Seno, Cosseno e tangente - Resumo
Este é um resumo sobre o seno, cosseno, tangente, dá-nos uma visão geral de sua escala de valores e fornece problemas práticos na identificação dos lados que são opostos e adjacentes a um determinado ângulo.
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.
Resumo Seno, Cosseno e Tangente
Seno: O seno de um ângulo é sempre a relação entre o (lado oposto) / (hipotenusa).
No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y'
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos.
Cosseno: O coseno de um ângulo é sempre a relação entre o (lado adjacente / hipotenusa).
O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M.
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x'
Tangente: A tangente de um ângulo é sempre a relação entre o (lado oposto) / (lado adjacente)
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t'
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:
cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
Video Aula Sobre Seno, Cosseno e Tangente
Ângulos no segundo quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:
cos( /2)=0 e sen( /2)=1
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.
Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: <a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Em particular, se a= radianos, temos que
cos( )=-1, sen( )=0 e tan( )=0
Ângulos no quarto quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3 /2, temos:
cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1
Simetria em relação ao eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos:
sen(a) = -sen(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
Simetria em relação à origem
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico.
Primeira relação fundamental
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é:
que é verdadeira para todo ângulo a.
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).
Segunda relação fundamental
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:
tan(a) =
sen(a)
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.
Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.
Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica na figura seguinte.
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:
Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0<a<2 com a /2 e a 3 /2 temos
Forma polar dos números complexos
Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:
z = r [cos(c) + i sen(c)]
onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z.
A multiplicação de dois números complexos na forma polar:
A = |A| [cos(a)+isen(a)] B = |B| [cos(b)+isen(b)]
é dada pela Fórmula de De Moivre:
AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso
A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)
Multiplicando A e B, obtemos
AB = cos(a+b) + i sen(a+b)
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z:
eiz = cos(z) + i sen(z)
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:
A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)
onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,
ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)
ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]
ei(a+b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b)
+ i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo