Resistência dos materiais PUC RIO - Mecânica Aplicada Ramo da ciência que, através...
Mecânica dos Sólidos I Parte 1
MEC 1200 –Mecânica dos Sólidos I
–Secretaria do DEM ou Lab de Sensores a Fibra Óptica – E-Mail: abraga@mec.puc-rio.br
•Aulas: 2a e 6as –07:0-09:0 –Sala 110L
–Notas de aula (cópia dos slides) e exercícios:
–J. M. Gere, Mecânica dos Materiais, Thomson http:// leblon. mec.puc-rio.br/pro f/abraga/ mecsol1/mecsol1.html
–S. H. Crandall, N. C. Dahl, and T. J. Lardner, An Introduction to The Mechanics of Solids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1978
–T. J. Lardner and R. R. Archer, Introduction to Solid Mechanics, McGraw-Hill, 1994
Critério de Avaliação Critério 6:
G2G1NF + =
Se G1e G2>= 3,0 e NF>= 5,0 então MÉDIA= NF
Em outros casos o aluno faz G3: Se G1 e G2 >= 3,0 ou G1 ou G2 < 3,0 eG3>= 3,0, então:
Gme Gnsão as duas maiores notas entre G1, G2e G3 Se G1 ouG2< 3,0 e G3 < 3,0, então:
GnGm MÉDIA + =
•P1: Sexta-feira, 25 de abril •P2: Segunda-feira, 23 de junho
•P3: Sexta-feira, 27 de junho
MEC1200 -Mecânica dos Sólidos I
Carga Horária: (4,0,0) -4 Créditos Pré-Requisitos: MEC 1140 ou CIV 1105
Objetivo: Apresentar os fundamentos de análise de tensões na imposição das condições de equilíbrio, o estudo dos mecanismos geométricos da deformação e os modelos representativos do comportamento dos materiais no projeto mecânico de componentes.
Ementa: Tensão e deformação. Conceituação. Carregamento uniaxial. Deformação de Barras. Equilíbrio. Efeitos de temperatura. Problemas estaticamente indeterminados. Torção de peças esbeltas. Equilíbrio. Superposição. Torção de eixos com seção transversal não circular. Estado plano e tridimensional. Caracterização tensorial. Transformações-Círculo de Mohr. Processos de medição de deformações. Relações de compatibilidade geométrica e equilíbrio. Relações constitutivas. Deformações térmicas. Idealização das curvas tensão-deformação. Comportamento dos materiais pós-escoamento. Geometria das áreas. Momentos de inércia. Tensões devidas a flexão. Condições de equilíbrio. Cisalhamento e momento fletor. Bibliografia: Lardner, T.J.,
Archer, R.R., Mechanics of Solids -An Introduction, McGraw Hill, New York, 1994; E.P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, Prentice-Hall, 1998.
Mecânica do
Contínuo Mecânica dos Sólidos
O Curso: Resistência dos Materiais
Ramo da ciência que, através da aplicação dos princípios de mecânica, busca entender, explicar e prever as ações e reações de corpos em repouso ou movimento
Ramo da ciência que lida com meios contínuos, incluindo sólidos e fluidos
Estuda a física de sólidos contínuos, com forma definida quando em repouso
Elast icidade
Descreve o comportamento de materiais que retomam sua forma original após a aplicação de esforços mecânicos
Plast icidade
Descreve o comportamento de materiais que têm sua forma original modificada após a aplicação de esforços mecânicos
Estuda a resistência de materiais de engenharia e seu comportamento mecânico sob ação de carregamentos
Posicionamento do curso na grade curricular
Diagrama reproduzido das notas de aula do Prof. J. L. Freire
Din â mic a Mat eriais
Res. Mat. CMM
El. Máq.
Metrol ogi a
Proc. Fab. Projet o
Histórico de oco rrênc ias
Inspeção e Monit oração
Avaliação de Integ ridade
Cálculo da Vida Remanescente e de Adequação ao Uso
Geralmente trabalha sob considerações elásticas.
