma semana). Achamos que não é preciso que você explique o funcionamento do software da atividade, pois os procedimentos para sua utilização estão detalhados na atividade. O ideal seria que você retomasse a apresentação dessa atividade a título de correção. Observe ainda que as animações em Flash contidas em alguns problemas (problemas 1, 2 e 3) oferecem a possibilidade de se fazer a proposta de novos problemas para a verificação da aprendizagem dos estudantes. Seria interessante que os professores criassem novos enunciados de problemas, fazendo uso do aplicativo. Sugestões serão bem-vindas. Envie suas criações para o nosso e-mail: conteudosdigitais@im.uff.br.
Por outro lado, não recomendamos que as demais atividades e o item "Caracterização da função exponencial" sejam trabalhados dessa forma. Achamos a participação do professor fundamental para o devido apoio e adequação da linguagem na realização das atividades.
A grande vantagem desta modalidade é que você poderá acompanhar de perto como os seus alunos estão interagindo com o computador. Por outro lado, a ação didática é mais descentralizada e heterogênea. O professor deve estar atento para garantir certa harmonia da realização da aula. "Freie", se necessário, o avanço dos alunos com melhor rendimento propondo atividades extras ou utilizando-os como monitor. Além de ajudar os colegas que tenham mais dificuldade, ele também ajudará a você com o feedback da realização das atividades. Oriente os monitores que é para ajudar e, não, para fazer a atividade pelo colega.
Para a realização do módulo sugerimos que o professor utilize duas aulas seguidas (100 minutos) para realizar as três primeiras etapas do módulo (que corresponde aos três primeiros itens do menu). O rendimento da aula em dois tempos seguidos é bem superior ao de dois tempos intervalados. Para a realização das duas etapas seguintes ("Variação da função exponencial" e "Caracterização da função exponencial") sugerem-se também mais dois tempos seguidos. E, por fim, mais dois tempos de aula para que os problemas possam ser resolvidos.
Acreditamos que ao usar o laboratório de informática, e dependendo do perfil da turma, o professor poderá precisar mais do que os seis tempos de aulas sugeridos anteriormente.
exponencial-aluno.rtf.
A atividade pode ser acessada usando um navegador (Firefox 2+ ou Internet Explorer 7+), através do link http://www.uff.br/cdme/exponencial (endereço alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br/exponencial). Se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da sua escola instale a atividade para acesso off-line, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet.