Estudo das relações entre peso e altura de estudantes de estatística através da análise de regressão simples. - PDF
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Airton Martim Peres Brunelli
1 Estudo das relações etre peso e altura de estudates de estatístca através da aálse de regressão smples. Waessa Luaa de Brto COSTA 1, Adraa de Souza COSTA 1. Tago Almeda de OLIVEIRA 1 1 Departameto de Estatístca, Uversdade Estadual da Paraíba-UEPB, Campus I, Campa Grade-PB. E-mal: 1 Departameto de Estatístca, Uversdade Estadual da Paraíba-UEPB, Campus I, Campa Grade-PB. E-mal: 1 Departameto de Estatístca, Uversdade Estadual da Paraíba UEPB, Campus I, Campa Grade-PB. E-mal: RESUMO Este trabalho teve por objetvo estudar a relação etre duas varáves, peso e altura de estudates de estatístca da UEPB, para medr o grau de fluêca que a varável depedete altura tem sobre a varável depedete peso. Para o mesmo fo utlzada uma amostra de 30 aluos. Para verfcar a relação etre as varáves utlzou-se o método de regressão lear smples, que permte descrever a assocação etre as respectvas varáves do modelo. O método basea-se calmete em medr a assocação da varável depedete e a varável depedete, a preseça ou ausêca de relação lear pode ser vestgada sob dos potos de vsta: correlação e regressão. A amostra em estudo apreseta uma altura meda de 1,66m e um peso médo de 6 kg. Com base os valores aalsados através do modelo, observou-se que exste correlação lear postva etre as varáves, ou seja, à medda que a altura cresce o peso aumeta. Com base os resultados o modelo de regressão lear smples fo adequado aos dados. PALAVRAS CHAVE: Correlação, regressão lear, resíduos. 1 INTRODUÇÃO Para haver um desevolvmeto completo e saudável do corpo humao, desde craça é ecessáro ter uma boa almetação, hgee, muzação cotra doeças e cudados com o meo ambete. Esses fatores fluecam dretamete a vda, pos rá garatr que o sstema muológco esteja mas preparado para combater doeças, e cosequetemete favorecerá uma vda melhor.
2 A altura e o peso estão relacoados, ão há um ídce fxo, mas de forma geral, quato maor a altura maor o peso do dvduo, a relação etre peso e altura pode ser calculada de váras maeras, um dos métodos utlzados é o ídce de massa corporal (IMC) é um parâmetro bastate utlzado para classfcar o dvduo de acordo com seu peso e altura. Seu uso é dssemado prcpalmete etre profssoas que trabalham com o corpo, como médcos, fsoterapeutas e profssoas de Educação Físca. O IMC é determado pela dvsão da massa do dvíduo pelo quadrado de sua altura, ode a massa está em qulogramas e a altura está em metros. Vgar o seu peso tem uma mportâca crtca para a saúde. Quato mas peso excessvo tver, maor é o rsco de desevolver város problemas de saúde e maor é a probabldade de o seu peso excessvo ecurtar sua vda. (FERNANDES, 011). Em fução dos fatores ctados, estudar a relação etre altura e peso dos estudates. Para cohecermos essa relação podemos utlzar o modelo de regressão lear smples (MRLS) que descreve a assocação etre duas varáves. O objetvo desta pesqusa é estudar a relação etre duas varáves quattatvas, (peso e altura), dos estudates de estatístca da UEPB 009.1, através da regressão lear smples, para verfcar até que poto a varável altura explca à varável depedete peso. METODOLOGIA Foram utlzados dados proveetes de peso e dade de estudates da turma de estatístca (UEPB Mahã), utlzou-se uma amostra de 30 estudates.
3 TABELA 1- MATERIAL E MÉTODOS Nº Altura em (m) Peso em (Kg) Nº Altura em (m) Peso em (Kg) 01 1, , , , , , , , , , , , ,8 97 1, , , , , , , , , , , , , , , , ,55 47 Fote: (Aluos de estatístca UEPB, 009.1, mahã). Para aalsar o relacoameto etre as varáves em estudo, procedeu-se um dagrama de dspersão sobre o cojuto de dados da Tabela 1, que podem ser represetados a forma dos pares ordeados ( ), (,...,( ) afm de que se teha dea a respeto do tpo de relação exstete etre as varáves, da varabldade assocada a elas e da preseça de potos atípcos (outlers). Segudo Trola (008) o coefcete lear de Pearso r mede a tesdade da relação lear etre os valores quattatvos emparelhados x e y em uma amostra. O mesmo fo aplcado e é dado por: r 1 x x y y ( xx ). ( yy ) 1 1
4 Testou-se a hpótese de o coefcete de correlação lear ser gual à zero ( a hpótese do coefcete de correlação lear ser dferete de zero ( ) A estatístca de teste é dada por: t 0 r 1 r Ode, é a estatístca do teste, é o tamaho da amostra e r é a estmatva do coefcete de correlação lear. A estatístca do teste,, segue uma dstrbução t de Studet com (-) graus de lberdade, sob a plausbldade da hpótese ula. A hpótese ula é rejetada se: Valor P < α Ode é o ível de sgfcâca adotado prevamete ( = 0,05). O modelo adotado para descrever a relação etre uma varável explaatóra x e a varável resposta y fo o modelo de regressão lear smples. O modelo faz a segutes suposções, em ordem decrescete de mportâca: o valor médo da varável resposta é uma fução lear de x; a esperaça dos erros é gual a zero; a varâca dos erros é costate; os erros são depedetes; ~ N(0, ). y 0 1 x, 1,..., Em que, : Valor da varável depedete (resposta) para o -ésmo elemeto da amostra, X: Valor (cohecdo) da varável depedete para o -ésmo elemeto da amostra, e : São parâmetros descohecdos (a serem estmados) e é o Erro amostral. Segudo (ET AL CHARNET 008) o método dos mímos quadrados aalsa as - dfereças para cada reta caddata etre cada valor y e o valor a reta, correspodetes ao respectvo valor x. A reta selecoada é a reta que apreseta a meor soma de quadrados de tas dfereças. O método fo utlzado têm-se os estmadores para os parâmetros de teresse:
5 ˆ y ˆ x 0 1 e ˆ x y x xy x S S xy xx Obtedo-se, portato a equação da reta ajustada dada por: yˆ ˆ x Após o ajuste do modelo de regressão lear, utlzou-se a aálse de varâca para verfcar a sgfcâca do MRLS. Tem-se a segute relação: De acordo com TRIOLA (008) a soma de quadrado total (SQT), pode ser quebrada em compoetes de SQreg (Regressão) e SQres (Resíduo ou Erro). Tem-se a segute relação: SQT SQ Re g SQ Re s A soma de quadrados total de Y(SQT) mede a varabldade dos valores observados em toro de sua méda, cuja soma de quadrados é dada por: SQT ( y y) a soma de quadrados dos resíduos (SQres.), represeta a varação que se supõe comum a todas as populações cosderadas, expressa através de: SQ Re s ( y yˆ ) ( y ˆ ˆ x) e 0 1 Modelo resultate das dstâcas etre os valores do modelo e a méda: SQ Re s ( y y) ( y yˆ) ( yˆ y) O Coefcete de determação (R²) é uma medda de qualdade do modelo em relação à sua habldade de estmar corretamete os valores da varável resposta Y, e é dado pela segute equação: R SQ Re s / SQT
6 Procedeu-se um teste para verfcar a adequação do modelo. Para testar estatstcamete a falta de ajuste do MRLS, deve-se ter pelo meos dos valores da varável resposta para algus valores da varável regressora e pode-se testar duas hpóteses de teresse: H 0 : O MRLS é adequado ou H 1 : O MRLS é ão adequado. Utlzou-se a decomposção da soma de quadrados de resíduos (SQRes), dada por: SQRes= SQFa + SQEp, Em que, dada a tabela. é o úmero de repetções da varável y. Aálse de varâca completa é Tabela : Esquema geral para aálse de varâca. Fote de Varação GL SQ QM F cal Altura p-1 SQReg SQReg/ p-1 QMReg/QMRes Resíduo - SQRes SQRes/- - (Falta de Ajuste) (k-) SQFa SQFa/k- QMFa/QMEp (Erro Puro) (-k) SQEp SQEp/-k Total -1 SQT Segudo (ET AL CHARNET 008) Os resíduos de um modelo de regressão lear têm uma relação muto forte com a qualdade do ajuste feto, bem como a cofabldade dos testes estatístcos sobre os parâmetros do modelo. Para melhor aalsar os resíduos levou-se em cota sua varabldade, obtveram-se os resíduos trasformados dados por: e d, 1,,..., ˆ (1 h)
7 * e d, 1,,..., ˆ (1 h ) () Neste caso, temos como a soma de quadrados méda dos resíduos do MRLS, () ajustado se utlzarmos a -ésma observação. Com essa trasformação, temos que a varável aleatóra d tem dstrbução t de Studet com (-1-) graus de lberdade (sob a hpótese de o MRLS ser adequado). A ormaldade dos resíduos fo verfcada por meo da fução da probabldade observada acumulada dos erros (Normal P-P Plot). 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO De íco fo realzada uma aálse descrtva dos dados ode fo observada a altura e o peso médo dos aluos (Tabela 3). TABELA 3 - Aálse descrtva para as varáves peso e altura. Varáves Valor Mímo 1º Quartl Medaa Meda 3º Quartl Maxmo Altura 1,510 1,58 1,680 1,663 1,730 1,80 Peso 4 53, Fote: (Aluos de estatístca UEPB, 009.1, mahã). Na tabela 3 observa-se uma altura meda de 1,66m e um peso médo de aproxmadamete 6 kg. No Box Plot para as varáves em estudo percebe-se a ocorrêca de dos potos atípcos, porém os mesmos ão alteram as suposções do modelo. Fgura 1 Box Plot para as varáves Peso e Altura. Altura dos Aluos Peso dos Aluos
8 Peso dos Estudates Fote: (Aluos de Estatístca UEPB, Mahã). Fgura Gráfco de dspersão com a reta de regressão ajustada para a relação etre peso e altura dos aluos. Relação Etre Peso e Altura dos Estudates Altura A fgura mostra que exste uma correlação postva etre as varáves, pos à medda que a altura dos estudates aumeta o seu respectvo peso também aumeta. A correlação lear de Pearso fo de r=0,795 (79,5%), e com um ídce de cofaça de 95%, pode-se afrmar que exste uma correlação lear postva etre as varáves, sto é x e y (peso e altura) varam o mesmo setdo à medda que a altura cresce o peso aumeta. Ajustou-se o modelo aos dados e estmou-se os parâmetros β 0 e β 1 e foram obtdos os segutes resultados: e = 139,1 Portato, tem-se a equação da reta ajustada dada por: (1)
9 TABELA 3 - Aálse de Varâca para peso e altura dos estudates de estatístca. Na tabela 3, rejeta-se zero. E aceta-se Fote de Varação GL SQ QM F cal Valor P Altura , < Resíduo 8 301,4 8. Falta de Ajuste ,7 86,6 1,1477 0,418 Erro Puro 11 89,7 75,4 Total 9 649,5 Fote: (Aluos de estatístca UEPB, 009.1, mahã)., ou seja, o coefcete de clação da reta dfere de dcado um bom ajuste do modelo aos dados. O coefcete de determação fo de 63,17%( R =0,6317), ou seja, o modelo ajustado explcou 63,17% da varação a varável resposta Y(peso dos estudates). Por meo da fgura 3, podemos perceber uma aleatoredade etre os resíduos, ou seja, exste homogeedade as varâcas. Valdado o modelo de regressão ajustado. Fgura 3 Resíduos para peso e altura dos estudates de estatístca.
10 CONCLUSÃO Com base os valores aalsados através do modelo de regressão lear smples, observou-se que exste correlação lear postva etre as varáves (peso e altura), à medda que a altura cresce o peso aumeta. O coefcete de determação R os mostra que o modelo ajustado explcou 63,17% da varação sobre a varável peso dos estudates. Coclu-se que o modelo de regressão lear smples ajustado fo adequado aos dados. REFERÊNCIAS TRIOLA, F, M. Itrodução á Estatístca, 10 ed. Ro de jaero, RJ: LTC, 008. TAKIUT, D. A. O Desevolvmeto da craça os prmeros aos de vda, acesso em 0/10/01, dspoível em CHARNET,R., FREIRE,C.A.L., CHARNET,E.M.R., BONVINO,H., Modelos de Regressão Lear, Campas, SP: Ed. UNICAMP, 008. Aálse de MARTINS, A, G, Estatístca Geral e Aplcada. 3 ed. São Paulo, SP: Atlas, 008. DEMÉTRIO, G.B. CLARICE. Modelos de regressão. Pg.19-1, FERNANDES, J. A mportâca do Cotrole do Peso acesso em 14/11/011, dspoível em