Enviado por lcxavier
Universidade Anhanguera Uniderp Centro de Educação a Distância CURSO: ADMINISTRAÇÃO – 3º SEMESTRE MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E CONTABILIDADE
Alexandre Bastos dos Santos – RA 285817 – ADM Joedson Cabrini Alvarenga – RA – 300988 – ADM Leda Maria dos Santos Pereira Boone – RA – 290282 - ADM Luiz Cesar Xavier – RA 294020 – ADM Sandryelle Christina da Silva Corrêa – RA 336128 – ADM Silvana das Neves Rosa Reis - RA 290281- ADM ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS - MATEMÁTICA APLICADA PROFESSOR TUTOR: ENIR LUIZ DE BARROS PROFESSORA EAD: IVONETE MELO DE CARVALHO VITÓRIA/ES, 15 DE ABRIL DE 2.012.
Neste desafio abordaremos os principais conteúdos e conceitos relacionados à matemática aplicada a administração, e alguns exemplos práticos que envolvem as funções estudadas em sala de aula, desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico, reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente. Palavras-chave: profissões, função, exemplos, conceitos
Sumário Introdução.............................................................................................................................3 Etapa 1...................................................................................................................................4 1.1 Profissões........................................................................................................................4 2.1 Médico Infectologista......................................................................................................4 3.1 Entrevista com médica especialista em Infectologia........................................................6 Etapa 2.....................................................................................................................................7 História das descobertas dos conceitos básicos da matemática ..............................................7 2. Passo 2 – Exercícios............................................................................................................22 Etapa 3....................................................................................................................................25 1. Passo 1 – equações polinomiais...........................................................................................25 Algumas aplicações.................................................................................................................26 Fractais.....................................................................................................................................26 Geometria.................................................................................................................................26 2. Passo 2..................................................................................................................................28 Resolver as seguintes situações-problemas...............................................................................28 Etapa 4 – 1.Passo 1...................................................................................................................29 Geometria Analítica..................................................................................................................29 2.Passo 2....................................................................................................................................38 Resolver as seguintes situações-problemas...............................................................................38 3. Passo 3 – Diferenciação Implícita.........................................................................................40 Referências Bibliográficas........................................................................................................42
INTRODUÇÃO Se perguntarmos por que esta disciplina; a matemática está incluída na administração? É muito interessante fazermos uma análise deste fato, pois através de matérias e artigos sobre a matemática aplicada na administração, concluímos que a mesma está profundamente inserida na administração, assim como faz parte de nosso cotidiano. Fica claramente definido que a matemática contribui bastante para o administrador proporcionando a ele novas técnicas de planejamento, sejam no controle de finanças, na produção, na comercialização, negociações, ate mesmo na área de recursos humanos e em processo que envolve a administração em geral, bem como no desenvolvimento de seu raciocínio lógico. É formidável o apoio e as atividades exercidas que estimulam o raciocínio lógico e critico, dentro de variados problemas. Tem como base a idéia de selecionar à melhor tomada de decisão para diminuir riscos que podem afetar o futuro, a curto ou longo prazo. Problemas existem e sempre vão existir, e em dos objetivos da matemática é tornar o método de tomada decisões mais racional possível, para a resolução de problemas. No entendimento dos fatos, concluímos que a matemática tem como objetivo capacitar o administrador a formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor resultado. O administrador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informação para o processamento de dados, produzindo informação, que ajudará a visualizar e analisar gráficos, projetos, relatórios, simulação de vendas, planejamentos das despesas, análise de receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc. O fato de você ter se formado levando a sério o seu Curso de Administração que é o segundo melhor curso valorizado do mundo, em um ambiente de pesquisa, de ter sido habituado a questionar, buscar novas soluções, verificar suas idéias e compará-las com as de outros será uma vantagem no mercado de trabalho (empresas de consultoria, por exemplo). Você estará mais bem preparado para enfrentar os desafios de seu futuro profissional do que alguém que recebeu apenas treinamento técnico. As técnicas estão mudando a cada instante; o que é hoje a última palavra estará, em poucos anos, completamente superado. Para ser bem sucedido no mercado de trabalho é preciso estar preparado para sempre aprender mais durante toda a vida (FORMAÇÃO CONTINUADA).
ETAPA 1 Pesquisa realizada nos jornais A Gazeta e A Tribuna (01/03 a 24/03/2012) 1. Passo 1 1.1 Profissões 1 - Cirurgiões-dentistas: 26% 2 – Médicos: 24% (Pediatra, cardiologista, clinica geral, endocrinologista e infectologista). 3 – Engenheiros: 07% (engenheiro do trabalho, civil e agrônomo). 4 – Administrador: 6% 5 – Advogados: 4% 6 - Profissionais em RH: 7% (analistas e gerentes) 7 – Gerentes: 4% ( nas áreas de venda e segurança) 8 – Contador: 4% 9 – Professor: 6% 10 – Nutricionista: 6% 2. Passo 2 2.1 Médico Infectologista Infectologia é a área do conhecimento médico que se ocupa do estudo das doenças causada por microrganismos, sejam eles bactérias, vírus, protozoários, helmintos entre outros. A infectologia é uma especialidade médica, reconhecida pelo Conselho Federal de Medicina, tendo três áreas de atuação: Infectologia hospitalar, infectologia pediátrica e medicina de viagem. O infectologista atua na prevenção primária (educação em saúde, vacinação etc.), e na prevenção secundária (tratamento de doenças infecciosas e prevenção de incapacidade causada por estas doenças). O foco do infectologista é na prevenção de doenças ou agravos ocasionados por agentes infecciosos e animais peçonhentos.
Tratamento e análise de doenças infecciosas. se forem o caso. devido à carência de infectologistas em algumas regiões e à falta de informação da população sobre o papel do infectologista. O papel do infectologista está dividido em quatro grandes áreas: . . No entanto. vacinas e medicamentos.Controlar e assistir a infecções hospitalares.Aconselhamento no uso de antibióticos. Profissional atuante nas comissões de controle de infecções hospitalares. podendo analisar o paciente em vários aspectos.Um médico geral pode ter especialização em Infectologia. A grande parte dos pacientes que estão febris tem uma doença infecciosa subjacente. também freqüentemente exercendo a prática de clínica geral. o infectologista concentra os esforços para a prevenção destes agravos e a interrupção precoce de surtos dentro de ambientes hospitalares. CCIH A atuação na prevenção de doenças transmissíveis é uma das atividades mais nobres do médico infectologista. o médico indica medidas de prevenção como cuidados básicos. Por ser um especialista acostumado a lidar com doenças localizadas nos mais variados órgãos do corpo. 5 . No campo da biossegurança. Nos melhores hospitais e estabelecimentos de saúde. Porém a febre também pode ocorrer devido a outras doenças. considerando as particularidades do cliente. Por meio da avaliação clínica pormenorizada. o especialista apresenta elevado conhecimento na prevenção e tratamento a agentes biológicos no ambiente de trabalho. a grande maioria desses pacientes é atendida por médicos de outras especialidades. os riscos e os mecanismos de transmissão das doenças. E nesses poucos casos o infectologista encaminha o paciente para o especialista na área. .Imunização (vacinação) . como um Infectologista pode estar especializado em Medicina Geral. em geral o infectologista também tem uma visão global do paciente. como reumatológicas ou neoplásicas (câncer). atuando na redução dos riscos. há um ou mais médicos infectologistas no corpo clínico. Atualmente as doenças infecciosas são responsáveis por grande parte das consultas médicas ambulatoriais e em pronto-socorro.
