Exercícios comentados sobre quadrados envolvendo sua definição, propriedades fundamentais e cálculo de área e perímetro.
(ENEM 2008) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo, e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a
a) Os quadrados possuem diagonais que se encontram em seus pontos médios, são perpendiculares, mas não são congruentes.
Observe que o lado AB é formado pelos lados de um quadrado e um triângulo, que podem ser encontrados na diagonal do quadrado na figura 1 (o quadrado que foi dividido para formar o tangram). Sabendo que as diagonais de um quadrado se encontram em seus pontos médios, essa diagonal mede 4 cm. Além disso, as diagonais do quadrado são congruentes. Logo, a outra diagonal também mede 4 cm. Sabendo que todo quadrado também é um losango, utilizaremos a fórmula para calcular a área do losango para descobrir a área do quadrado da figura 1 (obs.: estamos falando do quadrado grande, que foi dividido para formar o tangram).
Todo quadrado também é um retângulo. Como os quadrados possuem lados com medidas iguais, então a afirmação se faz verdadeira.
Todo quadrado também é um losango. Como os quadrados possuem apenas ângulos internos retos, então a afirmação se faz verdadeira.
Nem todo losango possui ângulos internos retos, o que é indispensável para que a figura seja considerada um quadrado.
Todo quadrado é um losango, pois os quadrados possuem os quatro lados congruentes, o que é a própria definição de losango.
Os quadrados possuem diagonais que se encontram em seus pontos médios, perpendiculares e congruentes.
Exatamente como se calcula a área de um losango. Como todo quadrado é losango, então a afirmativa está correta.
A área do quadrado é o produto entre base e altura, o que acaba se tornando a medida do lado elevada ao quadrado.
A diagonal de um quadrado o divide em dois triângulos isósceles e retângulos, cujo ângulo reto é oposto à diagonal. Logo, a diagonal é hipotenusa e os outros dois lados catetos desse triângulo. Sabendo que esses dois lados são iguais, pois são os lados do quadrado, poderemos fazer os seguintes cálculos:
Seja x o lado do quadrado. Sabendo que x também será o lado do triângulo e que 72 será sua hipotenusa, pelo teorema de Pitágoras teremos:
Sabemos a medida do lado do quadrado, agora basta calcular seu perímetro, que é dado pela expressão:
Quadrado é uma figura geométrica plana formada por quatro lados congruentes e por quatro ângulos retos.