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Como mostar que o limite vale zero?
Por Nazgulled, 23 de Abril de 2009 em Matemática
lim (3xy) / (RAIZ[x^2 + y^2])
E ando aqui às voltas para tentar mostrar que o limite vale zero mas não percebo nada disto... Alguém me consegue explicar como se resolve isto para burros?
RAIZ[x^2 + y^2] é maior que RAIZ[y^2] para x pertencente a R
RAIZ[y^2] é o mesmo que abs(y)
Portanto o teu limite tende para zero mais rapidamente que tenderia qualquer um destes:
lim(3x)
lim(-3x)
Isso não é matemática 11º?
Não percebi e não sei até que ponto isso chega para responder num exame :X
Para mim é Cálculo II do 2º ano da universidade lol...
Não, é cálculo II. Tens que dar uns pormenores com mais algum rigor sobre o que são limites em R e depois aplicá-lo a cálculo com mais de uma variável, mas a ideia que dás de limites do 11º é uma iniciação que te permite resolver muitos problemas de forma intuitiva.
Vou tentar explicar-te com mais pormenor o que o pedrotuga fez:
Repara que sendo raíz(x^2+y^2) > raíz(y^2) e estando em denominador, isso quer dizer que:
3xy / raíz(y^2) > 3xy / raíz(x^2+y^2) ,certo?
Como o pedrotuga disse, raíz(y^2) = |y| (módulo de y), logo ficas com:
3xy / |y| que é 3x se y>0 e -3x se y<0
Então 3xy / raíz(y^2) = 3x se y>0 e -3x se y<0. É fácil ver que qualquer um destes vai para 0 quando x vai para 0.
Tens, por isso, que lim (x,y) -> (0,0) 3xy / raíz(y^2) = 0
Como tínhamos visto atrás, esta expressão é sempre >= à expressão que tu tens. Para além disso a expressão que tu tens é sempre positiva (maior ou igual a zero). Então pela definição de limite, o limite da tua função quando x,y->0,0 tem que ser simultaneamente >=0 (a função é positiva) e <=0 (a função é sempre menor ou igual a outra que converge para 0) pelo que, trivialmente, o limite é 0.
Obrigado... aqui está a diferença entre um gajo preguiçoso (eu) e um gajo trabalhador (pedroosorio) B)
No entanto, a minha resposta tem um errozito que já me tirava alguns pontos num exame, isto se o professor não estiver distraído.
Isto não é muito inequívoco.
O que se deve dizer é que a função inical é sempre menos que ... e como esta última tende para zero na origem então a outra tambem tem que tender.
Acho que já estou mais ou menos a perceber mas seguindo o mesmo raciocínio, não consigo fazer o exercício seguinte...
Tenho duas questões sobre isto:
1) E se não existisse nenhum denominador? Se fosse uma função mais simples sem denominador? Era só substituir o x por 0 e y por 0 e ver que dá 0 logo o limite é 0? Ou seja, como tem denominador e se eu fizer o mesmo tipo de substituições, vou ter uma indeterminação 0/0 e é por isso que tenho de seguir aquilo que me explicaram?
2) Da mesma forma que fizeste raíz(x^2+y^2) > raíz(y^2), poderia ser antes raíz(x^2+y^2) > raíz(x^2)? (e desenvolver o resto de acordo a isso claro)
O outro exercício que tenho aqui do género é:
lim (y^2 * raiz(x^2 + y^2)) / (2*(x^2 + y^2))
Como se faria este? :X
1) A ideia é sempre tentar determinar o limite da maneira "simples". Se não existir indeterminação estás porreiro da vida. Quando são estas coisas de limites na origem, geralmente existe indeterminação e a única questão é: existe limite ou não?
Tens que ter cuidado pois são questões diferentes. Caso exista e o limite seja 0, a forma de o demonstrar é achar uma função estritamente maior (em módulo) que convirja para 0.
Caso não exista, tens que encontrar dois sublimites que sejam diferentes. Isto faz-se considerando dois "caminhos" para a origem diferentes, e mostrando que o limite seguindo um e outro não é o mesmo, Exemplo:
lim (x,y)->(0,0) y/(x+y) é indeterminação.