Estudos apontam que a grande maioria dos pacientes que apresenta febre como principal sintoma tem uma doença infecciosa subjacente.. com 10 anos de profissão. a população procure outras especialidades médicas quando acometida por doenças infecciosas. hanseníase.Recentemente. mas também assistindo a pacientes internados com patologias infecciosas ( ex. Passo 3 3.1 Entrevista com Médica especialista em Infectologia Nome: Glaucia Glene Ferraz Empresa onde trabalha e tempo de atuação na profissão: Hospital Evangélico de Vila Velha e Hospital da Unimed. avaliando o cliente antes do embarque. O desconhecimento sobre o campo de atuação do médico infectologista faz com que. o especialista tem sido cada vez mais requisitado para dar orientações à viajante com o objetivo de prevenir doenças relacionadas às viagens. Atividades básicas da profissão: Controle de infecções hospitalares. Cursos de formação e aperfeiçoamento: Programa de DST/AIDS. 3. tuberculose. sobretudo quando o destino por locais mais distantes ou exóticos. celulite. Média salarial do profissional na área: 4 a 5 mil mensais com carga horária de 40 horas semanais. tuberculose. na maioria das vezes.. notadamente as reumatológicas e neoplásicas (câncer).) e atendimento em consultório.. o especialista com maior familiaridade na investigação e diagnóstico das doenças febris.: dengue. hepatites virais. ETAPA 2 6 . herpes zoster. atuando como médico de referência bilíngüe para discussão com outros colegas estrangeiros e avaliando a integridade da saúde do cliente na ocasião do retorno. Este novo campo de atuação é conhecido como medicina de viagem. O infectologista é o melhor profissional para proporcionar uma viagem segura. O infectologista é. Febre também pode ocorrer no curso de outras doenças. sem dúvida.
foi encontrado tabletas de argila com tabelas exponenciais em que se podem observar as dez primeiras potências para diferentes bases. a vinte por cento ao ano. e cuja origem é incerta. seriam muito semelhantes às nossas tabelas de logaritmos. Babilônios: Algumas considerações a respeito da matemática babilônica tornam-se relevantes neste momento. A questão é similar a: "qual o logaritmo do número b (b > 0) tendo como base o número a (a≠1. conhecido como interpolação linear. pode ser percebido num problema prático encontrado em uma tableta e que pergunta quanto tempo levaria certa quantia em dinheiro para dobrar.1. Passo 1 1. É impressionante perceber que o valor babilônico para a raiz quadrada de dois é aproximadamente 1.1. Este método. Em outras tabletas de argila aparecem potências sucessivas de um dado número e que. Existe uma tableta de argila babilônica em Yale contendo o cálculo de com três casas sexagesimais. O que se sabe é que as influências desta notação podem ser sentidas ainda hoje nas unidades de tempo e medida de ângulo.1.10. A resposta. visto que eles já dominavam certos métodos e técnicas de cálculo que influenciaram a criação dos logaritmos.414222 (na base decimal). segundo Boyer (2003). a >0)?" Existiam grandes lacunas entre valores nas tabelas exponenciais dos babilônios. Os babilônios utilizavam um sistema sexagesimal. eles habilmente interpolavam partes proporcionais para conseguir obter valores intermediários aproximados. A idéia antes da invenção dos logaritmos de Napier: 1.24. Um dos problemas descritos nestas tabletas pergunta a que potência se deve elevar certo número dado para que se obtenha um determinado número como base. Segundo este autor.1. 7 . O ponto-e-vírgula separa a parte inteira da parte fracionária e a vírgula separa as ordens (posições) sexagesimais. ou seja. contudo. demonstrava domínio computacional equivalente ao que ocorre nos dias de hoje com a moderna notação decimal para frações. Consta que os babilônios estenderam o princípio posicional numérico também às frações e desta forma.51. poderia ser escrita como 1. utilizando uma simbologia mais familiar. de base 60. segundo Boyer (2003).
Arquimedes: A participação de Arquimedes na história da matemática é inquestionável. Em Bagdá.3. muito incidentalmente.1. a do califa al-Mamum (809-833) que diz ter sonhado com Aristóteles e que devido a isso ordenou que se fizessem cópias em árabe de todas as obras gregas. por exemplo. apesar de não terem inventado oficialmente os logaritmos e as equações exponenciais. segundo Boyer. Foi em conexão com esse trabalho sobre números imensos que Arquimedes mencionou. como. Nesta obra.Assim.1.000) corresponde a achar o produto dos números. Algumas histórias curiosas chegaram até os dias de hoje. A denominação dada a estes cálculos ocorreu séculos depois. mostrando para isso que era capaz de enumerar os grãos de areia necessários para preencher o universo.2. citou o princípio que séculos depois influenciaria Napier em sua invenção. 1. os babilônios as utilizavam com perícia em sua base sexagesimal e posicional. 1. o princípio que mais tarde levou à invenção dos logaritmos – a adição das "ordens" dos números ( o equivalente de seus expoentes quando a base é 100. Ele tentou prever todas as possíveis dimensões do universo. foi criada a Bait al-hikma (Casa da Sabedoria) que era o 8 . Sua contribuição para os logaritmos e os exponenciais foi dada em uma de suas obras conhecida como Psammites (contador de areia). por exemplo. Arquimedes trabalhava com números grandes e afirmava poder escrever um número que fosse maior do que o número de grãos de areia necessários para encher o universo.000. O que nos interessa nesta obra é exatamente algo que ele mencionou. Nesta empreitada foi traduzido para o árabe o Almajesto de Ptolomeu e a versão completa dos Elementos de Euclides. mas isto não muda em nada o fato de que tais métodos de cálculo já eram conhecidos e familiares aos babilônios quatro mil anos antes da era cristã. como podemos perceber. Matemática árabe: A matemática árabe desempenhou papel fundamental no desenvolvimento da matemática da Europa ocidental. Arquimedes.
escrita por Nicolas Chuquet (morreu por volta de 1500).y). com possíveis influências da China o costume de trabalhar com frações decimais que. neste sentido. surge uma obra intitulada Triparty em la science des nombres. Atribui-se ao matemático al-Khashi (morreu em 1436) a invenção das frações decimais e sua utilização em detrimento das frações sexagesimais. Assim.cosy = cos(x + y) + cos(x . Essa é uma das quatro fórmulas de 'produto para soma' que na Europa do século XVI serviram.1. Os árabes sofreram grande influência da matemática dos hindus e. era representado por Além disso. nesta obra ele utilizou uma notação exponencial que seria de grande importância. Ele escreveu dois livros que exerceram um papel central na história da matemática. A potência das quantidades desconhecidas era representada por um expoente associado aos coeficientes dos termos. Nicolas Chuquet: Da França. Deve-se a dois árabes. Com relação à trigonometria que herdaram das obras gregas os árabes souberam utilizar o pensamento hindu que os influenciava para acrescentar novas fórmulas. um número da forma era representado como Esta notação revelou-se útil na medida em que desvelava as regras entre coeficientes e expoentes. posteriormente. para converter produtos em somas pelo método dito de prosthaphaeresis (adição e subtração em grego). Um dos grandes matemáticos deste período foi Mohammed ibu Musa al-Khowarizmi. antes da invenção dos logaritmos.cosx.4. Além disso. no período da renascença. Pouco se sabe a respeito dele. um sobre aritmética e outro sobre álgebra. ibn-Yunus (morreu em 1008) e ibn-al-Haitham "Alhazen" (956-1039) a introdução da fórmula: 2. De numero hindorum (Sobre a arte hindu de calcular) e Al-jabr Wa'l muquabalah. por exemplo. vem dos árabes. 1. a trigonometria árabe foi quase que totalmente baseada no sistema hindu. Do título do segundo livro nasceu o termo álgebra. tomariam um papel central com os logaritmos. ele trabalhava com expoentes iguais a zero e também negativos de forma que.equivalente árabe ao antigo museu de Alexandria. contudo. Ele foi capaz de efetuar a divisão de 72x por 9 .
por John Napier (1550-1617).2. suas tabelas e as réguas de cálculo eram praticamente o único meio de se realizar cálculos difíceis. que o nome "logaritmo" passou a fazer parte do universo dos estudiosos e cientistas da Europa. às seqüências geométricas. é adequado pintar um quadro geral do período em que este homem viveu. Ele elaborou uma tabela de valores com as potências de 2 e que em muito se assemelhava as tabelas de logaritmos. Maor (2003) cita. todo o mundo. fornecendo como resultado . em seu livro " e: A história de um número" a relevância da invenção dos logaritmos. consideramos relevante tomar "invenção" dos logaritmos como um marco na história da matemática. A respeito disso Boyer comenta: Desta forma. como podemos perceber. Transição do Renascimento para a modernidade: Inicialmente é importante destacar que o conceito que está associado aos logaritmos está intimamente ligado ás potências e. conseqüentemente. Antes de nos determos mais especificamente em John Napier e em seus logaritmos. posteriormente. cartografia. astronomia. ou seja. alguns conceitos de relevância para a invenção dos logaritmos foram se firmando de forma gradativa na mente dos homens. Geografia. mesmo antes da invenção dos logaritmos de Napier. O que se pode afirmar é que foi a partir da publicação de Mirifici logarithmorum canonis descripti (Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos) em 1614. destacando que de 1614 até 1945 (data em que o primeiro computador eletrônico passou a funcionar) os logaritmos.8x³. Desde a Babilônia até o período da Renascença muitas foram as contribuições que serviram às mentes criativas do século XVI e. ao próprio Napier. É fato conhecido que houve grande expansão do conhecimento científico e técnico em diversas áreas entre os séculos XVI e XVII. 1. alcançando também a China e. Assim. 10 . física e matemática são alguns dos exemplos mais citados. em particular.
com a queda de Constantinopla passou a perceber o universo a sua volta sob novos prismas o que.Apenas para se perceber as quanto certas invenções impulsionaram outras tantas. na história matemática. a matemática árabe já havia "conquistada o mundo" e influenciado a Europa ocidental. Galileu Galilei (1564-1642). A trigonometria. desde o renascimento . Além disso. Simon Stevin (1548-1620). Além disso. em particular. Não é de se espantar que isto tenha ocorrido. Bonaventura Cavalieri (1598-1647). certamente. culminou com a vitória do heliocentrismo em detrimento do geocentrismo (Copérnico). A capacidade de atingir grande quantidade de pessoas com suas idéias e se fazer ouvir pode ser considerado um dos fatores primordiais da grande explosão de conhecimento deste período. que por muito tempo representou uma eficiente ferramenta para os astrônomos havia atingido o status de disciplina independente. basta citar o caso da impressão com tipos móveis. Consta que um dos primeiros matemáticos a utilizar a "invenção" de Napier foi Johannes Kepler (1571-1630) no cálculo das órbitas planetárias. 2003. o mundo europeu presenciou um grande avanço técnico que possibilitou a expansão marítima: a circunavegação do globo feito em 1521 por Magalhães.184). Reproduzimos alguns nomes de destaque deste período: Fançois Viète (1540-1603). O intervalo de tempo.por volta de 1453. Henry Briggs (1561-1639). "O primeiro livro impresso na Europa Ocidental data de 1447. Algo semelhante só se verificaria muito tempo depois com a invenção da televisão e posteriormente dos computadores e. principalmente. por sua vez. É importante citar ainda que neste período muitas das obras matemáticas da Antigüidade já haviam sido recuperadas influenciando alguns trabalhos da época. John Napier (1550-1617). e pelo fim do século mais de 30000 edições de várias obras estavam circulando. que vai aproximadamente de 1540 até 1690 pode ser considerado como o período de transição da renascença para a modernidade. É neste período que algumas figuras importantes despontam na história da ciência e." (BOYER. Albert Girard (1590-1633). pp. visto que Kepler e Napier foram contemporâneos numa época de efervescência 11 . Johann Kepler (1571-1630). da internet. O homem. segundo Boyer (2003).
Estudou religião na infância e na fase adulta demonstrou muito interesse no ativismo religioso. ótica) e é considerado o primeiro autor italiano a utilizar os logaritmos.3. John Napier. no castelo Merchiston. Após esta visão geral podemos tratar mais detalhadamente da gênese da "invenção" e a vida do "inventor" dos logaritmos. 2003. Um período em que a divulgação de estudos e pesquisas foi facilitada pela impressão. segundo consta. pp. Era protestante e mantinha posição radicalmente oposta ao papado. o levou a inventar "um parafuso hidráulico para controlar o nível da água nas minas de carvão"(MAOR. mas é lembrado nos dias de hoje não pelo seu ativismo religioso ou preocupações com a terra. O fato é que não se sabe se isto realmente aconteceu ou se ele chegou a construir realmente algum tipo de armamento. Seu interesse diversificado. voltado para preocupações práticas. Napier. Napier e a contribuição de Briggs: 1.16). Em 1632 ele publicou um trabalho (Directum Universale Uranometricum) com tabelas de logaritmos com até oito casas decimais. Boaventura Cavalieri (1598-1647). Uma característica geral dos matemáticos desta época era a preocupação com diferentes áreas de pesquisa. planejou construir espelhos de grandes proporções para incendiar navios inimigos. Ele possuía título de nobreza (barão de Merchiston) e. por exemplo. Em um de seus livros de cunho religioso chegou a afirmar que o papa era o anticristo. mas sim por uma idéia que lhe consumiu anos de trabalhos e esforços: os logaritmos. A motivação dele pode ser mais bem compreendida a partir do trecho a seguir: 12 . não era matemático profissional.1. Com relação à matemática ele tinha interesse especial na computação numérica e trigonometria.3. portanto. 1. era dono de terras e se preocupava também com a melhoria das colheitas e do gado. escreveu textos relacionados à matemática e à física (geometria. astronomia.cultural e científica. trigonometria. John Napier e suas motivações e inspirações: John Napier nasceu em 1550. Com relação a preocupações militares ele demonstrou conhecer as histórias relacionadas a Arquimedes e. próximo a Edimburgo na Escócia.
Isto exigia "algo" que facilitasse tal atividade e foi pensando nisso que Napier começou a desenvolver os logaritmos. o objetivo de Napier era o de obter uma relação tal que: f(x.cos(y)= cos(x+ y)+cos(x . Nestes casos. Cabe destacar que as fórmulas 2. sua futura esposa.3. Assim podemos considerar que Napier estava rodeado de boas idéias que já eram conhecidas e utilizadas.O desenvolvimento científico e tecnológico do período em que Napier se encontrava impôs uma problemática específica de cunho prático relacionado às grandes quantidades de dados numéricos e os cálculos envolvendo números grandes. que presumivelmente fazia parte desta comitiva quem informou Napier da utilização das regras de prosthaphaeresis na Dinamarca. bastava ter algumas tabelas com valores já calculados.sen(y)= cos(x . para tanto.y) .2.cos(x+ y) eram chamadas neste período por "fórmulas de Werner" (Johannes Werner 1468-1528). 1.c. John Craig. os cálculos que eram efetuados nos observatórios astronômicos da Dinamarca também serviram de matéria prima para a sua criação. Assim. e que contribuíram para "criar" seus logaritmos.sen(x).) e Stifel (1487-1567) que trabalhavam com potências sucessivas de um dado número. A base "( 1 – 1/107)" de Napier: Com base no que foi relatado na seção anterior podemos ter uma noção exata do que Napier desejava fazer. Ao que parece os logaritmos não "surgiram do nada". Duas das fontes de inspiração de Napier eram os trabalhos de Arquimedes (por volta de 287–212 a. E. Basicamente era transformar uma operação mais complicada em uma mais simples e. 13 .y) e 2. médico de James VI. que eram regras que transformavam um produto de funções numa soma (ou diferença). as seguintes relações saltam aos olhos: Além dessas inspirações. segundo consta. Tais observatórios utilizavam as chamadas regras de prosthaphaeresis da trigonometria. foi o Dr. Percebam que é relativamente mais simples somar e subtrair que multiplicar e dividir. Isto simplificaria muito o trabalho de cientistas envolvidos com grandes e enfadonhos cálculos.y) = f(x) + f(y) e f(x/y) = f(x) – f(y). Em 1590 James VI da Escócia e uma comitiva viajaram para a Dinamarca para encontrar Anne da Dinamarca.cos(x). pois se difundiu a informação de que foram utilizadas por Werner para simplificar cálculos astronômicos.
