Ementa de Calculo III
Cálculo Infinitesimal III (MAE 231)
Apresentar o cálculo integral de várias variáveis. Apresentar o teorema de Stokes na linguagem de formas diferenciais com aplicações em Física.
1. INTEGRAL DEFINIDA (2 horas)
Definição de integral para funções de duas ou mais variáveis. Densidade, média e outros conceitos associados ao de integral. Observações sobre métodos numéricos.
2. INTEGRAIS ITERADAS (4 horas)
Princípio de Cavalieri. Integrais iteradas. Cálculo de integrais.
3. MUDANÇAS DE VARIÁVEIS (8 horas)
Revisão do significado geométrico do determinante. Revisitação à fórmula de mudança de variável em dimensão 1. O jacobiano como ¿fator de esticamento¿. Jacobiano em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Cálculo de integrais.
4. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE (4 horas)
Revisão de produto vetorial. Elemento de área de superfície parametrizada. Cálculo de integrais.
5. FLUXO (6 horas)
Significado físico do fluxo de um campo de vetores através de uma superfície e definição (para superfícies parametrizadas). Cálculo de integrais. Ângulo sólido.
6. INTEGRAL DE LINHA (6 horas)
Potencial de um campo de vetores. Campos conservativos e equações diferenciais. Energia cinética e trabalho, definição de integral de linha. A forma de variação de ângulo.
7. O TEOREMA DE KELVIN (12 horas)
Equivalência entre existência de potencial e invariância por caminhos. Dedução do teorema de Kelvin, dito de Stokes. O rotacional. O teorema de Green e aplicações: área com sinal limitada por uma curva fechada, teorema fundamental da Álgebra, teorema de Brouwer. O rotacional como velocidade angular.
8. O TEOREMA DA DIVERGÊNCIA (10 horas)
Campos de velocidades. Dedução do teorema da divergência. Divergência como densidadede fluxo. Divergência e taxa de expansão volumétrica. Estudo do campo gravitacional/elétrico.
9. APLICAÇÕES À FÍSICA. EQUAÇÕES A DERIVADAS PARCIAIS (24 horas)
Campo de velocidades de um fluido, equações de Euler. Difusão. Estudo das propriedades do laplaciano. Propriedade da média e princípio do máximo. Fórmula de Poisson. Equações de Maxwell. Leis de conservação e ondas de choque. Sistemas hamiltonianos, invariante integral de Poincaré-Cartan.
10. FORMAS DIFERENCIAIS (10 horas)
Discussão sobre a possibilidade de unificação dos teoremas fundamental do Cálculo, de Kelvin e da divergência. Formas diferenciais e cadeias. A idéia do teorema geral e o conceito de derivada exterior. Questões topológicas subjacentes, comentários sobre os teoremas de de Rham. A recíproca do lema de Poincaré.