Os conceitos mais básicos dessa matéria são: Deslocamento: Consiste na distância entre dados dois pontos percorrida por um corpo. - PDF Free Download
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Octavio Tavares Ferreira
1 Os conceitos mais básicos dessa matéria são: Cinemática Básica: Deslocamento: Consiste na distância entre dados dois pontos percorrida por um corpo. Velocidade: Consiste na taxa de variação dessa distância no tempo. Aceleração: Consiste na taxa de variação da velocidade no tempo. É importante notar que o deslocamento não é o mesmo que espaço percorrido ou trajetória. O primeiro trata apenas dos pontos final e inicial. A trajetória compreende a análise de todos os pontos percorridos, sendo a distância percorrida. Aqui, é importante tratar do caráter vetorial dessas grandezas. Analisemos a velocidade. Além de ela ter um valor, dito módulo, também possui uma direção e sentido, conferindo- lhe essa característica de vetor, uma seta. O mesmo vale para o deslocamento e aceleração. Veja o que ocorre com um corpo se o mesmo realiza dois deslocamentos, gerando um deslocamento resultante, igual a soma das setas.
2 Assim como há a soma, também há a diferença, vindo da soma dos vetores, com o negativo virado de sentido, isto é: Caso uma soma de vetores se fechem no fim (as setas formem um caminho que no fim, chegue ao mesmo ponto inicial), a resultante vetorial é nula. No entanto é muito comum o estudo escalar (apenas de quantidade) dessas grandezas, apenas em alguns momentos usando a visão vetorial. Para maior aprofundamento, há de se buscar aprender as ferramentas lei dos senos e cossenos para vetores. Estudemos algumas equações. Para um ponto material com velocidade nula, sua posição em função do tempo é sempre a mesma, ou seja, constante: S(t) = So Com um gráfico trivial. Já com uma velocidade constante (v), no dito movimento uniforme tem- se: S(t) = So + Vt Veja o gráfico ao lado: Uma análise similar vem do estudo da velocidade. Se essa for constante, tem- se: V(t) = Vo Se há uma aceleração constante (a) no dito movimento uniformemente variado, é possível demonstrar, por cálculo, que, dado um corpo com certa velocidade inicial Vo, tem- se: S(t) = So + Vo. t + 1 a. t 2 V(t) = Vo + a.t Veja os gráficos desse movimento:
3 Façamos duas questões para por em uso esses conhecimentos. 1. Um carro, em uma trajetória retilínea, está a dez metros antes de um semáforo. Considerando o ponto zero no semáforo, com sentido crescente desse em seguinte e sabendo que o carro possui velocidade constante Vo = 5m/s: a) Qual a posição do carro no instante t=0? b) Em que instante o carro chega ao semáforo? c)sabendo que o carro para no semáforo, demorando 5s, e, para não pegar o próximo vermelho, sai do que está com aceleração 2m/s 2, descreva a nova equação do espaço para o carro, a partir daí. d)se a distância entre os semáforos vale 100 metros, diga qual deve ser o mínimo intervalo de tempo para o semáforo fechar e o carro não pegar esse vermelho. Mostre então em que tempo do referencial tratado alcança- se o outro semáforo. Resposta: a) Pelo explicado, esse valerá So = - 10 m b) Montando a equação do espaço: S(t) = So + V.t Assim, dado So = - 10 m e V = 5 m/s: S(t) = t Pondo esse igual a zero, passando pelo semáforo: 0 = t t = 10 5 = 2s c) Sabe- se que, considerando os dados do problema, o espaço inicial agora é zero (estando- se no semáforo), a velocidade inicial agora é zero, mas o tempo passado começou a 2s + 5s = 7s
4 (contando o tempo para chegar no semáforo e parado). Em suma, dada a aceleração 2m/s 2, da formula mostrada anteriormente: S t = (t 7)2 d) Basta que: (Δ t)2 = 100 (Δ t) 2 = 100 (Δ t) = 10 s Assim, t- 7 = 10 t = 17 s 2. Para as equações abaixo, diga quanto vale So, Vo, a e o tipo de movimento, além do espaço em função do tempo (se não houver): a) s = t + 2t 2 b) s = 2 4t c) s = 5t 2 d) v = 15 e) v = 6t Resposta: a) So = 10, Vo = 5, a = 4 (lembre que o termo do t 2 é a metade da aceleração). Movimento uniformemente variado. b) So = 2, Vo = 4, a = 0. Movimento uniforme (dito retrógrado com v <0). c) So = 0, Vo = 0, a = 10. Movimento uniformemente variado. d) So = indeterminado, Vo = 15, a = 0. Movimento uniforme, de s(t) = k + 15t. e) So = indeterminado, Vo = 0, a = 6. Movimento uniformemente variado, de s(t) = 3t 2. Aqui, dois conceitos são importantes: A velocidade média é a diferença entre as posições final e inicial dividida pelo tempo total até se chegar a esses, isto é: = Velocidade Média