porém. Napier sabia que em tais seqüências. ao que parece. Ele escolheu como unidade . na verdade. Ele desejava escrever os expoentes de maneira a formar uma faixa contínua (ou quase) de valores. no trabalho com a trigonometria. Esta escolha que nos parece estranha hoje tem um motivo. inspirou-se nestes dividir o raio do círculo unitário em época e. As frações já eram bem conhecidas na época de Napier. Considere a seqüência geométrica que resultados obtidos por Stifel. Um valor que fosse uma fração da unidade. deveria tomar um valor "pequeno" para base. para conservar os termos "próximos". contudo. 14 . ele havia percebido que os expoentes formavam uma progressão aritmética. Ele pensava nos logaritmos como razões entre segmentos. ou seja. que significam respectivamente. Michael Stifel (1487-1567) havia estabelecido. Napier. haviam sido recentemente introduzidas na Europa por Simon Stevin. pois era prática comum em sua época. apesar de converter sua idéia em forma numérica por meio de tabelas. Napier criou o termo logaritmo a partir da junção de "logos" e "arithmos". Isto implicava num certo desconforto ao se lidar com este tipo de frações.Napier provavelmente percebeu que seus problemas diminuiriam substancialmente se fosse capaz de converter produto em soma e divisão em subtração seguindo os exemplos já conhecidos para a trigonometria e para as seqüências de potências de mesma base. anos antes. partes. Chamamos a atenção para o fato de que Napier não utilizava potências de dez. de forma dinâmica. Logaritmo é uma palavra que significa número proporcional. uma relação entre os termos de uma progressão geométrica e os expoentes dos respectivos termos. como base. elas eram entendidas como proporções entre números inteiros. Para montar suas tabelas ele pensou nos logaritmos como valores de uma seqüência geométrica. nem mesmo pensava no conceito de base. As frações decimais. não utilizava base decimal. "razão" e "número". escolheu o número Com isto ele era capaz de conservar próximos os termos de sua progressão geométrica de potências inteiras. Napier apenas seguiu o que se fazia em sua Stifel percebeu Além disso.
3. ampliando a tabela pouco . no caso de Napier iii) Suponha um ponto C percorrendo o segmento AB e um ponto F percorrendo a semi-reta DX de forma que ambas iniciam o movimento simultaneamente a partir dos extremos A e D respectivamente. Ele. com isso. 1. ele usou como um tipo de "proporção" para construir uma tabela subunidades. (iv) Suponha ainda que C e F possuam a mesma velocidade inicial. Ele não possuía computador. em hipótese alguma. que durou cerca de 20 anos. Napier imaginou os seus logaritmos de forma dinâmica. seguida de de valores a partir da unidade.3. A seguir tentaremos explicitar a forma como ele a concebeu: (i) Suponha. (v) Admitamos que a velocidade de C seja dada pela medida CB e que a velocidade F seja constante (igual à velocidade inicial de C). pensando em segmentos. o que. calculadora ou outro recurso que agilizasse o serviço e por isso mesmo preferiu evitar as frações decimais com as quais não estava acostumado e ainda era familiar a grande maioria dos europeus. com . por exemplo. semiretas e em velocidades. Napier não tinha em mente o conceito de base de logaritmos e. diminui a relevância de sua empreitada e esforço em busca de um método que fosse capaz de simplificar cálculos grandes e cansativos. Posteriormente ele continuou este trabalho.Assim. todos os princípios eram explicados em termos geométricos. 15 parte. foi realizado com papel e pena. montou uma primeira tabela com 101 elementos. Uma das diferenças básicas entre o que se estuda nos dias de hoje e o que foi criado por ele diz respeito à forma como ele concebeu sua invenção. (vi) Nessas condições Napier pensou no logaritmo do número x = CB como sendo o número y = DF (o conceito de base não interfere neste tipo de definição). o segmento de reta AB e a semi-reta DX. Os logaritmos de Napier e os nossos logaritmos. que para ele era igual Ele iniciou sua tabela Os termos desta seqüência eram obtidos subtraindo-se do termo anterior sua original. algumas diferenças: Os logaritmos de Napier eram substancialmente diferentes dos logaritmos com os quais estamos habituados e estudamos nos dias de hoje. além disso. (ii) Tome AB como unidade. Todo este serviço.
) e comenta que Napier presumivelmente poderia ter utilizado um sistema de logaritmos na base 1/e. Consta que ele. decrescendo em proporções com sua distância a B e que a velocidade de F. dando notoriedade ao seu inventor. especialmente dos produtos e quocientes. Para ele. isto ocorre 16 . Boyer (2003) ilustra um exemplo. A soma e a subtração dos logaritmos de Napier diferem do que fazemos hoje. Veja o trecho a seguir: Outra diferença diz respeito às operações com logaritmos. Apenas em 1614 ele publicou a "invenção" dos logaritmos num trabalho intitulado Mirifici logarithmorum canonis descriptio. etc. de fato.Note que neste contexto o ponto C parte de A e se move ao longo de AB com velocidade variável. Q em lugar de F. Sua invenção foi rapidamente aceita e utilizada em toda a Europa.4. 1. A respeito desta concepção. Ainda segundo o referido autor. Briggs e sua contribuição ao trabalho de Napier: Henry Brigs (1561-1631) era professor de geometria e trabalhava em Londres. foi à Escócia para visitar pessoalmente John Napier. empolgado com a nova invenção.3. C em lugar de D. por exemplo. admitindo a operação por termos Segundo Boyer (2003) o conceito de função logarítmica estava implícito na definição de Napier assim como em todo o seu trabalho a respeito dos logaritmos. apesar de constante. utilizando outros pontos (P em lugar de C. este conceito não aflorou na mente de Napier visto que ele estava fundamentalmente preocupado com a simplificação das computações numéricas. está relacionada à velocidade inicial de C. similar ao que foi exposto.
um dos inventores desta nova área da matemática. Fermat. além disso. coube a Briggs construir a primeira tabela de logaritmos "briggsianos". a invenção do Cálculo e as funções exponenciais e logarítmicas: A palavra Cálculo é utilizada indistintamente como sinônimo da subárea da matemática conhecida como Cálculo Diferencial e Integral. isto é. ou ainda o logaritmo de N na base 10. a Leibniz. ou. sobretudo. Pode-se dizer que Briggs. propôs fazer o logaritmo de 1 igual a zero. ou seja. Seu trabalho foi publicado em 1624 e suas tabelas davam os logaritmos de base 10 para todos os inteiros de 1 a 20000 e de 90000 a 100000 com precisão de quatorze casas decimais.Isto ocorreu em 1615 e. introduziu o conceito de base na invenção de Napier. A questão do infinito. 1. A forma como Briggs fez isto é descrito por Boyer: Cabe ressaltar que nas tabelas elaboradas por Briggs todas as relações hoje conhecidas e demonstradas se aplicavam e. neste encontro. como Boyer e Maor citam logaritmo comum de N. 1. O problema se resume basicamente à procura de uma figura geométrica plana fechada que tenha mesma área de outra figura geométrica considerada. Briggs propôs a adoção de potências de dez e. eles discutiram modificações nos métodos de cálculo dos logaritmos e em sua estrutura. Uma última informação a respeito de Henry Briggs é que foi a partir de seu trabalho em 1624 que as palavras "mantissa" e "característica" passaram a ser utilizadas nas operações com logaritmos a partir das tabelas de valores. a questão da quadratura e o Cálculo: Uma das questões que inquietou muitos matemáticos no decorrer dos séculos foi à questão da quadratura de curvas. assim sendo. Esta denominação é devida. No caso dos polígonos na geometria Euclidiana sempre é possível dissecar os polígonos em 17 . apenas dois após este encontro. Com a morte do inventor dos logaritmos em 1617.4. log1 = 0. neste encontro.1.4. A palavra em si tem sua origem associada à palavra latina "calculus" e que nos remete ao uso de pedras na atividade de contagem. nada diferiam do que se conhece atualmente a menos da notação. algo como o ábaco.
