ELEMENTOS: 110-Somatórios Trigonométricos e TDL do Seno e Cosseno
110-Somatórios Trigonométricos e TDL do Seno e Cosseno
-A demonstração das identidades
- Com as identidades, o cálculo dos somatórios e ;
- Com os somatórios, a obtenção das transformadas discretas de Laplace ( ) e nas bases e .
Fórmulas para seno e cosseno de arcos múltiplos
Primeira identidade.
Demonstração. Levando em conta que , temos
Somando com , obtemos
Mas como , chegamos à
Segunda identidade.
Demonstração. Desde que , temos
Somatório exponencial-trigonométrico do seno
Usaremos a primeira identidade. Começaremos com
À partir da segunda parcela, colocando em evidência e, por sua vez, em evidência, temos
Agora, adicionando e subtraindo termos dentro dos colchetes de forma que se complete , temos
Por fim, resolvemos a equação em :
Somatório exponencial-trigonométrico do cosseno
O somatório é calculado nos mesmos moldes do anterior. Usaremos, desta vez, a identidade para . Observem que no processo não utilizaremos de forma nenhuma a função seno.
Agora, adicionando e subtraindo termos dentro dos colchetes de forma que se complete ,temos
A transformada discreta de Laplace ( )
A transformada discreta de Laplace ( ) é um operador que se usa sobre uma função discreta ( domínio natural ) de forma que obtemos uma outra função em uma nova variável: .
Temos duas versões da .
A primeira consiste em multiplicar a função discreta por e calcular o somatório nos limites e . ( real positivo e = número de Euler ).
Na segunda versão, multiplicamos por e calculamos o somatório nos limites e . ( real positivo ).
A existirá, desde que seu somatório específico tenham um limite.
da função discreta ( )
Base . Se , , com e mudando os limites inferior e superior do somatório para e , respectivamente, temos
Base . Se , , com e mudando o limite superior do somatório original para , temos
Analogamente, mas utilizando e com a ressalva de que , temos
Manual de Sequências e Séries - Volume , Luís Lopes, QED TEXTE, ;
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas - Terceira edição, Coleção SCHAUM, Bookman, ;
Fundamentos de Matemática Elementar, Volume - Trigonometria, Atual Editora, .
109-Seno e Cosseno de Ângulo Múltiplo
105-Versões Discretas da Transformada de Laplace e da Função Gama
029-Somatórios Trigonométricos
A TDL e Aplicações nas Equações de Recorrência ( do blog FATOS MATEMÁTICOS )
Postado por Aloisio Teixeira às 11:03
Prof. Paulo Sérgio 2 de abril de 2013 18:58
Olá Aloisio. Não consegui ler as equações acima. No seu computador elas aparecem normalmente?
Aloisio Teixeira 2 de abril de 2013 19:51
Sim, Paulo, normalmente, pelo menos no Firefox.
Prof. Paulo Sérgio 3 de abril de 2013 00:21
Eu passei a usar o Chrome depois que eu tive aquele problema no blog. Os outros publicados eu consigo ler. Acabei de ver o post de número 108 e as equações aparecem normalmente.
Com o novo editor que eu uso, as vezes algumas fórmulas não funciona. O que eu faço é usar o Latex Online e colocar a equação na forma de imagem.
Tudo bem, vou ler com calma este seu post na forma que está.
Prof. Paulo Sérgio 3 de abril de 2013 18:37
Muito bom o post Aloisio. Usou apenas ferramentas elementares para obter as identidades trigonométricas e em consequência as TDL's de sin(na) e cos(na). Eu usei a identidade de Euler para obter as TDL's.
Aloisio Teixeira 3 de abril de 2013 19:19
Na referência [1] da bibliografia as fórmulas para sen(na) e cos(na) são usadas sem demonstração para as provas dos somatórios mistos.
Para completar meus conhecimentos, eu adoraria ver seu processo para as TDL's das funções trigonométricas.
tavano 5 de abril de 2013 15:38
Oi, Teixeira!
Há muito tempo não "encaro" integrais e somatórios "escabrosos" mas me parece que são do teu gosto. Tomo a liberdade de lhe sugerir um livro: "Fisica Matemática de Butkov" Era (ou é) um livro-texto para os alunos de Física da USP.(720 páginas)(Eugene Butkov)
Vetores,matrizes e Cordenadas - Funções de uma variável complexa -Equações diferenciais lineares de segunda ordem - Séries de Fourier -Transformada de Laplace - Teoria das distribuições - Transformadas de Fourier -Equações diferenciais parciais -Funções especiais - Espaços de dimensão finita -Espaços de dimensão infinita - Funções de Green - Métodos variacionais -Ondas, radiação, espalhamento - Métodos de perturbação - Tensores
Espero que goste (caso não o conheça) abçs
Aloisio Teixeira 5 de abril de 2013 22:24
Gosto muito de somatórios por serem o "buraco de minhoca" da matemática, se é que me entende.
Obrigado pela indicação do livro, eu não o conhecia. Gostei dos tópicos. Verei se encontro em algum sebo.