5 Já que nem sempre os movimentos têm velocidades constantes, podendo se fazer uma média, encontrando- se uma velocidade equivalente. A aceleração média é a diferença entre as velocidades final e inicial dividida pelo tempo total até se chegar a essas, isto é: = Aceleração média Nesse contexto mais duas fórmulas são importantes e não dificilmente demonstradas, o que não será feito aqui. Ambas vêm para movimentos retilíneos com aceleração constante nessa direção, a: ( ) V m1 = onde V m12 é a velocidade média entre dois pontos 1 e 2, sabendo- se suas velocidades V 1 e V 2 V 2 2 = V ad, conhecida por equação de Torricelli, onde V 1 e V 2 são as velocidades de dois pontos 1 e 2, a aceleração do movimento e d o deslocamento entre a e b. Observe que, até aqui, os movimentos estudados foram os mais simples possíveis. No entanto, para expansão das ideias, é preciso utilizar uma definição mais formal dos conceitos estudados: Dado um movimento no espaço, sabe- se que sua taxa de variação no tempo é sua velocidade média (para todo o movimento). Para a variação temporal tendendo a zero, tem- se a dita velocidade instantânea, limite de, ΔT tendendo a 0, sendo esse limite dito derivada, igual a tg (θ).observe o gráfico abaixo: É fácil perceber que, num certo ΔT bem pequeno, tendendo a zero, no começo do gráfico tem- se um ΔS pequeno. Depois, próximo do fim desse, o ΔS é bem maior, num mesmo ΔT. Em suma, a velocidade vai ficando maior com o passar do tempo, a taxa explicitada aumenta. De modo análogo, pensa- se na aceleração como o limite de ", ΔT tendendo a zero, esse delta, nesse " caso, sendo escrito com d(). v = " e a = " " " O pensamento reverso pode ser aplicado. Dado o espaço igual ao produto da velocidade pelo tempo, quando se faz cada velocidade por cada pequeno intervalo de tempo, acha- se o espaço total percorrido (sem análise de So) no limite dessa soma, dos ΔS. Essa soma é chamada integral, isto é:
6 V v t Δt = s, ΔT > 0 e a t Δt=v, ΔT > 0 Façamos uma questão sobre: (Mackenzie adaptada) Estudando o movimento de um corpo, a partir do instante zero, obtivemos o gráfico a seguir. Entre os instantes 4 s e 7 s, o deslocamento do corpo foi de 24 m. O valor da velocidade e a aceleração no instante zero e o espaço total percorrido entre 0 e 7s. são? Resposta: Observe que a tangente do gráfico estudado entre os instantes 0 e 4 é constante, o tal limite é o mesmo para todos os pontos do intervalo, implicando que ali há uma velocidade constante. Entre 4 e 7, utilizando a teoria aprendida da integral:
7 (7-4).h = 24 h=8 Pela semelhança triangular existente: Vo = - 8m/s E a tangente, por Δy/Δx: a = [()] a = 4 m/s 2 = " = 4 Já o espaço total será o somatório do espaço em cada um dos pedaços, calculados como a área. Observe que as áreas entre o gráfico estudado e os instantes 0 e 2 s e 2 e 4 s são as mesmas em módulo, mas têm sinal contrário. Logo, o espaço é só o percorrido entre 4 e 7 s. S tot = 24m Lançamentos: Comecemos agora o estudo de movimentos verticais e lançamentos no vácuo. Quando se solta um objeto, sabe- se que o mesmo acelera, ganhando velocidade, percorrendo sua altura até finalmente bater no chão. Quando se joga um objeto para cima, sabe- se que esse vai subir até uma altura máxima e descer. Estudemos o que acontece. O corpo, desprezando resistências do ar (situação de vácuo), terá uma aceleração g, de direção vertical e sentido para baixo. Assim, dada certa altura h de um corpo, a equação do espaço e da velocidade serão: S(t) = H gt2 V(t) = - gt Observe que essas equações consideram o chão como a posição zero, orientando o positivamente para cima. Vejamos também o espaço de um corpo de altura H, jogado para cima com velocidade Vo, nas mesmas orientações: S(t) = H + Vot gt2
8 Analisando essa equação, percebemos que a mesma é uma parábola de concavidade para baixo, possuindo então um máximo, o vértice da parábola, no caso para (das teorias de parábola): t = " [( " = )] Que é justo o tempo para a velocidade zerar, o corpo então parando de subir, como se ver colocando na equação da velocidade, com essa sendo zero: V(t) = Vo gt = 0 t = " No caso, esse máximo valerá H max = H + ". No caso particular de H ser igual a zero, acha- se " que a máxima altura que um corpo lançado com Vo para cima é H max = " ". Também é bastante intuitivo, mas demonstrável, que o tempo de subida de um corpo é o mesmo de sua descida, é um movimento simétrico. Façamos uma questão para trabalhar essas ideias: (ITA) Um corpo cai de uma certa altura tal que, durante o último segundo da queda ele percorre da altura total. Calcular o tempo da queda, dado g = 10 m/s2 e Vo nula. Resposta: Usando a equação do espaço aprendida (dado T o tempo total da trajetória): S(T) = H gt2 = 0 H = gt2 S(T- 1) = H g(t- 1)2 Tal que: S(t- 1) S(t) = H = g(2t - 1) Usando o H achado anteriormente e g =10 m/s 2 : T2 = 10T 5 T 2 8T + 4 = 0 T =