A área será então uma função da forma A(n) e. Considerando a hipérbole e tomando para análise a parte do gráfico que está no primeiro quadrante. com n >1. x ¹ 0. Fermat conseguiu a quadratura não apenas de uma hipérbole. o que torna a questão da quadratura bem mais simples do que. em um número infinito de pequenos retângulos. levou Fermat naturalmente ao caminho que posteriormente Newton viria retomar para a invenção do Cálculo. a hipérbole ou a parábola. por exemplo. mas também de diferentes curvas que podiam ser obtidas a partir de A questão da quadratura. A hipérbole foi uma das curvas que mais resistiu ao problema da quadratura. Foi dividindo um intervalo do domínio da função y = 1/x. como foi exposta. o eixo X e as linhas verticais x = 1 e x = n. se considerarmos figuras curvas como o círculo. Fermat foi um dos matemáticos da época que se debruçou sobre este problema e que posteriormente inspirou Newton na invenção do seu Cálculo. Foi a partir do método dos indivisíveis. que as tentativas de quadratura da hipérbole ficaram mais próximas de uma solução. que utilizava métodos algébricos para solucionar problemas geométricos. 18 .triângulos. também serviram de fonte inspiradora para o Cálculo de Newton e Leibniz. a questão da quadratura da hipérbole se resume a encontrar tal função. muito próximos da curva considerada. vencendo até mesmo Arquimedes e o seu método da exaustão. que Fermat obteve a quadratura da hipérbole. de maneira que suas áreas formassem uma seqüência geométrica. Descartes e a sua geometria. Modernamente encontramos nos livros de cálculo a expressão para representar esta área sob o gráfico da hipérbole. consideramos a área sob a hipérbole como sendo a área entre o gráfico. Além dele. com Cavalieri.
a partir das séries binomiais. o número y = f(x) e denotaremos por log (x) este número.2. .1].Newton. o eixo X. Sabemos do 19 . Definições formais das funções exponenciais e logarítmicas no Cálculo: Com o desenvolvimento do Cálculo. passou-se. concluiu que para todos os valores de t em (-1. mas que sua convergência lenta tornaria tal tarefa impraticável. Esta abordagem é uma inversão do avanço histórico do conceito de logaritmo. parece trazer algumas facilidades no tratamento das propriedades relativas a logaritmos e exponenciais. utilizando os resultados de Fermat e abordando problemas relativos à área da hipérbole chegou a conclusão que a área delimitada pela curva para Além disso. contudo. que: logaritmo natural de x. 1. Consideremos o conjunto dos números reais positivos e a função definida como Cálculo chamaremos de logaritmo de x. fornecia como resultado log (t+1). a se preferir definir inicialmente os logaritmos utilizando o conceito de integral e em seguida trabalhar a função exponencial. em geral.4. ou ainda. Ele conjeturou que esta série poderia ser utilizada para calcular os logaritmos de vários números. levado a pesquisar sobre este resultado. x=0 e x= t.
b > 0) De fato: De (i) e (ii). É comum encontrarmos a notação ln(x) em lugar de para os logaritmos naturais. ou seja. demonstram-se os demais resultados conhecidos dos logaritmos. como f (x) = log(x) é uma bijeção de garantir que existe um elemento tal que podemos do domínio cuja imagem seja igual a 1. em particular. de forma análoga.b) = log(a) + log(b) (a. ela é infinitamente derivável. Assim.Do teorema fundamental do Cálculo obtém-se que para todo x maior que zero. ou seja. Demonstremos agora a propriedade fundamental dos logaritmos: log (a.b) = log(a) + log(b). Observe ainda que. 20 . Logo f (x) = log(x) é monótona crescente e. podemos concluir que log(a. existe Este elemento será o número e (número de Euler) e é denominado base do logaritmo natural.
esta questão não é tão simples como parece e só foi totalmente respondida com o desenvolvimento do Cálculo. contudo.É no mínimo curioso perceber que uma expressão relacionada às questões financeiras (juros compostos) está associada aos exponenciais e aos logaritmos por meio do Cálculo. Assim. Tais questões deram origem ao número e (número de Euler) e a função Consideremos a expressão que calcula o montante da aplicação de um capital C a juros compostos durante um tempo de aplicação t e com uma taxa i. Sabemos hoje que: A função exponencial é definida nesta abordagem como sendo a função inversa da função log (x).. do estudo da convergência de séries e o desenvolvimento da Análise.. no caso em que . para valores arbitrariamente grandes de x. então teremos exp(x) = y Ûln( y) = x. e montando uma tabela de valores podemos perceber que quanto maior o valor de x. 21 . a saber. contudo. chegamos à expressão fica de um valor.71828. se escrevermos exp(x) = y. o número e. mais próximo a expressão Intuitivamente pode-se crer que a expressão vai se estabilizar próximo de 2. Tal fórmula pode variar de acordo com as condições do problema considerado.
De fato. É comum denotarmos isto como Isto parece claro. pode-se concluir que que 2. neste caso. Passo 2 1. a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora. como ln (e) = 1. Segue deste fato também 22 . Além disso. donde Isto posto. diferenciando ambos os lados da igualdade encontramos Desta operação resulta que 1 = [Dx(y)]/y. do seguinte modo: Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior.y). Calcular: . por exemplo. pois da definição temos que x = ln(y) e.Como a função exponencial. então temos que ln(x) = a e ln(y) = b. então. Nas 8 – t horas restantes diminuem 10% em relação ao número de frutas da hora anterior. a função exponencial tem uma importante característica a ser destacada. donde a + b = ln(xy). [exp(x)]'= exp(x). Além disso. ln(x) + ln(y) = ln(x. é definida a partir da função logarítmica usando a relação inversa. a saber. daí.y Note que. logo exp(a+b) = exp(ln(xy)) = x. considerando x = exp(a) e y = exp(b). exp (a + b) = exp(a). podemos deduzir várias de suas propriedades com base nas propriedades da função logarítmica como. como as funções são inversas. (UERJ) Durante um período de oito horas. temos que exp (1) = e.exp(b).
48. ou seja: F(t) = [Q * 0.k) = 0.80^k0. Assim.64 de Q ou 64% da quantidade inicial. Considere log2 – 0.80² = 0.20)² Assim. b) O valor de t.80^k Porém.20Q = Q(1-020) Depois de 2 horas a quantidade será: Q(1-020) – 0.30 e log3 – 0.32 Tomando logaritmos de ambos os membros: 23 .9^(8 . inicialmente.10)^(t .80^k] * (1 .0.80^k * 0. depois de 2 horas a quantidade de frutas fica: F(t) = Q * 0.80^t Assim. na barraca. admitindo que. depois de t horas a quantidade será: F(t) = Q(1-0.k) = Q0.20Q(1-020) = Q(1-0.32Q 0. ao final do período de oito horas.k) = 0.90^(t-k) Para t=8. 32% das frutas que havia. depois de k horas a quantidade de frutas será: F(k) = Q0.32Q. o valor de F(t) = 0. depois de k horas a quantidade diminui num ritmo de 10% . Resposta: Vamos chamar de Q a quantidade inicial de frutas Depois de 1 hora a quantidade fica: Q – 0. Resposta: Seja um determinado valor de t que vamos chamar de k. logo depois de 2 horas resta 0.a) O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda.64Q Como a quantidade inicial era Q.20)^t = Q * 0.9^(8 . ou seja: Q0. há. supondo t=2.80^k0.
