Curva de Agnesi – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, a curva de Agnesi, atribuída a Maria Gaetana Agnesi, é uma curva estudada por Agnesi em 1748 no seu livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. A curva tem a seguinte descrição:
Imagem ilustrando a construção da curva de Agnesi
Fixada uma circunferência, toma-se um ponto O nela. De qualquer outro ponto A da circunferência, traça-se a secante OA. Seja M o ponto diametralmente oposto a O. A intersecção entre a reta OA e a reta tangente à circunferência no ponto M é o ponto N. Por A, traça-se uma reta paralela a MN, e por N uma reta paralela a OM. Seja P a interseção entre essas duas retas. O caminho que P faz ao variarmos A é a chamada curva de Agnesi.
1.1 Equações paramétricas
3 História e nome da curva
Animação da construção da curva de Agnesi
Dado o círculo com raio a {\displaystyle a}
, considerando o ponto O na origem, a curva de Agnesi pode ser descrita pela seguinte equação:
Quando a = 1 / 2 {\displaystyle a=1/2}
, a equação fica da seguinte forma:
Equações paramétricasEditar
A equação paramétrica da curva, considerando o ângulo θ {\displaystyle \theta \,}
entre OM e OA, é
ou ainda, no caso de θ {\displaystyle \theta \,}
sendo o ângulo entre OA e o eixo x, a equação paramétrica fica:
Uma terceira parametrização, que utiliza apenas funções algébricas, consiste em:
{ x = 2 a t y = 2 a 1 + t 2 . {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&2at\\y&=&{\frac {2a}{1+t^{2}}}.\end{matrix}}\right.}
A área entre a curva de Agnesi e sua assíntota ( y = 0 {\displaystyle y=0}
) é quatro vezes a área do círculo fixado, (ou seja, 4 π a 2 {\displaystyle 4\pi a^{2}}
). Particularmente, para a = 0 , 5 {\displaystyle a=0,5}
, a área embaixo da curva é igual a π {\displaystyle \pi }
O volume de revolução da curva em torno de sua assíntota é de 4 π 2 a 3 {\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}
História e nome da curvaEditar
A curva de Agnesi foi estudada por Pierre de Fermat em 1666, Guido Grandi em 1701, e por Maria Agnesi in 1748.
Em diversas línguas, a curva de Agnesi é chamada "Bruxa de Agnesi", devido a um erro de tradução. John Colson, professor de matemática em Cambridge, que havia aprendido italiano apenas para traduzir a obra de Agnesi para o inglês, ao invés de ler la versiera di Agnesi, que significa curva de Agnesi, leu l'avversiera di Agnesi, onde l'avversiera significa bruxa. Desde então, em muitas línguas a curva recebeu esse nome.
Weisstein, Eric W. «Witch of Agnesi» (em inglês). MathWorld
"Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index
"Cubique d'Agnesi" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (em francês)
«MacTutor biography of Agnesi»
John H. Lienhard (2002). «The Witch of Agnesi». The Engines of Our Ingenuity. Episódio 1741http://www.uh.edu/engines/epi1741.htm |transcriçãourl= missing title (ajuda). NPR. KUHF-FM Houston