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Em queda!
Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.
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por jap em Quarta Abr 23, 2008 9:04 pm
E que tal tentar um cálculo (semi)analítico? Para uma atmosfera exponencial, não é assim tão difícil calcular a perda de energia do satélite em cada revolução, a variação do raio da sua órbita, a variação do seu período e a variação (positiva! ) da sua velocidade devido ao efeito do atrito com a atmosfera rarefeita!
Disse bem: aumento da velocidade devido ao atrito. Este é o famoso "parodoxo dos satélites"!
Alguém consegue demonstrar que devido ao atrito com a atmosfera a velocidade do satélie aumenta em cada órbita, em aparente contradição com a segunda lei de Newton?
por hexphreak em Quarta Abr 23, 2008 9:25 pm
jap Escreveu: E que tal tentar um cálculo (semi)analítico? Para uma atmosfera exponencial, não é assim tão difícil calcular a perda de energia do satélite em cada revolução, a variação do raio da sua órbita, a variação do seu período e a variação (positiva! ) da sua velocidade devido ao efeito do atrito com a atmosfera rarefeita!
Uau A explicação qualitativa, sem cálculos, parece-me ser que o atrito, ao diminuir a velocidade em módulo, provoca a diminuição do ângulo entre a velocidade do satélite e a força gravítica, por acção desta, o que faz com que seja mais "eficaz" a aumentar o módulo da velocidade, o que por sua vez aumenta a força de resistência do ar, etc.
Agora tenho é de fazer os cálculos...
por jap em Quarta Abr 23, 2008 10:25 pm
Então aqui vai o primeiro exercício de cálculo (bastante simples!):
Provar que a variação da altura do satélite, numa volta completa à Terra, devido ao atrito com o ar, é
onde é o denominado "coeficiente balístico" do satélite e a densidade da atmosfera à altura .
por jap em Quinta Abr 24, 2008 2:41 pm
Ah, e já agora, convém verificar o modelo da atmosfera que estás a usar. É importante, para este tipo de problemas, usar o melhor modelo disponível para a atmosfera - o melhor modelo nesta altura é o MSIS (modelo semiempírico usado pela NASA, incorporando dados experimentais de satélites) cujo gráfico é o seguinte:
Repara na mudança drástica de regime por volta dos 120 km!
por hexphreak em Quinta Abr 24, 2008 3:58 pm
Ah, eu não tinha incorporada essa variação ainda Mas não devo ter problemas a implementar o modelo, encontrei a descrição e código-fonte em C
Já agora, consigo provar essa relação se , mas não estou a ver a maneira sem usar essa aproximação...
por jap em Quinta Abr 24, 2008 7:43 pm
Já implementei o modelo atmosférico MSIS-E-90 e obtive um excelente resultado para o tempo de vida do satélite espião KH-11!
por hexphreak em Quinta Abr 24, 2008 8:08 pm
jap Escreveu: Já implementei o modelo atmosférico MSIS-E-90 e obtive um excelente resultado para o tempo de vida do satélite espião KH-11!
Por acaso o Prof. não se importaria de disponibilizar as informações do MSISE-90? É que é um modelo tão detalhado que estou com alguns problemas a ler o código, tanto C como FORTRAN... dava-me jeito a versão simplificada (consigo ler Python)
por jap em Quinta Abr 24, 2008 9:02 pm
Estão aqui:
http://algol.fis.uc.pt/forum/rockets/msis.py
http://algol.fis.uc.pt/forum/rockets/msis.dat
Nota: implementei os dados do modelo (por interpolação linear) para o dia 1 Junho de 2000, não o modelo completo com todos os detalhes.... (o modelo tem em conta o ciclo solar, por isso depende da data!)
por jap em Quinta Abr 24, 2008 11:45 pm
Eu obtive para o KH-11 e a atmosfera MSIS-E-90 o seguinte resultado:
Satellite fate:
Expected number of revolutions before falling on earth 69058
Lifetime: 4369.00 days or 11.97 years
KH-11s generally operated for 2-3 years, although it is believed that at least one, KH-11/6, was operational for 11 years
Vê se consegues comprovar estes resultados com o teu programa.