log10 = 3 * 0.8 = 3log2 . respectivamente.85) ^ t / 100000 1.088 ^ t = 4 * 0.2 = 0.06k = -0.088 / 0.85 t * (log1.32 = 5log2 .10k .(8 .2 = 1. a partir daí.1 = -0.8 = 8/10=2^3/10 0.04k = -0.85 ^ t) t * log1. qual o número mínimo de meses necessários para que a circulação do primeiro jornal supere a do segundo? (use log2=0.9 = 2log3 .32 = 32/100=2^5/100 log0.85) = 2 * 0.088 ^ t = 400000 * (0.088 = 2 * log2 + t * log0. a circulação do primeiro jornal cresce 8.04 log0.k) log(0.088 – log0.50 .k)* 0.10k .301 24 .8 + (8 . Se.9=9/10=3^2/10 0.50 -0.06 = 3 ---t = 3 2.9) = log(0.85 ^ t log(1.85) ^ t 1. (ANGLO) Num certo mês dois jornais circulam com 100.088 ^ t) = log(2 ² * 0.000 e 400.000 exemplares diários.50 -0.18 / -0.32) 0.04 = -0. Resposta: Usando as taxas mensais: 100000 * (1.10 log0.50 -0.30 .85 ^ t 1.80 % cada mês e a do segundo decresce 15% cada mês.088) ^ t = 400000 * (0.18 k = -0.088 ^ t = 2 ² * 0.32 + 0.85) = 2 * log2 t * log (1.klog0.log10 = 2 * 048 – 1 = -0.0.301).
Em 1545.602 t * 0. os matemáticos afirmavam não existir raiz quadrada de um número negativo. apesar de Cardano ter acrescentado que estas expressões eram sofísticas e sua manipulação era tão sutil quanto inútil.107 = 0.602 / 0. reconheceu a existência dos números complexos e demonstrou a insuficiência dos números reais: 25 . desde o século XII. Entretanto. pensamento que foi pregado por Bhaskara.t * log1.28 = 0. creditamos a ele a honra de ter sido o primeiro matemático fazer operações com os números complexos.107 t = 5. As primeiras tentativas bem sucedidas de caracterização destes novos números foram do engenheiro italiano Rafael Bombelli. Ele mostrou que e eram as soluções do problema. pois um número negativo não é quadrado de nenhum número.602 t = 0. É de se acrescentar que os matemáticos da época procuravam maneiras de se evitar o uso dos números complexos.626 t~= 6 meses ETAPA 3 1. que revelou regras para se operar com a unidade imaginária. o matemático italiano Girolamo Cardano propôs no capítulo 37 de Ars Magna o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40". PASSO 1 Por volta do século XVI.
Um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos. Wessel e Argand. sendo este escrito na forma e . impossíveis. parecem muito irregulares. o uso da expressão "números complexos". onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. Nomes como números sofísticos. No início do século XIX. ALGUMAS APLICAÇÕES 1 ) Fractais Nas últimas décadas Benoit Mandelbrot investigou entidades geométricas com propriedades especiais e características. que os números reais estão contidos no conjunto dos números complexos. que dominou com excelência o campo complexo. onde a e b são números reais . Em algum momento da vida. investigando o fechamento do conjunto sob operações algébricas e transcendentes. As nuvens. denominadas fractais. questionada por estudiosos como Galileu e Descartes. que se somam através da composição de translações. Os termos reais e imaginários foram empregados por Descartes em 1637. são apenas os pontos (ou vetores) do plano. Albert Girard introduziu a notação e Gauss. os números reais podem ser colocados na forma . provavelmente as observamos e vimos como suas formas diversificadas são capazes de 26 . que não aceitavam as pouquíssimas e pobres formalizações dos fenômenos naturais que não podiam ser descritos por Euclides em seus Elementos. foram os primeiros a compreender que os complexos não têm nada de "irreal". imaginários foram atribuídos aos números complexos. Nesta geometria são encontradas formas de descrever os vários fenômenos na natureza. Sabemos. Ainda antes de Mandelbrot.Até o século XVIII muitos matemáticos trabalharam com os números complexos. Há de se falar de Leonhard Euler. Todos estes estudos contribuíram para o entendimento que temos hoje de números complexos. e que se multiplicam através da composição de rotações e dilatações. já havia questionamentos sobre esta deficiência na matemática. em linguagem atual. por exemplo.
o que não leva o aprendiz a interpretar as operações como transformações geométricas. enquanto que o conjugado de a+bi é o simétrico de P em relação ao eixo das abscissas. isto é P(a. em que um objeto tem partes que apresentam as mesmas propriedades em várias escalas. e este por sua vez. b+d).b).b) + (c.assemelharem-se com muitos objetos comuns. podendo ser visualizada como rotações no plano. pode ser visto como um ponto P no plano cartesiano. animais e pessoas. como mostra a Outro exemplo é a representação geométrica da soma dos complexos (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) * i traduzida na soma vetorial (a.b). As nuvens são fractais como muitos outros objetos na natureza. ou como um vetor determinado pelo segmento orientado figura. .d) = (a+c. Tratar do significado geométrico dos números complexos beneficia a riqueza da visualização e elimina do aluno a visão demasiado formal e algebrizante do conjunto complexo. Um número complexo como um par ordenado de números reais (a. onde o seu módulo é a distância de P até a origem. como mostra o paralelogramo a seguir: 27 . como melhor observamos no caso do triângulo Siepinski: 2 ) Geometria As aplicações geométricas das operações entre os números complexos não são exploradas. Esta propriedade é a auto-similaridades.
00 * n f(n) = 2. O seu salário mensal s está determinado pelo número de blusas n que costura. Ela consegue costurar um mínimo de 20 e um máximo de 30 blusas por mês. Dê o domínio e a imagem e uma fórmula. 30 ] e Imagem = [ 40. quando possível: Uma costureira recebe R$ 2.00 ] 28 . 2. Expresse o texto por meio de uma relação. é os vértices um polígono regular de lados. 60.00 por blusa que costura. Passo 2 Resolver as seguintes situações-problema: 1. onde é um número complexo.00 * 20 = 40. Domínio = [ 20 .00 * 30 = 60. 20 <= n <= 30 Imagem: y natural. Resposta: Domínio: n natural. 40 <= y <= 60 f(n) = 2. as raízes de representam no plano complexo um triângulo eqüilátero inscrito.00 e f(n) = 2.00 Assim.00 . como mostra a figura. Por exemplo.As raízes de uma equação binomial.
2000x Coeficiente de x² > 0 possui ponto mínimo. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII.00 ETAPA 4 1.2000x. C(x) = -b / 2 * a = 2000 / 2 * (1) = 2000 / 2 = 1000 O valor mínimo do custo é de R$ 1. R é a receita total e C é o custo total da produção. que através de processos particulares. e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 – 1650). coeficiente de x² < 0.x² + 2000x --- L(x) = 8000x – 2x² Lucro. L(x) = 8000x – 2x² --- x = -b / 2 * a = -8000 / 2 * -2 = -8000 / -4 = 2000 O lucro será máximo para uma produção de 2000 unidades. Numa empresa que produziu x unidades. verificou-se que R(x) = 6000x – x² e C(x) = x² . em que L é o lucro total. Desse modo. estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. uma reta. C(x) = x² . uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos.2.000. inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem). qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor mínimo do custo? Resposta: L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 6000x – x² . que permitiram a representação numérica de 29 . Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela fórmula L = R – C. Nessas condições. PASSO 1 GEOMETRIA ANALITICA 1 – Introdução A Geometria Analítica é uma parte da Matemática. possui ponto máximo.
