Para descrever o movimento de uma partícula material, é necessário conhecer as expressões analíticas que traduzem a variação da posição, da velocidade e da aceleração da partícula, em função do tempo.
Como os movimentos em estudo são essencialmente rectilíneos, unidimensionais, simplifica-se a notação vectorial, utilizando valores algébricos.
Assim, os valores das grandezas serão afectados dos sinais + ou -, consoante a grandeza vectorial tenha sentido positivo ou negativo em relação ao referencial definido.
Diz-se que uma partícula material está animada de movimento rectilíneo uniformemente variado se a resultante das forças que actuam sobre a partícula for constante e tangente à trajectória, implicando que esta se desloque com aceleração constante, ou seja a partícula varia o valor da sua velocidade quantidades iguais em intervalos de tempo iguais.
Para este movimento temos que considerar três leis:
& Lei das acelerações a = constante
& Lei das velocidades v = v0 + a t
& Lei das posições ou lei do movimento x = x0 +v0 t + 1/2 a t2
v - valor da velocidade da partícula
v0 - valor da velocidade inicial, isto é, valor da velocidade no instante t0 ,da partícula
x - posição da partícula no instante t
x0 - posição da partícula no instante t0 = 0
a - valor da aceleração da partícula
Representação gráfica da lei das velocidades
Uma vez que v = v0 + a t traduz uma relação linear entre a velocidade escalar e o instante que lhe corresponde, o gráfico v = f ( t ) é um segmento de recta cujo declive dá o valor algébrico da aceleração e a ordenada na origem corresponde ao valor algébrico da velocidade inicial, no instante t0 = 0.
Os gráficos representados na figura 1 correspondem a movimentos uniformemente variados em que a aceleração e a velocidade têm o mesmo sentido, sendo por isso uniformemente acelerados.
Os gráficos representados na figura 2 correspondem a movimentos uniformemente variados em que a aceleração e a velocidade têm o sentidos opostos, sendo por isso uniformemente retardados.
Representação gráfica da lei das posições
A representação gráfica da lei das posições x = x0 +v0 t + 1/2 a t2 corresponde a um ramo de uma parábola, cuja posição em relação aos eixos coordenados depende dos valores algébricos de x0 , v0 e a.
Se x0 = 0 e v0 = 0, a lei das posições tomará a forma x = 1/2 a t2 e o ramo da parábola tem o vértice a coincidir com a origem do referencial, como mostra a figura 3.
Ascensão e queda de um grave
Desprezando a resistência do ar, um corpo em movimento ascendente, ou em queda livre, está apenas sujeito à acção da força gravítica que a Terra exerce sobre ele.
Neste movimento, a aceleração adquirida é constante, aceleração da gravidade, sendo vertical, com sentido descendente e com módulo aproximadamente igual a 10,0 m s-2.
Durante a subida, um corpo está animado de movimento rectilíneo uniformemente retardado, porque a velocidade e a aceleração são vectores que têm sentidos opostos e, durante a queda está animado de movimento rectilíneo uniformemente acelerado, porque a velocidade e a aceleração são vectores que apontam no mesmo sentido.
Expressões analíticas que traduzem o movimento de queda de um grave
Podemos considerar a origem do nosso referencial coincidente com a posição de lançamento e o sentido arbitrado como positivo o sentido descendente. Assim, o valor algébrico da aceleração da gravidade é positivo e o vector aceleração da gravidade tem o mesmo sentido que o arbitrado como positivo.
As leis deste movimento são, caso o corpo seja abandonado da posição y0 sem velocidade inicial, como mostra a figura 4:
& Lei das acelerações g = constante
& Lei das velocidades v = g t
& Lei das posições ou lei do movimento y = y0 +1/2 g t2
y - posição da partícula no instante t
y0 - posição da partícula no instante t0 = 0
g - valor da aceleração da partícula ( aceleração da gravidade )
As leis deste movimento são, caso o corpo seja abandonado da posição y0 com velocidade inicial v0, como mostra a figura 5:
& Lei das velocidades v = v0 + g t
& Lei das posições ou lei do movimento y = y0 + v0 t +1/2 g t2
v0 - valor da velocidade inicial da partícula, no instante t0 = 0
Expressões analíticas que traduzem o movimento de ascensão de um grave
Podemos considerar a origem do nosso referencial coincidente com o solo e o sentido arbitrado como positivo o sentido ascendente. Assim, o valor algébrico da aceleração da gravidade é negativo e o vector aceleração da gravidade tem sentido contrário ao sentido arbitrado como positivo, como mostra a figura 6.
As leis deste movimento são:
& Lei das velocidades v = v0 - g t
& Lei das posições ou lei do movimento y = y0 + v0 t -1/2 g t2
Nota: Para que um corpo seja lançado verticalmente tem que sofrer um impulso que lhe comunique uma velocidade inicial de módulo v0.
Determinação da altura máxima atingida pelo corpo
O corpo atinge a altura máxima no instante em que a velocidade se anula. Assim,
0 = v0 – g t Û t = v0 / g , em que t é o tempo de subida
A altura máxima atingida, ymáx será igual a
ymáx = v0 ( v0 / g ) – ½ g ( v0 / g )2 Û ymáx = ( v02 / g ) – ½ ( v02 / g ) Û ymáx = ½ ( v02 / g )
Nota: Neste movimento o tempo de subida é igual ao tempo de queda e o valor da velocidade com que atinge o ponto de partida é igual ao valor da velocidade de lançamento. Despreza-se a resistência do ar e a única força que actua sobre o corpo é a força gravítica que é uma força conservativa. O sistema corpo + Terra é conservativo e, portanto, a energia mecânica do sistema conserva-se. Como o corpo retorna ao ponto de lançamento, ao nível do solo a energia potencial gravítica é nula, então a energia mecânica só possui componente cinética, daí que a energia cinética do corpo no instante em que foi lançado seja igual à energia cinética do corpo quando cai no mesmo sítio, o que implica que o módulo da velocidade seja o mesmo.