Elementos dos gráficos
Alguns elementos estão presentes em todos os tipos de gráficos. São eles:
Título: frases curtas com a palavra-chave do assunto apresentado.
Fonte: parte importante para dar credibilidade ao gráfico. Identificação da fonte (estudos científicos, órgãos públicos, instituições privadas, economistas, etc.) no qual a informação foi retirada.
Números: valores que são essenciais para a comparação dos fatos. Eles são organizados em ordem crescente e apontam quantidades e períodos (mês, semestre, ano).
Legendas: pequeno resumo das informações analisadas no gráfico. Podem ser colocadas em qualquer parte e destacadas por cores.
Existem variados tipos de gráficos, que atuam conforme os dados coletados, e como serão transmitidos. Por esse motivo, nem todos eles são adequados em certas situações.
A escolha incorreta pode comprometer a análise dos números e a autenticidade da informação. Conheça a utilidade de cada um deles:
O gráfico de colunas, também chamado de gráfico de barra, são usados na comparação dos quantitativos em setores, espaços de tempo ou lugares. Os dados são colocados na posição vertical e as categorias qualitativas na horizontal.
Modelo de gráfico vertical. (Foto: Educa Mais Brasil)
Modelo de gráfico horizontal. (Foto: Educa Mais Brasil)
Serve para informações simples e valores em duração (crescente ou decrescente). Podem ser projetados em barras agrupadas, barras empilhadas, cones, cilindros e pirâmides.
Também conhecido como gráfico de segmento, é utilizado para exemplificar parâmetros de evolução e regressão. Ou seja, sequências numéricas presentes em certos espaços de tempo.
Exemplo de gráfico de linhas. (Educa Mais Brasil)
Considere a sua aplicação caso não seja necessário discutir a continuidade das variações. São projetados das seguintes maneiras:
Linha com marcadores
Linha empilhada
Linha empilhada com marcadores
Tipos de gráficos: pizza. ( Foto: Educa Mais Brasil)
O gráfico de pizza ou gráfico de setores é adequado para estatísticas e percentuais (porcentagens). As partes, quando somadas, devem resultar no todo (100%). É viável para série de dados, valores positivos e diferentes de zero, menos de sete categorias avaliadas. Podem aparecer em 3D, pizza de pizza e barra de pizza.
Semelhante ao gráfico de linhas com marcadores, destaca as alterações e compara as variáveis em relação ao tempo. Assim como o de pizza, representa partes de um todo e as categorias em duas ou mais dimensões.
Tipos de gráficos: área. ( Foto: Educa Mais Brasil)
Os tipos são: área 3D, área empilhada, área 3D empilhada e porcentual de área empilhada.
Também conhecido como gráfico de Scatter, esse tipo mostra a relação entre diferentes variáveis e seus resultados.
O uso desse modelo é aconselhado em trabalhos que destacam as semelhanças entre os valores sem o auxílio do tempo. Quanto mais dados forem incluídos, melhores serão as análises.
Tipos de gráficos: dispersão (Foto: Educa Mais Brasil)
Podem ser elaborados de tais formas:
Dispersão com linhas suaves
Dispersão com linhas suaves e marcadores
Dispersão com linhas retas
Dispersão com linhas retas e marcadores
Tipos de gráficos: rede. (Foto: Pixabay)
Fluxograma com sequências interligadas para determinar os dados que ainda não foram concluídos e as suas dependências. Desenhos com nós e flechas são os mais usados.
Assim como o gráfico de colunas, utiliza a distribuição e análise de dados estatísticos. A altura dos desenhos é proporcional a frequência dos acontecimentos e as barras são separadas entre si.
Modelo de histograma. (Foto: Educa Mais Brasil)
A variável precisa ser quantitativa e o valores de forma contínua. A depender da sua estética, são classificadas em:
Histograma simétrico
Histograma assimétrico
Histograma Despenhadeiro
Histograma com Dois Picos
Histograma Platô
Histograma Retângulos Isolados
Exemplo de infográfico. (Foto: Wikimedia Commons)
Entre os tipos de gráficos, essa categoria explora é a que mais explora imagens, desenhos e variados elementos visuais, tornando-os altamente atrativos ao público leitor. Por isso, é comum a aparição em matérias jornalísticas, livros didáticos e campanhas publicitárias.