9 Observe que o estudo realizado até aqui tratou de movimentos verticais, mas uma análise de movimentos oblíquos é bastante similar, com um acréscimo. O movimento na horizontal, há de se compor com o da vertical, sendo o horizontal sendo quase sempre uniforme. Assim, estudando eixos de um exemplo simples, um lançamento com ângulo de θ Ho =0: Sx(t) = Vocos(θ)t Sy(t) = Ho + Vosen(θ)t - gt2 = 0 + Vosen(θ)t - gt2 = Vosen(θ)t - gt2 = H(t) Um caso bem simples disso é quando θ = 0, com certa Ho: Sx(t) = Vocos(0 )t = Vot Sy(t) = Ho + Vosen(0 )t - gt2 = Ho - gt2 = H(t) Para esse caso particular, calculemos o alcance, definido pela distância percorrida na horizontal desde o ponto inicial do movimento até bater no chão. Dado T o tempo até se bater no chão, H=0 (tempo total do movimento): H(T) = Ho - gt2 = 0 T = "# Usando esse tempo no movimento horizontal:
10 Sx(T) = VoT = Vo "# Voltando ao caso de lançamento oblíquo, calcula- se o alcance para Ho = 0 e T o tempo total: Sx(t) = Vocos(θ)t Sy(t) = Vosen(θ)t - gt2 = H(t) Assim: Sy(T) = Vosen(θ)T - gt2 = H(T) = 0 Para isso, T = 0 (começo do lançamento, não sendo de importância para a questão) ou T = "#$%&(), o que queremos, duas vezes o tempo de subida ou descida, tempo primeiro em que a velocidade chega a zero, isto é: V(t s ) = Vosen(θ) gt s = 0 t s = "#$%() Sendo de fato o total duas vezes esse de subida, garantindo, pela simetria, que o tempo de subida (t s )é o mesmo de descida (t d ). Usando T no espaço horizontal, sabendo que 2sen(θ)cos(θ) = sen (2θ) Sx(T) = Vocos(θ)T = "#"$()."#$%&() = "."#$()"#() Sx(T) = Vo2 sen(2θ) g Observe um importante resultado dessa fórmula derivado. Quando um seno é máximo, esse vale noventa graus (sem análises de períodos). Assim, o ângulo de máximo alcance vem com 2θ = 90, implicando θ = 45. Além disso, por análises trigonométricas, dois ângulos complementares têm o mesmo alcance, pois sen(2θ) = sen(2(90- θ)) = sen(180- θ). Por exemplo, 30 e 60 graus num lançamento, possuem o mesmo alcance. (Puccamp Adaptada) Um projétil é lançado numa direção que forma um ângulo de 45 com a horizontal. No ponto de altura máxima, o módulo da velocidade desse projétil é 10 m/s. Considerando- se que a resistência do ar é desprezível, g = 10m/s 2, pode- se concluir que o módulo da velocidade de lançamento e o alcance desse é? Resposta: Sabe- se que, no ponto mais alto de um lançamento, a velocidade vertical é nula e a horizontal é a mesma que a horizontal do início. Sendo o ângulo de lançamento 45, essa velocidade inicial horizontal é a mesma vertical. Em suma, tem- se duas velocidades perpendiculares de 10 m/s, resultando em um módulo de:
11 ( )= 10 2 Seu alcance, pela fórmula estudada será (alcance máximo): a= (" )."#(" ) " = 20 m. Lançamentos: Nesse contexto, estudemos agora o conceito de composição de movimentos. Dado um corpo que está em um referencial com certa velocidade, tendo esse referencial outra velocidade em relação à outro referencial, pode- se compor vetorialmente as velocidades, calculando a velocidade resultante. Por exemplo: Um barco possui uma velocidade de 10 m/s por segundo com relação a um lago (água parada). Quando posto para descer um rio que tem correnteza com velocidade de 5 m/s em relação às margens, qual a velocidade do barco em relação às margens? Simples, = 15 m/s Caso o barco não descesse, mas subisse o rio, qual seria sua velocidade em relação às margens? 10-5 = 5m/s E se a velocidade do barco fosse direcionada perpendicularmente às margens, qual seria a velocidade resultante do barco: ( )= 125 = 5 5 Essas ideias se aplicam a uma série de situações. Vejamos duas questões relacionadas: Um avião, cuja velocidade em relação ao ar é v, viaja da cidade A para a cidade B em um tempo t, quando não há vento. Quanto tempo será gasto para a viagem, quando sopra um vento com velocidade u (em relação ao solo) perpendicularmente à linha que liga as duas cidades?