0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas. 1.c = unidade de comprimento). aparece à célebre frase em latim "Cogito ergo sum" . O ponto O(0. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.propriedades geométricas. 30 . visto acima. Veja a Fig. logo existo". sejam positivos à direita e negativos à esquerda. etc. No seu livro Discurso sobre o Método.2 – Coordenadas cartesianas no plano Com o modo simples de se representar números numa reta. Os números são chamados abscissas dos pontos. Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O. que será a origem do sistema. 1. a abscissa do ponto A' é -1. escrito em 1637. a abscissa do ponto A é 1. Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.c (u. basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O. O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OU é denominado eixo das ordenadas. A reta r é chamada eixo das abscissas. podemos estender a idéia para o plano.1 – Coordenadas cartesianas na reta Seja a reta r na Fig. a seguir: Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P. a abscissa da origem O é 0 (zero). ou seja: "Penso. Assim. É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. O comprimento do segmento OU é igual a 1 u.
x.a). y1) e B(x2 . definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante. Assim. elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros. o ponto médio de AB é o ponto M ∈ AB tal que AM = BM. cuja equação evidentemente é y = . Logo. a é negativo e b positivo.Yb) . Nestas condições.No 1º quadrante. Observe que todos os pontos do eixo OX têm ordenadas nula e todos os pontos do eixo OU tem abscissa nula. obtida da anterior. definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante. Os pontos do plano onde a = b. a e b são positivos. cuja equação evidentemente é y = x. Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = . de coordenadas simétricas. y2) as coordenadas do ponto médio M(xm . no 3º quadrante. dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OU é x = 0.Ya) e B(Xb. a alternativa correta é a letra B. dados os pontos A(x1 . ou seja. Os eixos OX e OU são denominados eixos coordenados. ym) serão dadas por: 4 – Baricentro de um triângulo 31 . deduz-se facilmente usando o teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B: Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2. ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo. 3 – Ponto médio de um segmento Dado o segmento de reta AB. 2 – Fórmulas da distância entre dois pontos do plano cartesiano Dados dois pontos do plano A(Xa. no 2º quadrante.
A área S desse triângulo é dada por S = ½ . Assim. (unidades de área) Para o cálculo do determinante de terceira ordem. Temos. são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A. 8) será o ponto G(6. | D | onde  D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A. portanto: A área S é normalmente expressa em u.2 – Condição de alinhamento de três pontos 32 . B(xb . 5. -1) e C(11. xc) e C(xc . pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC. B(xb . ya) .4).5).1 – Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(xa . B e C. Sendo G o baricentro. B e C. que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas. 5 – O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 5. Verifique com o uso direto das fórmulas. yg) do triângulo ABC onde A(xa .GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3. utilizamos à conhecida e prática regra de Sarrus. B(4. Nestas condições. yb) e C(xc . ya) .Sabemos da Geometria plana. yc) é dado por : Conclui-se.a. por exemplo. temos que AG = 2. yc). as coordenadas do baricentro G(xg .
deve verificar a equação : ax + by + c = 0. ou seja: D = 0. B e C estão alinhados. se pertencem a uma mesma reta. onde P é o ponto de interseção. x + (Xa – Xb) . concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo.y) pertencente à reta . Pela condição de alinhamento de 3 pontos. decorre que todo ponto P(x. podemos escrever: Desenvolvendo o determinante acima obtemos: (Ya – Yb) . Xa – Xb = b e XaYb – XbYa = c . Dadas as retas r: ax + by + c = 0 e s: a'x + b'y + c' = 0. yb). que é chamada equação geral da reta r . temos os seguintes casos: → as retas são coincidentes. 33 .Três pontos estão alinhados se são colineares. Coincidentes: r = s. y) um ponto qualquer desta reta . → as retas são paralelas.1. Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa . ya) e B(xb . 7 – Posição relativa de duas retas Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser: Paralelas: r ∩ s = ∅ Concorrentes: r ∩ s = { P }. Fazendo Ya – Yb = a. isto é. y + (XaYb – XbYa) = 0 . e podemos. Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1. pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ). 6 – Equação geral da reta. É óbvio que se os pontos A. então o triângulo ABC não existe. Seja P(x .
podemos escrever: y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n . Fica. onde o ângulo α é denominado inclinação da reta. y2). y1) e B(x2. obtemos y1 – y2 = m (x1 – x2) . ax + by + c = 0. Vamos apresentar em seqüência. Logo.a/b)x – c/b.a/b = m e . portanto bastante justificada a terminologia coeficiente angular para o coeficiente m. y1) e (x2 . ou seja: y = (. Chamando . fazendo x = 0. então elas possuem a mesma inclinação. conforme figura abaixo pode concluir que o valor de m é numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo α. logo. obtemos y = n. como vimos é igual a m . É o ângulo que a reta faz com o eixo dos x. e é chamada coeficiente angular da reta. a fórmula para o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos (x1 . Quanto ao coeficiente angular m.as retas são concorrentes . ou seja. ou seja. n) de ordenada n. y2) é : Se considerarmos que as medidas Y2 – Y1 e X2 – X1 são os catetos de um triângulo retângulo. O valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente linear da reta. concluímos que os seus coeficientes angulares são iguais. Podemos então escrever m = tg α. outras formas de expressar equações de retas no plano cartesiano: 8. Observe que na equação reduzida da reta. Observe que se duas retas são paralelas. 8 – Outras formas de equação da reta Vimos na seção anterior a equação geral da reta. Para achar a equação reduzida da reta. basta tirar o valor de y. Sendo y = mx + n a sua equação reduzida. a reta r intercepta o eixo dos y no ponto (0. A tgα. 34 .1 – Equação reduzida da reta Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0. considere a reta r passando nos pontos A(x1.c/b = n obtemos y = mx + n que é a equação reduzida da reta de equação geral ax + by + c = 0. Subtraindo estas equações membro a membro .
não existe a equação segmentária (Lembre-se: não existe divisão por zero). nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta. x = f(t) onde f é uma função do 1º grau y = g(t) onde g é uma função do 1º grau Nestas condições.y) um ponto genérico ou seja um ponto qualquer da reta. basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra. Nestas 35 . a seguir: Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos pontos (p. portanto.9 .Retas perpendiculares Sabemos da Geometria Plana que duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam entre si um ângulo reto (90º). para se encontrar a equação geral da reta. Sendo G(x.Equações paramétricas da reta Quando um ponto qualquer P(x. retas que passam na origem não possuem equação segmentária.Equação segmentária da reta Considere a reta representada na fig.0) e (0. 10 .q). y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro). através da condição de alinhamento de 3 pontos. Sejam as retas r: y = mr x + nr e s: y = ms x + ns. 11 . chegamos facilmente à equação segmentária da reta: Nota: se p ou q for igual a zero.
b) se as retas r e s fossem além de concorrentes. Neste caso a tangente não existe ( não existe tg 90º. o que resultaria em mr = ms. fossem paralelas. o produto dos seus coeficientes angulares Notas: 1 . sem. tendendo a zero. Já vimos isto num texto anterior.1 / mr é igual a -1. 2 . o denominador da fórmula anterior 1+mr . sabemos da Trigonometria). mas é bom repetir: RETAS PARALELAS POSSUEM COEFICIENTES ANGULARES IGUAIS. PERPENDICULARES.Ângulo formado por duas retas Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente. ao invés de serem concorrentes. a tangente do ângulo será um número cada vez maior. o denominador da fórmula teria que ser nulo. o seu denominador deve ser um número infinitamente pequeno. portanto tg  = 0 (pois tg 0 = 0). entretanto nunca se igualar a 90º. teríamos  = 90º. os coeficientes angulares teriam que ser iguais. tendendo ao infinito. Nestas condições. ms seria um número tão próximo de zero quanto quiséssemos e no limite teríamos 1 + mr . mas se considerarmos uma situação limite de um ângulo tão próximo de 90º quanto se queira. Nestas condições. a tangente do ângulo agudo θ formado pelas retas é dado por : ou mr . o ângulo  seria nulo e.condições podemos escrever a seguinte relação entre os seus coeficientes angulares: ms = . Ora. para que o valor de uma fração seja um número cada vez maior. 36 .Observe dois casos particulares da fórmula anterior. ou seja. ms = 0. que merecem ser mencionados: a) se as retas r e s.Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0 e 90º. ms = -1 Dizemos então que se duas retas são perpendiculares. 12 . tendendo ao infinito.