Exercícios de Gráficos/Resolvidos
03) Para construir um gráfico de setores, representando alguma estatística a respeito de sua turma, um estudante fez a divisão ilustrada na imagem e colocou nele um número referente a um dos setores do gráfico. A respeito dessa construção, assinale a alternativa correta.
(A) O maior ângulo central nesse gráfico mede 150°.
(B) O número total de alunos nessa turma é 62.
(C) O menor setor do gráfico está relacionado a 9 alunos.
(D) Não é possível garantir que os setores são proporcionais aos números que representam.
(E) O maior setor desse gráfico representa 20 alunos.
Observe que as medidas do lado direito desse gráfico são ambas com 90°, totalizando 180°. Para os dois outros ângulos, sobram apenas 180°. Como 30° é a medida do ângulo do menor setor, então 150° é a medida do ângulo do maior setor. Portanto, a alternativa correta é a letra A.
Para mostrar que as outras alternativas estão erradas, basta usar regra de três e descobrir os valores específicos de cada parte do gráfico.
04) O gráfico a seguir diz respeito aos resultados obtidos por uma turma de alunos de um curso preparatório específico para professor de educação básica. Resultados dos professores no curso preparatório
05) (ENEM 2012) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
Talvez seja óbvio demais. Você pode marcar na prova uma questão e chegue no cartão resposta, dá aquela balançada e marca outra. Mas é isso mesmo:
06) (ENEM 2010) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde.
(A) indígenas.
(B) gestantes.
(C) doentes crônicos.
(D) adultos entre 20 e 29 anos.
(E) crianças de 6 meses a 2 anos.
07) (ENEM 2016) O procedimento de perda rápida de "peso" é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três "pesagens" antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos "pesos". As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.
08) (ENEM) A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas.
(C) terça e na quinta-feira.
Analisando o enunciado do problema e o gráfico, observamos que a linha tracejada representa as reclamações recebidas e a linha contínua representa as reclamações resolvidas. Se nós desejamos identificar os dias em que o número de reclamações resolvidas excedeu as reclamações recebidas, basta procurar no gráfico os dias em que a linha contínua atingiu maiores picos em relação à linha tracejada. No gráfico, podemos constatar que tal fato ocorreu apenas na terça e na quarta. Portanto, são esses os dias em que o nível de eficiência foi muito bom.
09) (ENEM) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados "Contos de Halloween". Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: "Divertido", "Assustador" ou "Chato". Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.
10) (ENEM 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007.
11) (ENEM) Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três as alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico.
A Estatística é bastante utilizada em diversos ramos da sociedade, no intuito de realizar pesquisas, colher dados e processá-los, analisar informações, apresentar situações através de gráficos de fácil compreensão. Os meios de comunicação, ao utilizarem gráficos, deixam a leitura mais agradável. O IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) é considerado um órgão importante e conceituado na área. No intuito de conhecer e aprofundar nos estudos estatísticos precisamos conhecer alguns conceitos e fundamentos primordiais para o desenvolvimento de uma pesquisa.
Média aritmética: medida de tendência central. Somatório dos valores dos elementos, dividido pelo número de elementos.
Média aritmética ponderada: Somatório dos valores dos elementos multiplicado pelos seus respectivos pesos, dividido pela soma dos pesos atribuídos.
Moda: valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete.
Mediana: medida central em uma determinada sequência de dados numéricos.
Amplitude: subtração entre o maior valor e o menor valor dos elementos do conjunto.
Variância: dispersão dos dados variáveis em relação à média.
Desvio Padrão: raiz quadrada da variância. Indica a distância média entre a variável e a média aritmética da amostra.
A média aritmética é uma das medidas de centralidade. Ela resulta da divisão entre a soma dos números de uma lista e a quantidade de números somados.
Ms: = média aritmética simples
x1, x2, x3,...,xn = valores dos dados
n = número de dados
01) Sabendo que as notas de um aluno foram: 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7, qual a média que ele obteve no curso?
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu peso. Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos.
Mp = Média aritmética ponderada
p1, p2,..., pn = pesos
x1, x2,...,xn = valores dos dados
Determinar a média dos números 3, 12, 23, 15, 2.
Conclusão: a média dos números é igual a 11.
Esse tipo de cálculo é muito utilizado em campeonatos de futebol, no intuito de determinar a média de gols da rodada; nas escolas, para o cálculo da média final dos alunos; nas pesquisas estatísticas, pois a média dos resultados determina o direcionamento das ideias expressas pelas pessoas pesquisadas etc.
02) Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Matemática com base nas seguintes notas bimestrais:
Conclusão: a média anual de Carlos foi 6,75.
03) O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso, o seu valor diário possui variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana, foram verificadas estas variações:
Determine o valor médio do preço do dólar nessa semana.
Conclusão: o valor médio do dólar na semana apresentada foi de R$ 2,24.
04) Em uma empresa existem cinco faixas salariais divididas de acordo com a tabela a seguir:
Conclusão: a média salarial da empresa é de R$ 1.000,00.
05) Em uma escola, a média final a ser alcançada por qualquer aluno no intuito de obter aprovação é 7,0. Carlos obteve as seguintes notas na disciplina de Matemática durante o ano letivo:
1º Bim 5,5
2º Bim 7,0
3º Bim 9,0
4º Bim 8,0
Vamos calcular a média final de Carlos, para isso devemos somar as notas obtidas nos bimestres e dividir o total pelo número de bimestres.
Conclusão: a média final de Carlos foi 7,4, sendo aprovado na disciplina de Matemática.
06) Em uma sequência de 8 jogos amistosos, o time A obteve os seguintes resultados: 4x2, 3x0, 4x2, 0x1, 2x2, 3x0, 4x4, 2x0. Qual a média de gols marcados pelo time A nesses jogos amistosos? E a média de gols sofridos?
07) Em determinado colégio, um estudante realizou cinco avaliações no decorrer do ano letivo e obteve os resultados seguintes. Qual foi a média das notas?
Nota 1 = 8,2
Nota 2 = 7,8
Nota 3 = 10,0
Nota 4 = 9,5
Nota 5 = 6,7
Essas informações são suficientes para calcular a média aritmética das notas deste aluno. Basta somar todas as notas obtidas e dividir pela quantidade de avaliações. Neste caso, foram cinco.
Ms = 8,2 + 7,8 + 10 + 9,5 + 6,7 / 5
Ms = 42,5 / 5
Ms = 8,4
Conclusão: a média das notas foi 8,4.
08) Um time de futebol qualquer participou de cinco partidas ao longo de um campeonato esportivo. Na primeira partida, esse time marcou 2 gols, 1 gol na segunda partida, na terceira rodada foram 4 gols, 1 na quarta e 5 na quinta. Qual foi a média de gols?
Com essas informações, é viável saber qual a média de gols desse time por partida. Basta somar o total de gols e dividir pelo número de partidas. Neste caso, foram 5.
Ms = 2 + 1 + 4 + 1 + 5 / 5
Ms = 13 / 5
Ms= 2,6
Conclusão: o time esportivo marcou, em média, 2,6 gols em cada jogo.
09) Calcule a média dos números a seguir: 5, 10, 20, 100, 200
Ms = 5 + 10 + 20 + 100 + 200 / 5 (existe um total de cinco números na amostra)
Ms = 335 / 5
Ms = 67
Conclusão: a média aritmética destes dados é 67.
10) Marcos participou de um concurso público. Na prova, foram aplicadas disciplinas de português, matemática, biologia e história. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente.
Os resultados alcançados por Marcos foram: 8,0 em português, 7,5 em matemática, 5,0 em biologia e 4,0 em história. Com tais resultados, qual média ponderada ele obteve no concurso?