12 Para que a direção permaneça na linha AB, é preciso que a composição vetorial das velocidades dadas caia na linha. Isto é, v será a hipotenusa e u um dos catetos, sendo o outro cateto a resultante final. Logo: V r = (v u ) Deve- se fazer a distância AB divida por essa velocidade. Mas a distância de AB é v.t. Assim: t = vt ( ) (Fuvest- SP)Um disco roda sobre uma superfície plana, sem deslizar. A velocidade do centro O év 0. Em relação ao plano: a) qual é a velocidade v A do ponto A? b) qual é a velocidade v B do ponto B? Resposta:
13 Sabe- se, por composição de movimento, que a velocidade no ponto B (v b ) é a soma da velocidade de translação com a de rotação, assim como de A (v a ). Observe a imagem anterior. De tal forma que, instantaneamente: a) v b = 2vo e b) v a = 0 Movimento Circular: Pense em um ponto material realizando um movimento circular. Perceba que, todo tempo, seu vetor velocidade muda a direção, adequando- se à curva, o que deve ser realizado por uma aceleração (pela definição de aceleração como a responsável por variar a velocidade). Essa aceleração é chamada centrípeta, apontada para o centro, curvando a velocidade. É possível provar que seu valor é: a c = Um dos resultados mais importantes da cinemática. Ainda estudando o movimento circular, passa- se a estudar os movimentos não em função de espaços, mas de ângulos, isto é, dado certa grandeza linear da circunferência, podendo- se escrever: S = αr, α em radianos Estrutura- se a chamada cinemática angular, de tal forma que: α(t) = αo + ωt Sendo ω a velocidade angular, v = ωr, geralmente dada em rad/s. Num caso de movimento circular uniforme. Se fosse uniformemente variado: α(t) = αo + ωt + Sendo γ a dita aceleração angular, a = γr, geralmente dada em rad/s 2. Aqui mais algumas definições surgem, no caso do movimento circular uniforme: T Período, o tempo para que uma revolução seja realizada. f Frequência, o número de revoluções (mesmo fração) que se dá em um segundo. Percebe- se, facilmente, que: T = E que, dado o ângulo de uma circunferência, igual a 2π, o período vale: T = " = " = 2πf.
14 A aceleração centrípeta também pode ser reescrita em função do ω: a c = () = ω 2 r Aqui, certos vínculos são de grande importância. Quando se tem discos acoplados a um mesmo eixo, como o caso abaixo, temos que a velocidade angular (ω) é a mesma, os produtos desse ω pelos respectivos raios são diferentes, quanto maior o raio, maior as velocidades. ω = cte e V n = ωr n Já no outro caso as velocidades lineares são as mesmas transmitidas na corrente, isto é: V = ω n r n = cte Para tratar desses conteúdos, veja a questão abaixo: (UFC) A figura abaixo (outra página) mostra um arranjo para uma medida experimental da velocidade de uma bala atirada por uma arma. Nele, dois discos, paralelos, solidários, separados por uma distância d = 1,75giram com frequência comum de 400 rpm. A bala fura o primeiro disco e depois de um tempo Δtos discos giram de um angulo θ = (π / 3) rad. A partir desses dados, determinar, em m / s, a velocidade da bala. Considere que a bala move- se em linha reta.
15 Dada a frequência, 4oo rpm, transforma- se a mesma para hertz: 400 rpm = "" " = " Hz Logo, facilmente acha- se a velocidade angular ω: ω = 2πf = 2π " = " rad/s. Assim, o tempo de passagem da bala foi: " = 0,025s A bala terá então uma velocidade dada por, sendo constante, a divisão espaço por tempo: v = 1,75 0,025 = 70m/s