Ondas em água - MECANICA DOS FLUIDOS
1.13J/2.062J, PROPAGAÇÃO DE ONDAS
Outono, 2000 MIT Observações de C. C. Mei
1 Equações governantes para ondas na superfície do mar
Neste capítulo, tomaremos a água como exemplo de um fluido não-viscoso e incompressível e consideraremos as ondas de amplitude infinitesimal, de forma que a aproximação linear seja suficiente. Lembre-se de que, no primeiro capítulo, quando a compressibilidade é incluída o potencial de velocidade definido por u = ∇Φ é governado pela equação de onda:
onde é a velocidade do som. Considere a relação
Conforme mostrado anteriormente, a velocidade de fase da onda mais veloz é onde g é a aceleração gravitacional e h a profundidade do mar. Agora, h é no máximo 4.000m e a velocidade do som na água é c = 1.400m/seg2, de forma que a relação cima é no máximo
No entanto, aproximamos (1.1) através de
Permita que a superfície livre seja z = ζ(x, y, t). Então, para uma superfície livre suavemente inclinada a velocidade vertical do fluido na superfície livre deve ser igual à velocidade vertical da própria superfície, ou seja,
Tendo apenas a ver com a velocidade, ela é chamada de condição cinemática.
Para pequenos movimentos de amplitude, a equação de momentum linear indica Agora, permita que a pressão total seja dividida em partes estáticas e dinâmicas
onde p0 é a pressão estática
a qual relaciona a pressão dinâmica à velocidade potencial.
Vamos supor que o ar acima da superfície do mar é basicamente estagnado. Por causa de sua pouca densidade, ignoramos o efeito dinâmico do ar e supomos que a pressão do ar seja constante, o que pode ser aceito como zero sem perda de generalidades. Se a tensão da superfície for ignorada, a continuidade da pressão exige que
para a principal ordem de aproximação, temos, portanto,
Sendo uma afirmação sobre forças, ela é chamada de condição-limite dinâmica. As duas condições (1.3) e (1.10) podem ser unificadas para dar
Se a tensão da superfície também estiver incluída, então adotamos o modelo onde existe uma película fina que cobre a superfície da água com tensão T por unidade de comprimento. Considere um retângulo horizontal dxdy sobre a superfície livre. A força vertical líquida dos quatro lados é
A continuidade da força vertical em uma unidade da área de superfície exige
Dessa forma, que pode ser unificada à condição cinemática (1.3) para resultar em
Quando a viscosidade é desprezada, a velocidade do fluido normal desaparece no rígido leito do mar,
Permita que o leito do mar seja z = −h(x, y), então a unidade normal é
2 Ondas progressivas em um mar de profundidade constante
2.1 O potencial de velocidade
Considere o caso mais simples de profundidade constante e ondas senoidais com cristas infinitamente longas, paralelas ao eixo y. O movimento está no plano vertical (x, y). Vamos buscar
uma solução que represente um trem de ondas avançando ao longo da direção x com freqüência ω e número de ondas k,
A fim de satisfazer (1.2), (1.13) e (1.16), precisamos (2.2) (2.3) (2.4)
Obviamente, a solução para (2.2) e (2.4) é
indicando que A fim de satisfazer (2.3), necessitamos
que é a relação de dispersão entre ω e k. Com base em (1.3), obtemos
Por integração,
onde A significa a amplitude de onda de superfície, conclui-se que
2.2 A relação de dispersão
Vamos primeiro examinar a relação de dispersão (2.6), onde três comprimentos são apresentados: a profundidade h, o comprimento de onda λ = 2π/k e o comprimento λm = 2π/km em
Como lembrete, na interface ar-água observamos que T/ρ = 74cm3/s2, g = 980cm/s2, de forma que λm = 1,73 cm. A profundidade de interesse oceanográfico varia de O(10cm) a milhares de metros. O comprimento de onda varia de poucos centímetros a centenas de metros.
Vamos apresentar
então (2.6) é normalizado para
Considere primeiro as ondas de comprimento da ordem de λm. Para profundidades de interesse oceanográfico, h >> λ ou kh >> 1, tanh kh ≈ 1. Portanto,
ou em forma dimensional
A velocidade de fase é Definindo
a equação anterior assume a forma normalizada
Figura 1: Velocidade de fase de ondas de gravidade capilar em água muito mais profunda que λm.
Dessa forma, para os comprimentos de onda bem mais curtos que 1,7 cm, a capilaridade sozinha é importante. Estas ondas são chamadas ondas capilares. Por outro lado,
Dessa forma, para os comprimentos de onda muito mais longos que 1,73 cm, a gravidade sozinha é importante. Estas ondas são chamadas ondas de gravidade. Já que em ambos os limites, c se torna maior, deve haver um mínimo para algum k intermediário. A partir de
o c mínimo ocorre quando
O menor valor de c é cm. Para a variação intermediária, onde tanto a capilaridade quanto a gravidade são de igual importância, a relação de dispersão é traçada na figura (1).
Em seguida, consideramos as ondas de gravidade mais longa onde os efeitos da profundidade são essenciais.