2x . Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos.2y .Ora. temos que dividir a equação pelo coeficiente de x² que é sempre igual ao coeficiente de y². ou seja. a equação reduzida da circunferência fica: x2 + y2 = R2. a equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2. cujo raio é igual a R. por exemplo.Estudo simplificado da circunferência Considere a circunferência representada no plano cartesiano. teremos: (x . Assim. Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Então. que é a condição necessária e suficiente para que as retas sejam perpendiculares. 37 . com os sinais trocados. podemos escrever a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 Equação geral da circunferência). cujo centro é o ponto C(xo . ms = 0. yo + yo2 . conforme já vimos num texto anterior publicado nesta página. basta achar a metade dos coeficientes de x e de y.R2 = F.2)2 + (y . podemos escrever que mr .y0) raio R. -2yo = E e xo2 + yo2 . Fazendo -2xo = D. para determinar as coordenadas do centro da circunferência.4)2 = 25. ou seja. se 1 + mr . xo + xo2 + y2 . basta desenvolver a equação reduzida. já vista em outro texto publicado nesta página.R2 = 0.x0)2 + (y . y) um ponto qualquer pertencente à circunferência. no caso da circunferência. que é conhecida como equação reduzida da circunferência de centro C(x0.4) é dada por: (x .E / 2. yo). conforme abaixo.D / 2 e y0 = . ms = -1. Temos: x2 . é sempre bom lembrar: RETAS PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTES ANGULARES QUE MULTIPLICADOS É IGUAL A MENOS UM. Se os coeficientes de x² e y² não forem unitários.0). sendo P(x. Para obter a Equação Geral da circunferência.y0)2 = R2. o ponto O(0. 13 . x0 = . Assim. concluímos que quando os coeficientes de x² e y² forem unitários.
6 . Portanto.E /2.F = 0 a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 representa apenas um ponto do plano cartesiano! Por exemplo: x2 + y2 + 6x . Mas. podemos determinar as coordenadas do centro e o raio como segue: xo = . -4) e o raio é igual a 5 u. Qual será a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassarem 1.7q = 8 R(q) = q² -7q .(-6) / 2 = 3. PASSO 2 Resolver as seguintes situações problemas: 1. Sendo R(q) = q² . pois não existe raiz quadrada real de número negativo . possa representar uma circunferência.D / 2 e yo = . xo = .7q = 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos.4. observemos que F = xo2 + yo2 - R2. o centro é o ponto C(3. temos: D = .c (u. Observe que se D2 + E2 . Logo.F > 0. podemos escrever a seguinte equação para o cálculo do raio R a partir da equação geral da circunferência: Cuidado! Para que a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0.6x + 8y = 0.c = unidade de comprimento). Qual a sua interpretação para o caso D2 + E2 .Para o cálculo do raio R. como não existe raiz quadrada real de número negativo. conclui-se facilmente que a circunferência não existe neste caso! Exemplo: Dada a equação x2 + y2 . pelas igualdades anteriores. E = 8 e F = 0.8 A função derivada de R : 38 .4. tem de ser atendida a condição D2 + E2 . encontre algebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos vendidos.8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas). yo = .4F ser negativo? Ora. 2. Logo.000 unidades? Resposta: R(q) = q² .8y + 25 = 0 a equação de um ponto! Verifique.
8 R(1000) = 1000² . a função derivada do custo marginal. Uma indústria tem seu custo total representado pela função C(q) = q² . devemos obter a derivada dessa função.00 2.000 unidades de brinquedos vendidos: R(q) = q² . temos: C(1) = (1)² .R'(q) = 2q – 7 A receita para a quantidade de 1. portanto o ponto (1.7 * (1000) . Resposta: C'(q) = 2q – 6 C'(1) = 2 * 1 – 6 C'(1) = 2 – 6 = -4. logo C'(1) = -4 Para q = 1. Dessa forma: a) Encontrar algebricamente. construindo seu gráfico. onde q representa a quantidade de tijolos produzidos e C(q) o custo total em reais.6q + 8.8 R(1000) = 1000000 – 7000 .8 R(1000) = R$ 992.6q + 8 C'(q) = 2q – 6 b) Determinar a equação da reta tangente à curva de C(q) = q² .6 * (1) + 8 = 1 – 6 + 8 = 3.992. Para obtermos a equação do custo marginal. Resposta: C(q) = q² . xo =1 e f'(xo) = -4 39 .3) Para calcular a equação da reta tangente à curva: y – yo = f'(xo) * (x – xo) Para : yo = 3 .6q + 8 no ponto q = 1.7q .
2y = 6. derivando a equação da circunferência em relação à x. onde f (x) = 2x² . pois muitas vezes uma equação em x e y pode definir mais de uma função implícita. então.6q + 8. por exemplo.3.3. Como o coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto. EXEMPLOS: 1) Mostre que a reta tangente à circunferência dada por x² + y² = r². temos: 40 . dizemos que y é uma função implícita de x. pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro.2y = 6 define a mesma função. PASSO 3 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x). em um ponto qualquer sobre ela. Entretanto. dizemos que y é uma função explícita de x. Quando escrita na forma 4x² . Solução: Seja um ponto qualquer sobre a circunferência.y – 3 = -4 * (x – 1) y – 3 = -4x + 4 y = -4x + 4 + 3 y = -4x + 7 A equação da reta tangente à curva C(q) = q² . é perpendicular à reta que passa por este ponto e a origem (reta que contém o raio este ponto). caso isso ocorra. pois isolando y obtemos y = 2x² . Vejamos.3). é y = -4x + 7 3. dizemos que y é uma função implícita de x. a equação 4x² . Observamos que y é uma função explícita de x. pois podemos escrever y = f (x).3. a equação y = 2x² . no ponto P(1. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e. Observação: É necessário tomar cuidado.
Como tomamos um ponto qualquer sobre a circunferência. o resultado vale para todos os pontos sobre ela. o fabricante tem interesse em produzir x mil unidades. fazendo o produto. geometricamente é fácil ver que o coeficiente angular da reta que contém o raio passando por .00 e está aumentando à taxa de 20 centavos por semana? 41 . é Por outro lado. temos: o que implica que a reta que contém o raio passando por é perpendicular à reta tangente à curva neste ponto. onde a oferta e o preço estão relacionados pela equação: Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9.Assim. é dado por Assim. o coeficiente angular da reta tangente à circunferência x² + y² = r² no ponto dado por . Vejamos o gráfico: 2) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais.
Vol.pdf>. 2010. obtemos: Isolando dx/dt e fazendo os cálculos necessários. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática).obm.2. 2005.20. São Paulo: Ática. obtemos: Fazendo x = 14. São Paulo: Ática. Volume único. 1° Ed. 42 . São Paulo: Pontifícia Universidade Católica. Matemática.sbem. Agora. encontramos Como a oferta é dada em milhares de unidades.Solução: Sabemos que para p = 9. temos: já que x = – 8 não tem significado físico para o problema. Luiz Roberto. BOYER.br/files/viii/pdf/15/PA07.R. Mário Servelli. derivando implicitamente os dois membros da equação de oferta em relação ao tempo.20 nesta equação.(2004). 2010. Queremos saber qual o valor de dx/dt. Matemática (Ensino Médio).br/opencms/revista_eureka/>. São Paulo: Edgard Blucher.org. Carl B. L. ROSA. Inicialmente observamos que para p = 9. concluímos que a oferta está aumentando à taxa de 206 unidades por semana. p = 9 e dp/dt = 0. Números Complexos: Uma abordagem histórica para aquisição do conceito. 1998. DANTE. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS < http://www.(1996) História da Matemática: 2º edição. DANTE. dp/dt = 0.com. Acesso em 15 nov. Acesso em 15 nov. < http://www.
http://www.(2003).paulomarques. Eli.com.htm Jornal A tribuna – Vitória/ ES Jornal A Gazeta – Vitória – ES 43 .MAOR.br/arq6. e:A história de um número. Rio de Janeiro:Record.