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Armando Cavalheiro Rodrigues
1 Noções de Probabilidade parte I 5 de Março de 2012 Site: Referências: Probabilidae Aplicações à Estatística - Mayer (Capítulo 1) Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros - Montgomery (Capítulo 2)
2 Revisão sobre conjuntos
3 Distribuição de Pontos 3 provas - 25 pontos cada. Listas para entregar - 10 pontos. Listas em Sala - 15 pontos. Livro-texto: Probabilidae Aplicações à Estatística - Paul L. Meyer Estatística Básica (Quinta edição) Pedro Alberto Morettin, Wilton De Oliveira Bussab
4 Revisão sobre conjuntos
5 Conjunto Fundamental Formado por todos objetos em estudo. Será denotado por U. Conjunto vazio Não contém nenhum elemento. Denotado por. Propriedades Para qualquer conjunto A A A U.
6 União de conjuntos Seja C um conjunto tal que então C = A B C = {x x A ou x B (ou ambos)}. C é formado por todos elementos que estão em A, ou em B, ou em ambos.
7 Interseção Seja D um conjunto tal que D = A B então D = {x x A e x B}. D é formado por todos elementos que estão em A e B.
8 Complemento A ou A c é complemento de A se A = {x x / A}. A contém todos elementos de U que não estão em A.
9 Algumas propriedades de conjuntos: a) A B = B A b) A B = B A c) A (B C) = (A B) C d) A (B C) = (A B) C e) A = f) A = A
10 Resultados adicionais sobre conjuntos: Pela definição de complemento Lei distributiva (E c ) c = E. (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C)
11 Lei DeMorgan: (A B) c = A c B c e (A B) c = A c B c
12 ou não determinísticos Fenômenos que, mesmo repetidos sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Exemplos: E 1 : jorgar um dado e observar o número mostrado na face de cima. E 2 : jogar uma moeda 4 vezes e contar o número de caras obtidas. E 3 : contar o número de peças fabricadas até que apareçam 10 defeituosas. E 4 : medir a resitência à tração de um barra metálica.
13 Exemplo: Se medimos a corrente em um fio, estamos conduzindo um experimento. Em repetições diárias dessas medidas, os resultados poderão diferir levemente. Isso pode ocorrer por causa de variações em variáveis que não estamos controlando, como: variações na temperatura; variações nos medidores; impurezas na composição química do fio. Dizemos então que esse experimento tem um componente aleatório.
14 Não importa quão cuidadosamente o experimento tenha sido planejado, a variação está quase sempre presente. Sua magnitude pode ser tão grande que as conclusões do experimento podem não ser tão óbvias. Precisamos então de métodos para modelar e analisar os resultados desses experimentos.
15 Queremos compreender, quantificar e modelar variações que encontramos com frequência. Modelos que incluem variação não são diferentes de modelos de outras áreas como engenharia e ciência. Por exemplo, as Leis de Newton não são uma descrição perfeita do nosso universo físico. Porém são modelos úteis para quantificar o desempenho de produtos em engenharia.
16 Precisamos formular uma abstração matemática do fenômeno estudado. E validá-la com medidas de nosso sistema. O modelo pode, então, ser usado para entender aspectos do sistema físico. Pode ser usado ainda para prever a resposta do sistema à alimentação de dados (inputs).
17 Não podemos ter certeza do resultado de um experimento aleatório. Porém somo capazes de listar todos resultados possíveis. Veremos a seguir que esse conjunto é chamado espaço amostral. Resultados do experimento poderão ocorrer de forma acidental. Quando é repetido um número grande de vezes; uma certa regularidade poderá ser observada.
18 Essa regularidade permite construir um modelo matemático preciso. Considere que estamos lançando uma moeda várias vezes. Caras e coroas aparecem sucessivamente de maneira arbitrária. Porém, depois de um certo número de lançamentos, a proporção de caras e coroas serão aproximadamente 50%.
19 Conjunto de todos resultados possíveis de um experimento aleatório. Será denotado por S. Nesse caso S representa o conjunto fundamental (o todo).