Envolve carregamentos e geometria para determinar tensões
Mec Sol I Mec Sol I
Projeto de novos componentes e avaliação da integridade de estruturas em serviço
Solução de Problemas em Mecânica Aplicada (1)
1.Selecionar o sistema de interesse
5.Rever as hipóteses e procedimentos caso as previsões do modelo não reproduzam o comportamento real do sistema
(1) Crandall, Dahl & Lardner, An Introduction to Solid Mechanics, 2nd ed., McGraw Hill, 1978
Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)
Determinar •Esforços internos (tensões)
–Pequenas Deformações vs. Grandes Deformações (linear vs. nãolinear)
–Isotrópico ou anisotrópico –Elástico, elasto-plástico, viscoelástico, etc.
–Deslocamentos conhecidos ou nulos em parte do contorno do corpo –Forças externas de corpo ou superfície, localizadas ou distribuídas
Carregamentos e Deformações Uniaxiais
Material Linear 1,2,3
Crandall et al., 1978
E , Pa (N/m
Aço1.94E+1 a 2.05E+1 Al um ínio 6.90E+ 10 Vidr o 6.90E+ 10 Madeira6.9E+09 a 1.38E+10 Nylon, Epóxi, etc.2.75E+08 a 5.5E+08 Tungs tênio 4.00E+ 1 Mol ibidênio 2.75E+ 1 Borracha1.38E+06 a 5.5E+06 Colágeno1.38E+06 a 1.03E+07
Carregamentos e Deformações Uniaxiais Ensaio de Tração
Objetivo: Caracterização Mecânica do Material Obter constantes elásticas e resistência mecânica
Ex te ns ôm etro Corpo de Prova
Cabeçote Móv el
Medida de Deformação no Corpo de Prova
Algumas Normas Técnicas
•ASTM E8:2004 –Standard Test Methods for -Tension Testing of Metallic Materials
•ISO 527:1993 Parts 1-5 –Plastics -Determination of tensile properties
•ISO 6892:1998 –Metallic materials -Tensile testing at ambient temperature
•NBR-ISO 6892:2002 –Materiais metálicos -Ensaio de tração àtemperatura ambiente
•NBR 6673:1981 –Produtos planos de aço -Determinação das propriedades mecânicas a tração -Método de ensaio
Corpo de Prova Padrão: ASTM E8
12,8 m 51,2 m (4 x diâmetro)
50,8 m 9,5 m
Base de Comprimento
Figuras reproduzidas de: Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of
Materials, 4 th ed., McGraw-Hill, 2002
Carregamentos e Deformações Uniaxiais Material Elástico Linear
Carregamentos e Deformações Uniaxiais Exemplo: Determinar deslocamento do ponto B
Barra de Aço Diâmetro de 25 m
Área = 3200 m 2
Exemplo: Determinar o valor máximo de Ppara que as barras se mantenham no regime elástico ( σ= F/A< Sy ). As
–Definir o conceito de vetor tensão –Mostrar que tensãoéuma grandeza tensorial
–Definir e caracterizar o estado de tensãonum ponto
–Definir tensõese direções principais
–Estados de tensão uniaxial(1D), plano(2D) e triaxial(3D)
Corpo em equilíbrio sujeito àação de um conjunto de forças externas
Corpo em equilíbrio significa que qualquer parte (subvolume) do corpo deve também estar em equilíbrio
Corte por um plano definido pelo vetor normal n
Forças internas de ligação (forças de superfície) mantêm as duas partes do corpo em equilíbrio
Corpo em equilíbrio sujeito àação de um conjunto de forças externas atuando sobre o elemento de
Definição do Vetor Tensão
Vetor tensão s t n t s
Componente normal (tensão normal)
Componente tangencial (tensão cisalhante)
As componentes do vetor tensão em um ponto dependem da direção do plano!
