A mente humana é o objeto de estudo das ciências cognitivas, mas o seu entendimento e manipulação é a especialidade dos ilusionistas. Nos últimos anos houve um florescimento da interação entre cientistas e mágicos. Como fruto desta colaboração, novos e interessantes descobrimentos sobre o funcionamento do cérebro foram feitos. No Laboratório de Neurociência Integrativa da Universidade de Buenos Aires nos interessamos particularmente pela questão do livre arbítrio. Os mágicos são especialistas em fazer-nos crer que fomos livres numa escolha quando eles, na verdade, nos manipularam psicologicamente para fazer-la. Estudando este fenômeno, conseguimos demonstrar que a dilatação das pupilas de um sujeito pode nos informar, não somente qual escolha foi feita, mas também se o sujeito sentiu-se livre na escolha (ou não). Vou apresentar este estudo nesta palestra. Além disso, irei fazer uma performance de “matemágica”, uma demonstração de atletismo mental que venho fazendo em Buenos Aires como show em um teatro para 600 pessoas seis vezes por semana.
Um tabuleiro de Resta Um tem inicialmente algumas peças abaixo de uma linha especial demarcada, a “fronteira”. Realizando apenas movimentos permitidos desse jogo (uma peça pode “comer” uma peça vizinha, pulando sobre ela), quantas linhas além da fronteira você consegue avançar com alguma peça? Serão oferecidos 3 prêmios especiais a quem conseguir atingir 3, 4 ou 5 linhas além da fronteira. Valor total dos prêmios: R$ 1.000.000.000.000,00.
Todos amamos as derivadas. Alegramo-nos com as funções infinitamente diferenciáveis. Não é para menos: tal suavidade esconde inenarráveis segredos. Venha participar desta emocionante jornada onde nada — nem mesmo nosso querido mundo, o R^4 - é o que parece ser. O (in)discreto charme da topologia (diferencial) aguarda você!
Alguns truques de magia têm fundamentos matemáticos e servem para mostrar que nem sempre o intuitivo é o verdadeiro. Serão apresentados pequenos números envolvendo Aritmética, Geometria e Combinatória e a platéia será convidada a revelaro embuste apresentado pelo mágico. Todo truque de magia se assenta em um único axioma: “Há sempre uma trapaça”.
Uma nova abordagem sobre as aplicações da Teoria dos Conjuntos para a resolução de problemas de engenharia, especificamente no que tange à construção de hotéis infinitos.
Os sites de busca mudaram a forma como usamos a internet. Grande parte desta revolução é atribuída ao surgimento do Google, um buscador criado por dois alunos de doutorado em Stanford. O sucesso do Google, por sua vez, se deve ao seu inovador algoritmo de ordenamento dos resultados das buscas, o PageRank. Além de poder computacional, o PageRank se utiliza de muita matemática legal! Vamos entender um pouco sobre a ideia que levou à formulação do PageRank, bem como sobre a matemática que faz tudo isso funcionar.
Um demônio da Tasmânia (um ponto) está nas planícies australianas (o plano euclidiano) e deseja capturar sua presa, um porco (outro ponto), que vai tentar fugir por algum caminho (uma curva no plano). O demônio da Tasmânia é infinitamente rápido, mas não pode enxergar o porco. Existe alguma maneira para esse voraz predador garantir seu almoço? Sim, graças a Peano! Vamos resolver o problema construindo um tipo especial de Curva de Peano, que é o assunto do seminário anterior a este. Os dois seminários são independentes, não se preocupe! E esse problema legal, de enunciado tão simples, foi o mais difícil proposto em uma prova de olimpíada internacional de matemática universitária no ano 2000, mas nem por isso você deve se desencorajar de assistir ao seminário: a matemática mais avançada a ser utilizada é a fórmula da velocidade média da Física.
Vamos mostrar uma função contínua e sobrejetora que sai do intervalo unitário e chega no quadrado unitário e a partir dela construir algumas outras funções interessantes que põem em cheque a intuição de que o espaço possui mais pontos do que a reta.
Trabalhar sete dias seguidos? Acordar de manhã bem cedo, deitar bem tarde, não dormir! Trabalhar de dia ou de noite? Férias todas só no Verão! Descansar ao Domingo?