20 Espaço amostral dos exemplos anteriores: E 1 : jorgar um dado e observar o número mostrado na face de cima. S 1 : {1, 2, 3, 4, 5, 6} E 2 : jogar uma moeda 4 vezes e contar o número de caras obtidas. S 2 : {0, 1, 2, 3, 4} E 3 : contar o número de peças fabricadas até que apareçam 10 defeituosas. S 3 : {10, 11, 12, 13, 14,...} E 4 : medir a resitência à tração de um barra metálica. S 4 : {T T 0}
21 Observação: O resultado de um experimento não precisar ser um número apenas. Considere o lançamento de uma moeda três vezes. Registramos as sequências de caras e coroas observadas. Os resultados possíveis são HHH HHT... TTT onde H representa cara e T representa coroa. O resultado pode ser ainda um vetor. Por exemplo, se registramos a posição de um objeto que move aleatoriamente.
22 Exemplo: Medir a espessura de uma peça plástica moldada. O valor da espessura depende de: resolução do instrumento de medição; dos limites superior e inferior da espessura. Podemos, porém, simplesmente definir o espaço amostral como a linha real positiva S = R + = {x x > 0} Pois a espessura não pode assumir valores negativos.
23 Se sabemos que todas peças tem espessura entre 10 e 11 milímetros, podemos definir S = {x 10 < x < 11} Se queremos considerar apenas o fato da peça ter espessura baixa, média ou alta, pode-se considerar S = {baixa, média, alta} Se queremos avaliar se a peça obedece ou não a determinadas especificações podemos dizer que S = {sim, não} que indica se as peças obedecem ou não.
24 Para definirmos o espaço amostral precisamos ter uma ideia bem clara daquilo que estamos mensurando. Devemos sempre associar o espaço amostral a um evento. Podemos classificar um espaço amostral de acordo com sua quantidade de elementos.
25 Existem dois tipos de espaços amostrais: Discreto Consiste em um conjunto finito ou infinito contável de resultados. Contínuo Contém um intervalo (tanto finito quanto infinito) de números reais.
26 No exemplo anterior: S = R + é um espaço amostral contínuo; S = {sim, não} é um espaço amostral discreto.
27 Exemplo: Se dois conectores são selecionados. Medimos a espessura de cada um deles. Podemos estender o espaço amostral anterior. O espaço amostral será o quadrante positivo S = R + R +
28 Se queremos apenas saber se os conectores seguem ou não determinadas especificações. Abreviamos sim ou não para s e n. sn indica que o primeiro conector obedece e o segundo não; os demais são análogos. O espaço amostral é representado por: S = {ss, sn, ns, nn} Se estivermos interessados apenas no número de peças conformes na amostra S = {0, 1, 2}
29 Considere outro experimento. A espessura é medida até que o conector não satisfaça as especificações. O espaço amostral é dado por S = {n, sn, ssn, sssn, e assim por diante} esse é um exemplo de espaço discreto que infinito contável.
30 Muitos experimentos envolvem a seleção de objetos dentro de um grupo. Como retirar bolas de uma urna. Devemos indicar se o item será reposto ou (com reposição) ou não (sem reposição) antes da próxima seleção.
31 Exemplo: Temos três itens {a, b, c}. Vamos selecionar dois itens sem reposição. O espaço amostral é dado por S sem = {ab, ac, ba, bc, ca, cb}. Consideramos a ordem os elementos retirados: ab e ba são elementos distintos do espaço amostral. Se não considerarmos a ordem o espaço amostral se reduz a S sem = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}.
32 Exemplo: Temos novamente três itens {a, b, c}. Selecionamos dois itens com reposição. Os resultados possíveis passam a ser S com = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}. Observações: a amostragem sem reposição é mais comum em aplicações industriais.
33 Em alguns casos não é necessário especificar o item exato, mas somente uma propriedade. Suponha que em um conjunto de itens: existem 5 defeituoso e 95 bons. Selecionamos dois itens sem reposição. Seja b um item bom e d o item defeituoso. É suficiente descrever o espaço amostral em termos da qualidade dos itens S = {bb, bd, db, dd}.
34 Observe que existem muito mais pares de itens em que ambos são bons. Estamos porém apenas listando os resultados possíveis. Essas diferenças serão consideradas quando calcularmos probabilidades.
35 Observação Nem sempre o espaço amostral que existe na prática é aquele idealizado no estudo. Considere que estamos registrando o tempo t de funcionamento de uma lâmpada. O espaço amostral idealizado seria {t : t 0}. Porém o instrumento de medição não registra um número infinito de casa decimais. Então, na prática, o espaço amostra é discreto.