Mp = 8,0 X 3 + 7,5 X 3 + 5,0 X 2 + 4,0 X 2 / 3 + 3+ 2 + 2
Mp = 64, 5 / 10
Mp = 6,45
Conclusão: a média de Marcos nesse concurso foi 6,45
12) Mateus estuda em uma escola onde a média anual é calculada de acordo com a média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado com o bimestre, é possível identificar a média de Mateus na disciplina de matemática durante o ano.
3º bimestre: 8,0
4º bimestre: 7,5
Mp = 7,0 X 1 + 6,0 x 2 + 8,0 X 3 + 7,5 X 4 / 4
Mp= 73,0 / 10
Mp = 7,3
Conclusão: s média em matemática do estudante Marcos foi 7,3.
A análise combinatória é utilizada para resolver problemas de contagem. Utilizando os processos combinatórios é possível determinar o número de combinações, arranjos e permutações possíveis. Para cada uma destas aplicações, alguns critérios devem ser respeitados. Iremos agora conduzir você a entender o Diagrama da Árvore. Quando conseguir assimilar esta estrutura será fácil entender o Princípio Fundamental da Contagem
13) Calcule o valor de: 5!
Conclusão: 120
14) De quantas maneiras distintas sete pessoas podem sentar em sete poltronas?
Conclusão: 7! = 7 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 maneiras.
A combinação é a formação de um grupo não ordenado. Vamos pensar dentro da contagem:
15) Em uma turma de 30 alunos, 6 serão sorteados para uma viagem. Quantas possibilidades possíveis para esse sorteio?
16) Na formação de senhas para clientes, um banco disponibiliza oito dígitos entre: 0, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 8. Sabendo que cada senha é formada por três dígitos distintos, qual o número de senha?
Conclusão: 336 senhas.
17) Arnaldo planeja ir à praia e deseja utilizar uma camiseta, uma bermuda e um chinelo. Sabe-se que ele possui 5 camisetas, 6 bermudas e 3 chinelos. De quantas maneiras distinta Arnaldo poderá vestir-se?
Número de opções de camisetas: 5
Número de opções de bermudas: 6
Número de opções de chinelos: 3
Pelo Principio Fundamental da Contagem:
18) Uma prova possui 5 questões de múltipla escolha, onde cada uma possui 4 opções distintas. De quantas maneiras a prova pode ser resolvida?
(E) 2056
Cada uma das 5 questões possui 4 opções distintas.
Pelo PFC:
4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1024
19) Quantos números de três algarismos distintos existem?
Para que o número tenha 3 algarismos, o zero não pode ser utilizado nas centenas. Podemos então utilizar qualquer dos algarismos de 1 a 9, ou seja, temos 9 opções.
Analisando as dezenas, podemos utilizar o zero e qualquer um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas centenas. Temos então 9 opções.
Analisando agora o algarismo das unidades, podemos utilizar um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas dezenas ou nas centenas. Temos então 8 opções.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC):
9 . 9 . 8 = 648
20) (Petrobras – Cesgranrio) Uma senha de 5 caracteres distintos deve ser formada usando as letras A e O e os números 0, 1, 2. As senhas devem começar e terminar com letras, mas não é permitido usar o 0 (zero) ao lado do O (letra o).
Quantas senhas podem-se formar atendendo às regras estabelecidas?
Devemos formar a senha da seguinte forma:
Letra – Número – Número – Número – Letra
Como só podemos utilizar duas letras, temos duas opções Veja:
A _ _ _ O
O _ _ _ A
O próximo passo é organizar os números. A única restrição que temos é que o zero e a letra O não podem ficar juntos. Desta forma, temos duas opções para o algarismo zero. Exatamente as duas posições não adjacentes a letra O. Veja:
A 0 _ _ O
A _ 0 _ O
Basta agora localizarmos os algarismos 1 e 2. Como restam duas posições, o primeiro a ser incluído tem duas opções, enquanto o segundo tem apenas uma.