Ex.: Barra Tracionada
Ex.: Barra Tracionada t α
F Equilíbrio ésatisfeito quando:
Assumindo que o vetor tensão, t, éuniforme ao longo da seção transversal da barra:
t α αsin
F j ααcossin bh
O Estado de Tensãono Ponto t x t y t z x y
Uma vez conhecido o estado de tensão no ponto, pode-se determinar as componentes do vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passe pelo ponto
O equilíbrio do tetraedro requer:
=+++ zzyyxxn A t onde Ax
, Ay e Az são as áreas de suas faces.
Definindo-se φ n x y
A z kjit kjit kjit kjit kjin n zzzyzxz yzyyyxy xzxyxxx zyx zyx σσσ t
Decomposição do vetor tensãoem componentes nas direções dos eixos Cartesianos x z
A x t x σ x σ xz σ xy kjit xzxyxxx σσσ −−−=
Estado de Tensão em um Ponto Pode-se mostrar que
Substituindo-se estes resultados na equação de equilíbrio, obtém-se:
znzynyxnx x nAAnAAnAA cose,sinsin,cossin φθφθφ zzzyzyxzx zyzyyyxyx zxzyxyxxx nσnσnσt nσnσnσt nσnσnσt y x n n
Este resultado também pode ser escrito na forma matricial:
Ou, em notação mais concisa, nas formas:
y x zzzyzx yzyyyx xzxyxx n n t t y x n n
•Tensão éuma grandeza tensorial: [σ], ou σ, échamado o tensor de tensões
•Uma vez conhecidas as nove componentes do tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passa pelo ponto.
•Pode-se mostrar que o tensor de tensões ésimétrico, ou seja, σ
= σyx ,σxz = σzx ,e σyz = σzy . Logo, [σ] possui apenas seis componentes independentes!
•Pode-se mostrar que a simetria do tensor de tensões énecessária para que o balanço de momentos em torno do ponto (balanço da quantidade de movimento angular) seja satisfeito.
Representação Gráfica do Estado de Tensão no Ponto (Paralelepípedo Fundamental) x z σ xy σ x σ xz σ zy σ zx σ z σ y σ yx σ yz
Tensões Principais e Planos Principais
Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão énula
A equação abaixo relaciona o vetor tensão atuando sobre um plano definido pela norman n com o tensor de tensões:
ou, em forma matricial:
Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles têm a forma:
Substituindo-se esta expressão na equação da tela anterior, obtém-se:
ou em forma matricial:
nσ λ=
Portanto, a determinação dos planos principais fica reduzida àsolução de um problema de autovalores:
–Os autovetores do tensor de tensão definem os planos (direções) principais.
–Os autovalores do tensor de tensão, λ, são as tensões principais.
Tensões Principais e Planos Principais Exemplo: Considere o estado de tensão dado pelo tensor:
As componentes do tensor referem-se a uma base Cartesiana. Seus autovalores são obtidos resolvendo-se a equação:
σ (em MPa) det =
Tensões Principais e Planos Principais Expandindo-se este determinante, obtém-se a equação:
Mostra-se ainda que as direções (planos) principais são definidas pelos autovetores (unitários e ortogonais) jinknjin
Tensões Principais e Planos Principais x z
Estado Uniaxial de Tensão z y σ x σ x
Ex.: Ensaio de Tração
Estado Plano de Tensão σ xy σ x σ y σ yx σ x σ x σ y σ y σ xy σ xy σ xy σ xy yyxy xyxx σ σσ
Mecânica Aplicada Ramo da ciência que, através da aplicação dos princípios de mecânica, busca entender, explicar e prever as ações e reações de corpos em repouso ou movimento Mecânica do Contínuo Ramo da ciência que lida com meios contínuos, incluindo sólidos e fluidos Mecânica dos Sólidos Estuda a física de sólidos contínuos, com forma definida quando em repouso