36 Evento Subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Frequentemente estamos interessados em um conjunto de resultados possíveis. Podem ser descritos com subconjuntos do espaço amostral. Podemos aplicar também operações de conjuntos: união, interseção, complemento. e S também são eventos.
37 Considere novamente os exemplos anteriores: E 1 : jorgar um dado e observar o número mostrado na face de cima. A 1 : um número par ocorre A 1 = {2, 4, 6} E 2 : jogar uma moeda 4 vezes e contar o número de caras obtidas. A 2 : duas caras ocorrem A 2 = {2} E 3 : contar o número de peças fabricadas até que apareçam 10 defeituosas. A 3 : observamos 20 peças até obtermos 10 defeituosas A 3 = {20} E 4 : medir a resitência à tração de um barra metálica. A 4 : a resistência é maior que 5 A 4 = {T T > 5}
38 Podemos usar operações de conjuntos para obtermos novos eventos. Por exemplo se A1,...,A n é uma coleção finita de eventos n i=1a i = pelo menos um A i ocorre; n i=1 A i = todo A i ocorrem.
39 Eventos mutuamente excludentes Dois eventos E 1 e E 2 tais que E 1 E 2 =. Figura: Eventos mutuamente excludentes.
41 Em muitos exemplos é fácil determinar o número de resultados em cada evento. Em exemplos mais complicados podem ser necessárias algumas técnicas de contagem.
42 Regra da Multiplicação Se uma operação puder ser descrita em k etapas e se o número de maneiras de completar a etapa 1 for n1 ; número de maneiras de completar a etapa 2 for n2 e assim por diante. O número total de completar a operação será n 1 n 2...n k.
43 Permutações Número de sequências ordenadas de um conjunto. O número de permutações de n elementos é n! sendo n! = n (n 1) (n 2) 2 1. Coloca-se na primeira posição um dos n elementos. Seleciona-se para segunda posição um dentre os n 1 restantes. E assim sucessivamente.
44 Permutações de subconjuntos Podemos estar interessados no número de arranjos de alguns elementos do conjunto. O número de permutações de subconjuntos de r elementos selecionando em n elementos é dado por P n r = n! (n r)!
45 Exemplo: Um placa de circuito tem oito localizações diferentes. Quatro componentes distintos são colocados na placa. Quantos projetos diferentes são possíveis? Precisamos selecionar uma localização entre as 8 para a primeira componente. Uma localização dentre as sete restantes para a segunda e assim por diante. O número de projetos possíveis é dado por P 8 4 = = 8! 4!
46 Permutações de objetos similares Podemos querer contar sequências ordenadas de objetos não todos diferentes. O número de permutações de n = n 1 + n 2 + +n r objetos. Nos quais n 1 são de um tipo, n 2 de um segundo tipo,..., e n r de um r-ésimo tipo. O total de resultados possíveis é n! n 1!n 2!...n r!
47 Exemplo: Uma peça é marcada pela impressão de: 4 linhas espessas; 3 linhas médias; 2 linhas finas. Cada ordenação das 9 linhas representa um marca diferente. O total de marcas possíveis é dado por 9! 4!3!2!
48 Combinações Queremos contar o número de subconjuntos de r elementos a partir de um conjunto de n elementos (r < n). A ordem não é importante. O número total de resultados possíveis é dado por ( ) n Cr n n! = = r (n r)!r!
49 Exemplo: Um componente pode ser colocado em 8 localizações diferentes uma placa de circuito. Cinco componentes idênticos são colocados na placa. Cada projeto é um subconjunto das 8 localizações que podem conter os componentes. O número total de projetos é C 8 5 = 8! 5!3!
50 Exemplo (amostragem sem reposição): 50 itens são fabricados. 3 são defeituosos e 47 são não-defeituosos. Uma amostra de 6 itens é selecionada. Quantas amostras têm exatamente 2 itens defeituosos?
51 Solução: Primeiro selecionamos 2 dois dos 3 itens defeituosos ( ) 3. 2 Depois selecionamos 4 dentre os 47 itens não defeituosos ( ) O número total de possibilidades, usando a regra da multiplicação é dado por ( ) ( )