Considerando rectas y=mx tens:
lim (x,y)->(0,0) mx/(x+mx) = lim (x,y)->(0,0) (mx) / ((m+1)*x), o x corta e ficas com lim= m/(m+1) , isto é, para cada recta y=mx que consideres, tens um sublimite diferente pelo que não existe limite.
2) Sim, claro, era equivalente, se reparares, podes trocar nessa função o x pelo y e a função é exactamente a mesma (ou seja é simétrica em relação a x=y).
Uma coisa muito importante para perceber se existe limite na origem de funções deste género é tentar estimar o comportamento do numerador e denominador. Por exemplo, no caso anterior, tinhas:
numerador - 3xy -> o produto de duas variáveis que vão para zero, vai para zero como um quadrado
denominador - raíz(x^2 + y^2) -> a soma de dois quadrados vai para zero como um quadrado, a raíz de um quadrado vai para zero como uma função linear
Tendo em conta as duas contribuições podes dizer que o comportamento aproximado é x^2 / x, ou seja x , pelo que a função tem limite 0 na origem.
Em relação à tua pergunta, mais uma vez vemos:
numerador - y^2 * raíz(x^2+y^2) -> y^2 vai para zero como um quadrado (lol) a raíz como já tínhamos visto, vai linearmente, então o produto vai para zero como um cubo
denominador - x^2+y^2 -> vai para zero como um quadrado
O comportamento aproximado da função é x^3/x^2, i.e. x, pelo que mais uma vez temos fortes razões para suspeitar que o limite existe e é zero. Mãos à obra:
y^2 < 2*(x^2 + y^2) pelo que colocando apenas y^2 no denominador a função que obtemos é sempre maior que a função original. A partir daqui é simples:
lim (x,y)->(0,0) y^2 * raiz(x^2 + y^2) / y^2, corta y^2 e ficas apenas com :
lim (x,y)->(0,0) raíz(x^2 + y^2) , que é 0 obviamente e confirma o estudo que tínhamos feito inicialmente.
Então mais uma vez a nossa função tem limite 0 na origem porque para além de ser sempre positiva, é sempre menor que uma função que converge para 0 na origem.
P.S: Repara que depois de saber que o limite devia ser 0 pelo estudo inicial do numerador e denominador, fiz a substituição que me dava jeito, ou seja, meti lá apenas o y^2 que corta com y^2 do numerador.
P.P.S: Parede de texto, sorry B)
No problem, estás-me ajudar bastante... Continua a visitar o fórum que eu tenho teste na quarta-feira e vou precisar de mais ajuda lolol B) Desde já obrigado!
Acho que já percebi mais ou menos a cena, mas há uma coisa que não percebo bem, nunca percebi, nem nunca vou perceber. Que é essa teoria toda que está por de trás do desenvolvimento destas coisas. Eu não quero saber dessa teoria toda, eu sei que é importante e tal mas esse tipo de coisas sempre foi complicado para mim entender, não é o meu forte nem nunca será, definitivamente, não é a minha vocação.
Eu preciso de saber como se faz as coisas sem perceber as razões por de trás de cada justificação, no fundo, não me interessa se percebo da coisa, desde que me sirva para passar a cadeira, já fico contente... Percebes?
Eu sei que há certas coisas que tenho mesmo de saber e tal, mas sempre que possível, prefiro ter que decorar várias formas de fazer conforme o tipo de exercícios do que realmente estar a perceber tudo... Foi assim que me safei em Cálculo I no primeiro semestre e até paguei por 2/3 horas de explicação 2 dias antes do teste e acabei por tirar 1 no exame. Para mim, chega-me...
Vou ver se aplico isto no papel agora e fazer uns exercícios seguintes... Mas tenho aqui outras dúvidas noutros limites mas já faz parte de outro exercício, se calhar depois crio um novo tópico.
Obrigado ao pedrotuga também
y^2 > 2*(x^2 + y^2) pelo que colocando apenas y^2 no denominador a função que obtemos é sempre menor que a função original.