Physics is beautiful!
última vez editado por jap �s Quinta Abr 24, 2008 11:48 pm, editado 2 vezes no total
por hexphreak em Quinta Abr 24, 2008 11:46 pm
Muito bom Tenho de acabar então o meu programa para verificar também os resultados
por jap em Sexta Abr 25, 2008 6:25 pm
Aqui vai o meu super-simples programa para o estudo da queda dos satélites que usa a expressão analítica para a perda de altura (ver acima) por cada volta à Terra.
É giro ver como a velocidade e a energia do satélite variam à medida que o satélite cai. E também estudar o tempo de queda em função da altura!
http://algol.fis.uc.pt/forum/rockets/sat2.py
por hexphreak em Sexta Abr 25, 2008 9:26 pm
Mas então a fórmula é válida independentemente da grandeza de ?
por jap em Sábado Abr 26, 2008 1:00 pm
hexphreak Escreveu: Mas então a fórmula é válida independentemente da grandeza de ?
Não, a fórmula
só é rigorosamente válida para pequenas (infinitesimais) variações de altura do satélite, mas como a altas altitudes (onde o satélite passa a maior parte do tempo na queda) a variação de altura por órbita é mesmo muito pequena comparada com a altura do satélite, a expressão acima pode ser usada sem erro significativo.
Alias, não é necessário fazer a aproximação de na simulação, como te vou mostrar. A única aproximação que vamos manter é a de que o satélite cai em órbitas aproximadamente circulares (na realidade ele espirala); o cálculo da perda de energia é feito por cada revolução circular e não na porção de espiral, mas o erro introduzido aqui também é pequeno.
Vou mostrar então as duas formas de fazer os cálculos, recorrendo a uma diferenciação da energia total do satélite, e outra que evita fazer essa diferenciação.
Como é fácil demonstrar, a energia total de um satélite em órbita circular em torno da terra à altura h é
diferenciando esta expressão em ordem à altura vem
Calculemos a perda de energia do satélite numa volta em torno da terra devido à resistência do ar:
Supondo que esta perda de energia é pequena, podemos substituir na expressão acima, obtendo-se:
onde é o coeficiente balístico do satélite.
Mas, na realidade, podemos proceder de outra forma na simulação computacional, evitando utilizar a expressão que relaciona dh com dE obtida a partir do diferencial da energia.
De facto, como
em qualquer altura temos que
Portando, podemos fazer a simulação da seguinte forma.
1) Calcula-se a energia à altura
2) Calcula-se a perda de energia na primeira revolução
onde é a constante .
Subtrai-se à energia inicial e usa-se
para calcular a nova altura e repete-se, sucessivamente, até a altura dar zero.
Os resultados são idênticos (a menos de uma revolução!) do resultado obtido no método usando a relação entre e o diferencial da energia.
Já experimentei este método e confirmei que dava o mesmo resultado do primeiro.
O programa está aqui:
Nova versão, sem diferencial
última vez editado por jap �s Sábado Abr 26, 2008 3:17 pm, editado 1 vez no total
por hexphreak em Sábado Abr 26, 2008 1:38 pm
Muito inteligente de facto Eu tinha chegado à expressão de exactamente a partir da perda de energia pelo atrito, mas não sabia qual seria o erro introduzido... O segundo método também é muito interessante. Parece que em simulação, como nas resoluções de problemas, os argumentos energéticos dão as melhores estratégias!
por jap em Sábado Abr 26, 2008 1:43 pm
É giro simular o tempo de vida do satélie KH-11 em função da altura inicial
O resultado do meu programa está aqui, e percebe-se porque é que os satélites são lançados para órbitas para lá dos 300 km de altura : (reparem na escala logarítmica do eixo dos yy!)