011 rotação - rotação
Versão preliminar 24 de setembro de 2002
1. ROTAÇÃO 2
AS VARIÁVEIS DA ROTAÇÃO 2
Posição angular 2
Deslocamento angular 2
Velocidade angular 3
Aceleração angular 3
ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE 3
AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES 4
A posição 4
A velocidade escalar 4
A aceleração 4
ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO 5
MOMENTO DE INÉRCIA 5
Teorema dos eixos paralelos 6
Alguns exemplos de cálculo de momento de inércia 7
A SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA A ROTAÇÃO 1
TRABALHO, POTÊNCIA, E O TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINÉTICA 12
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A cinemática dos corpos rígidos trata dos movimentos de translação e rotação. No movimento de translação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento linear. Por outro lado, no movimento de rotação pura as partes de um corpo descrevem trajetórias circulares cujos centros situam-se sobre uma mesma reta - chamada de eixo de rotação. No movimento de rotação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento angular. O movimento que se aproxima mais de uma situação real é aquele que incorpora tanto a translação quanto a rotação.
As variáveis da rotação
À semelhança do movimento de translação, para a análise da rotação utilizamos de parâmetros equivalentes a aqueles definidos anteriormente.
Quando um objeto de um formato arbitrário, tem uma trajetória circular em torno de um certo eixo, podemos definir algumas grandezas que descreverão esse movimento. Podemos marcar um dado ponto do objeto e analisar o seu movimento. A distância deste ponto ao eixo de rotação é chamado de raio r da trajetória. A sua trajetória descreve um arco de comprimento s . A posição angular associada ao arco e o raio é o ângulo θ .
Quando um corpo está em rotação, ele está variando a sua posição angular de modo que num dado momento ela é definida pelo ângulo θ1 e num instante posterior é defini- da pelo ângulo θ2 , de modo que o deslocamento angular entre os instantes conside-
∆θ = θ2 - θ1
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A velocidade angular é a taxa com que a posição angular está variando; é a razão entre o deslocamento angular e o tempo necessário para fazer esse deslocamento.
Definimos a velocidade angular média como:
tttw ∆
Definimos a velocidade angular instantânea como:
dtdt Limw t
Quando a velocidade angular de um corpo não é constante mas varia no tempo com uma certa taxa, esse corpo terá uma aceleração angular.
Definimos a aceleração angular média como:
tw t w ∆
Definimos a aceleração angular instantânea como:
dtdwt wLimt = ∆
À semelhança do movimento de translação com aceleração constante, as equações para rotação são obtidas integrando-se a equação de movimento:
teconsdt dw tan==α dw αθθθθ 0
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A velocidade angular média foi definida de modo que:
twt mas quando estamos analisando o movimento com aceleração constante, também podemos definir a velocidade angular média como:
e usando essa equação na anterior, temos que:
wwwwt w
As variáveis lineares e angulares
Ao analisarmos o movimento de rotação de um objeto o parâmetro que descreve o deslocamento espacial é s = r θ
Quando observamos os corpos rígidos, a rotação se faz com raio constante, ou seja: cada ponto observado mantém uma distância constante ao eixo de rotação. Desse modo:
wrvdt drdt onde v é a velocidade linear de um certo ponto do corpo e w é a velocidade angular desse ponto considerado. Na realidade, w é a velocidade angular do corpo por inteiro.
De maneira equivalente, a aceleração de uma dado ponto de um corpo é definida como:
αradt dwrdt
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Essa aceleração é também conhecida como aceleração tangencial, pois dá conta da variação do módulo da velocidade. Como a velocidade é tangencial à curva, para que o seu módulo varie é necessário uma aceleração nesta direção.
Com a definição dessa aceleração, temos agora dois tipos de aceleração no movimento circular: a aceleração tangencial e a aceleração radial (ou centrípeta), ou seja:
rwr va ra ondeaaa
Vamos considerar um conjunto de N partículas, cada uma com massa mi e velo- cidade iv! girando em torno de um mesmo eixo do qual distam ri . A energia cinética deste sistema é: