por Ivo_Timóteo em Quinta Nov 16, 2006 10:41 pm
Este problema foi-me proposto pelo Diogo há mais ou menos dois aninhos... Na altura nem tinha ideia de como abordar, e mesmo hoje continuo mais ou menos em branco.
Existe um recipiente paralelipipédico cheio de água. A base, no centro, tem uma hélice (desloca a água para baixo). O problema é provar que a deformação na superficie da água é parabólica.
Não sei se devia ser "tricky" ou "trivia", mas acho que é um problema interessante, que eu gostava de ver resolvido!
por jap em Quinta Nov 16, 2006 10:55 pm
Esta é uma questão clássica mas não é propriamente "trivia" porque a solução mais elegante é relativamente "tricky"
A hélice não tem, aqui, um papel fundamental. A superfície de um líquido em rotação, na situação de "equilíbrio", é um parabolóide de revolução.
Se tirarmos um instantâneo de um copo com água em rotação em cima de um velho giradiscos, por exemplo, podemos digitalizar a foto e obter os pontos da interface água/ar e verificar que ela se ajusta perfeitamente a uma parábola
Aqui fica lançado o desafio: mostrar que é uma parábola e determinar a equação dessa parábola!
PS - É claro que a aceleração da gravidade entra na equação! Com a experiência que acima descrevi (copo com água a rodar no prato de um gira-discos) é possível determinar a aceleração da gravidade!
PS2 - Como habitual, se até lá ninguém conseguir resolver este desafio (com uma solução elegante!) eu darei a solução de hoje a 8 dias.
por Real em Quinta Nov 16, 2006 11:22 pm
Analiza as forças que actuam numa partícula à superfície do líquido em rotação.
PS: quando tiveres datas para nos encontrarmos na FCUP diz-me alguma coisa!
por jap em Sexta Nov 17, 2006 12:28 am
Este vídeo ilustra a questão e é (acho ) inspirador de uma boa solução!
http://algol.fis.uc.pt/movies/RotationWater.mov
(Limonada Rosa? )
PS - O peso no fundo do tanque é só para "estabilizar" a montagem...
por pmp em Sexta Nov 17, 2006 7:45 pm
Bom, aqui vai a minha proposta de solução. Perdi um bom bocado do dia, mas acho que valeu a pena.
http://www.4shared.com/file/6065172/502b9253/Solu
Peço desculpa pela condição da solução e pela falta de um esquema, mas como não tenho muito tempo e existe a possibilidade de estar errado decidi não fazê-lo, mas acho que ninguém terá dificuldades em representá-lo.
Pelo menos parece haver coerência na solução, já que a altura máxima da água aumenta com o aumento da velocidade angular do recipiente (como se observa no video) e intuitivamente sabemos que é inversamente proporcional a g.
Este vídeo ilustra a questão e é (acho Laughing ) inspirador de uma boa solução!
por Real em Sexta Nov 17, 2006 8:05 pm
É exactamente essa a solução!! Muito bem!!
Como se mostra no video, a resultante das forças que actuam na partícula é apenas a componente centrípeta, que faz com que a bola rode (ela não sobe nem desce!).
Chamo só a atenção aos leitores que na resolução n representa a força de reacção exercida pelo líquido na partícula, que é perpendicular à tangente no ponto!
por pmp em Sexta Nov 17, 2006 8:10 pm
Obrigado Real!!!!
Nunca pensei chegar à solução, mas depois segui o tua sugestão de representar as forças, arranjar um ângulo e depois foi-se tudo encaminhando para a solução.
por jap em Sexta Nov 17, 2006 8:14 pm
Encontraste a solução
Mas a questão ainda não está fechada ; desafio os outros olímpicos a encontrar uma solução radicalmente alternativa, quiçás mais elegante
por Nuno_Monteiro em Sábado Nov 18, 2006 12:05 am
Tive agora a analisar a tua resposta. E só tenho duas coisas a dizer-te:
1. a dedução final que fazes, relaccionando a tangente nesse ponto com a derivada da função é realmente formidavel (a mim não me passou tal ideia pela cabeça)
2. na resolução que fizes-te em pdf cometes um pequeno erro por distracção pois, quando mandas substituir (1) em (2) o seno fica em cima e o coseno fica em baixo(colocas-te ao contrário), porque se fosse como tens seria co-tangente e não tangente.