São dois problemas: Uma pessoa vê um acidente e depois é chamada como testemunha. Quanto deste testemunho tem que ser levado em conta? O segundo problema: 11 pessoas em uma república querem que a geladeira só possa ser aberta quando pelo menos 6 delas estejam lá. Tem como? Quantos cadeados seriam necessários? Quantas chaves cada um teria que carregar?
Pretendemos apresentar alguns milagres emocionantes em Geometria Euclidiana descobertos (mais ou menos) recentemente. Não vamos demonstrar nada difícil, nem nada fácil. A ideia é tão somente sugerir alguns problemas atraentes que poderiam, no futuro, ser individualmente discutidos no Seminário de Coisas Legais. Atenção: alguns destes resultados podem levar às lágrimas. O Seminário de Coisas Legais não se responsabiliza pela saúde de seus ouvintes e, mais importante, não oferecerá lenços.
Você já viu uma broca que faça um furo quadrado? E uma moeda que não seja redonda (aliás, qual o motivo para elas serem redondas?) Já viu uma bicicleta com rodas quadradas? E a lei do impedimento, você entende?
A matemática que conhecemos modela com tanta perfeição o mundo real? Em 1924, os grandes matemáticos Stefan Banach e Alfred Tarski colocaram esta ideia em cheque! Eles mostraram que é possível cortar uma esfera (uma laranja? ou a casca dela pelo menos?) em uma quantidade finita de pedaços, reorganizá-los e montar duas esferas de mesmo tamanho que a original! Se isso não colocou em dúvida o modo como chegamos às verdades matemáticas, deixou muitos matemáticos, do século passado e ainda desse, com receio se estamos construindo o edifício matemático sobre alicerce seguro! Neste seminário, faremos um esquema da prova (praticamente a prova toda!) desse fato, que ficou conhecido como o Paradoxo de Banach-Tarski.
Nesta palestra, vamos comemorar os 200 anos deste grande matemático. De quebra, mostraremos algumas das ideias fundamentais do seu trabalho que,dentre outras coisas, mostra a inexistência de um análogo da fórmula de Bhaskara para polinômios de grau maior ou igual a 5.
Nesta apresentação, vamos entender um pouco sobre a bonita relação que há entre a Teoria dos Números e a Geometria. Para isso, vamos utilizar as ideias criadas pelo geômetra Minkowski para resolver dois problemas clássicos da Teoria dos Números: a soma de dois quadrados e a soma de quatro quadrados.
Existe um teorema muito famoso que diz que é possível pintar um mapa qualquer usando apenas quatro cores. Este problema ficou em aberto por mais de 100 anos e as provas conhecidas fazem uso massivo de computadores. Mostraremos aqui a prova de que podemos pintar um mapa qualquer usando cinco cores, um resultado apenas um pouco mais fraco, mas que tem uma demonstração muito mais simples e elegante.
Vários problemas em Matemática envolvem matrizes positivas, isto é, matrizes cujas entradas são todas positivas. Por exemplo, sabendo as taxas de imigração e emigração entre certas cidades, e que tais taxas permanecem constantes ao longo do tempo, é possível deduzir as populações das cidades em um futuro longínquo com extraordinária precisão, mesmo sem saber quase nada sobre a população atual! Este resultado envolve o estudo de matrizes positivas, utilizando o chamado Teorema de Perron-Frobenius. A demonstração deste resultado é também fascinante, pois faz uso e tem conexões com várias áreas da matemática, como espaços métricos (Princípio de Contração de Banach) e Geometria (geometrias não euclidianas).
Vamos apresentar alguns problemas para se pensar durante as férias e que podem se tornar uma apresentação no seminário.
O objetivo deste seminário é o de provar, usando Indução Matemática, que o jogo “Torre de Hanói” possui solução para qualquer número de discos, além de oferecer o processo para terminá-lo com o menor número possível de movimentos. Mostraremos, também, que tal número é dado em função da quantidade de discos e pode ser definido usando-se recorrência.
Apresentaremos alguns paradoxos e suas respectivas soluções. Dentre estes, está o de Monty Hall, que promete gerar uma certa “polêmica” devido ao seu resultado contra-intuitivo. Além disso, iremos calcular a probabilidade de que em um grupo de N pessoas, pelo menos duas tenham a mesma data de aniversário. Qual o valor mínimo de N para que este valor ultrapasse os 50% ? Este é outro resultado estranho, porém, verídico.