Mas de qualquer forma tenho que te dar os parabéns pela resolução
por jap em Sábado Nov 18, 2006 12:15 am
Ainda sobre o desafio que lancei da solução elegante alternativa à encontrada pelo pedro (boa!), aqui vai uma dica:
é possível encontrar a equação da parábola com uma expressão que cabe numa linha e nem sequer envolve vectores, nem projecções dos ditos
Alguém tem uma ?
por Real em Sábado Nov 18, 2006 3:33 pm
Hmmm. Com essa dica só pode ser conservação da energia! E de facto funciona! (façam as contas, é fácil!)
Contudo, gosto mais da solução do Pedro! É preciso haver um certo grau de "iluminação" ao relacionar a tangente do ângulo com o declive e a derivada!
Deixo só aqui uma reflexão: (geralmente) todos os problemas de mecânica podem ser resolvidos atrás da conservação da energia e (geralmente) é mais fácil por esse modo! [os osciladores são uma das excepções!] Basta reparar que quando se usa F=ma, a aceleração é a segunda derivada da posição e, por isso, temos uma equação diferencial de segunda ordem pela frente! Por outro lado, na energia aparece o quadrado da velocidade na energia cinética, fazendo com que a equação diferencial seja de primeira ordem (geralmente mais fácil de resolver).
Para complementar estas ideias, aconselho vivamente (a quem já tenha alguns conhecimentos de matemática) a leitura do primeiro capítulo da Mecânica, do Landau. Lá demonstra-se que a conservação da energia é consequência da homogeneidade do tempo e que a conservação do momento angular é consequência da isotropia do espaço! (é lindo de morrer!) Por outro lado, também demonstra que a conservação da energia é intrínseca a toda a mecânica Newtoniana (e daí o meu comentário anterior). Se não encontrarem o Landau, falem comigo que eu posso arranjar um link com o pdf.
por pmp em Sábado Nov 18, 2006 4:06 pm
Nuno_Monteiro Escreveu: pmp,
Acredita que foi daqueles momentos em que se faz luz, em que sentimos um friozinho. Porque fiquei um bom bocado a pensar como sair dali.
Obrigado pelo teu alerta para o erro, mas como resolvi no papel e depois passei no mathtype, o traço de fracção deve ter-me tramado.
Real Escreveu: Hmmm. Com essa dica só pode ser conservação da energia! E de facto funciona! (façam as contas, é fácil!)
De facto, sinto-me ridiculo quando perdi uma tarde quando havia essa forma mais simples. E acho que as soluções mais simples são as mais belas.
Durante a noite pensei num método semelhante ao da conservação da energia, pois relacionei a forma da superfície parabólica com um lançamento de projécteis, mas não consigo fundamentá-lo segundo os princípios físicos. É o seguinte:
Consideremos uma particula que se encontre no plano horizontal que contem o vértice da parábola. Ela é projectada na vertical com uma velocidade v. Essa velocidade v é igual a w*x. A altura máxima atingida seria v^2/(2g) (a demonstração é simples pela cinemática ou pela conservação da energia (acabo de perceber que foi o mesmo método )) = w^2*x^2/(2g). A equação da nossa parábola. O que não compreendo é como a velocidade ascensional da particula está relacionada com a velocidade angular. Isto é, a particula devia ter uma velocidade tangencial num movimento circular e não ascencional num movimento vertical. Certo?
por manuelmarque em Sábado Nov 18, 2006 4:36 pm
Sim, mas estamos a falar da água... temos de entrar com princípios da mecânica de fluidos, acho eu...
Não creio conseguir explicar-te, dado que ainda nem abordei essa temática... mas à partida se fosse uma partícula sólida (ie um berlinde dentro do recipiente) deveria demonstrar esse tipo de comportamento. Agora a água... como estão todas ligadas, há uma viscosidade associada... o comportamento conjunto deve ser esse. Atenção que isto são apenas conjecturas! Eu não investiguei nada!
por jap em Sábado Nov 18, 2006 5:55 pm
A minha explicação elegante envolve energia (obviamente, não é Diogo? ) , e está (um pouco) baseada num princípio básico da Relatividade Geral que faz parte do programa do 12º ano
Prometo "postar" essa solução amanhã, se ninguém a encontrar até lá (suspeito que haverá quem consiga lá chegar...estão muito perto...e então se consultarem o Landau...).
por manuelmarque em Domingo Nov 19, 2006 10:16 am
Tentei fazer a resolução pelas leis da conservação de energia - penso que consegui, apesar de ter cometido um erro pelo caminho que não consegui explicar, e por isso a parábola ficou virada de "cabeça para baixo"
Deu-me o resultado do pmp, mas com um menos atrás... anexo a minha resolução (que está um pouco confusa, é certo, mas eu já dediquei demasiado tempo à Física, tenho teste de Biologia esta semana e ainda não estudei nada... ) aqui.