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Visualizando mapas online: um recurso prático para a compreensão do Teorema de Tales
Autor: EDERSON DE OLIVEIRA PASSOS
Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas, conforme habilidade H4 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente, conforme habilidade H13 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
Identificar em fontes diversas o processo de ocupação dos meios físicos e as relações da vida humana com a paisagem, conforme habilidade H26 da matriz de referência de Ciências Humanas e suas Tecnologias do ENEM.
2 a 3 horas/aulas (50 minutos cada)
Acesso, navegação e exploração da Internet;
Aplicação do Teorema de Tales;
Arredondamento de medidas de comprimento.
Folha de papel A4.
Professor, inicie a aula solicitando aos alunos que acessem a Internet no site do Google. Disponível em: <http://www.google.com.br>. Acesso em: 27 maio 2013.
Na barra de ferramentas desse site, é possível acessar o Google mapas. Se achar mais conveniente, indique o endereço direto: <http://maps.google.com.br/maps?hl=pt-BR&tab=wl>. Acesso em: 27 maio 2013. Esse site possibilita a visualização de qualquer área da superfície terrestre na forma de mapa ou satélite.
Professor, para dar prosseguimento à aula é necessário orientar os alunos a habilitarem a função de realização de medidas online disponível no endereço. Neste caso, os alunos devem dar um clique no link identificado com a inscrição "Labs do Google Maps", localizado na página no canto inferior esquerdo, conforme ilustrado a seguir (figura1).
Figura 1: Visualização do atalho para habilitação da ferramenta de medida de distância.
Fonte: < https://maps.google.com.br/maps?hl=pt-BR>. Acesso em: 25 jul. 2013.
Ao clicar neste atalho, abre-se uma nova página, em que é necessário selecionar a opção "Ferramenta para medição de distância" que permite a realização online da medida da distância entre dois pontos. Após a seleção é preciso salvar as alterações, conforme destaques, em vermelho e amarelo, na ilustração a seguir (figura 2).
Figura 2: Visualização da habilitação da ferramenta de medida do site.
Com essas ações, o site disponibiliza a ferramenta de medida online que se localiza no canto inferior esquerdo do site, assemelhando-se como um pedaço de régua, conforme destaque na ilustração a seguir (figura 3).
Figura 3: Visualização da ferramenta de medida.
Solicite que os alunos localizem uma cidade, de preferência, a sua própria.
Comentário: Para uma adequada aproximação da imagem, torna-se necessário que os alunos usem o recurso de aproximação e afastamento de visualização da imagem na tela localizado na reta vertical no lado esquerdo da tela. Este recurso está em destaque na figura a seguir (Figura 4). Vale lembrar que essa ação pode ser executada pelo botão de rolagem do mouse.
Figura 4: Visualização do munícipio de Uberlândia.
Oriente os alunos a buscarem uma aproximação adequada de forma a permitir que localizem uma região da cidade em que seja possível realizar as medidas e, assim, verificar a aplicação e validade do Teorema de Tales.
Comentário: Para uma visualização mais próxima do real, recomenda-se que os alunos mudem o tipo de visualização da região escolhida. A mudança do tipo de visualização do mapa é disponibilizada na parte superior direta do site, conforme destacada na figura (Figura 5) a seguir. Aconselha-se que o professor sugira a visualização da imagem por satélite.
Figura 5: Opções de vista da página do Google mapas.
Fonte: < http://maps.google.com.br/maps?hl=pt-BR&tab=wl>. Acesso em: 27 maio 2013
Para exemplificar as situações e procedimentos esperados na presente proposta, usa-se, como modelo, a cidade de Uberlândia-MG conforme destaque na ilustração a seguir (Figura 6). Nela, tem-se a demonstração de dois tipos de visualizações permitidas pelo site: mapa e satélite.
Figura 6: Exemplo de uma região encontrada para validação do Teorema de Tales.
Comentário: Julga-se este momento oportuno para a retomada da definição do Teorema de Tales: "Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra" (BONGIOVANNI, 2007, p. 94).
Utilizando a folha de papel A4 em branco, solicite que os alunos façam a representação da região escolhida, definindo as esquinas como os pontos (A, B, C, D, E e F) que determinam os segmentos proporcionais na reta transversal ao feixe de retas paralelas. Conforme exemplo anterior usando a cidade de Uberlândia, ter-se-ia:
Figura 7: Representação da região escolhida para aplicação do Teorema de Tales.
Em seguida, solicite que os alunos retornem à Internet e realizem as medidas das distâncias necessárias para validação do Teorema de Tales.
Para a realização das medidas, os alunos devem escolher dois pontos na região visualizada na tela do computador para que a distância entre eles seja determinada (pontos em destaque no mapa – vermelho e verde). Esta é informada no lado direito da tela, onde é possível, inclusive, escolher a unidade de medida, conforme destaques na ilustração a seguir (Figura 8).
Figura 8: Realização da medida e anotação na representação da região escolhida.
Comentário: Após a escolha da aproximação de visualização da região para aplicação do Teorema de Tales, os alunos devem ser orientados a não alterarem a aproximação de visualização do mapa para que as proporções entre as medidas não se alterem.
A medida da distância deve ser anotada pelos alunos na ilustração da região escolhida feita na folha de papel A4, neste caso segmento AB. Vale ressaltar que, para a aproximação da medida realizada, deve-se fazer um arredondamento adequado para a unidade mais próxima, conforme ilustração a seguir.
Figura 9: Anotação da medida realizada na representação da região escolhida para aplicação do Teorema de Tales.
Os alunos devem repetir o procedimento de medida para outros dois segmentos, deixando de realizar a quarta medida que representará a medida desconhecida. Assim, realizem as seguintes medidas no site, conforme destaque em vermelho na ilustração a seguir (Figura 10):
Figura 10: Realização das medidas nos demais segmentos.
As medidas realizadas devem ser anotadas na representação da região escolhida para aplicação do Teorema de Tales. Assim, a expectativa é que os alunos obtenham, ao final desse procedimento, uma representação próxima à da ilustração a seguir (Figura 11).
Figura 11: Representação das medidas realizadas na ilustração da região escolhida para aplicação do Teorema de Tales.
Os alunos devem usar as medidas e realizar os cálculos de modo a validar a aplicação do Teorema de Tales. Espera-se que os alunos apliquem a propriedade fundamental da proporção (Figura 12) e, assim, efetuem:
Figura 12: Realização dos cálculos para validação do Teorema de Tales.
Após a realização dos cálculos, os alunos devem voltar ao site e confirmar a medida do segmento de reta que falta, conforme ilustração a seguir (Figura 13).
Figura 13: Confirmação do cálculo pela medida do segmento.
Comentário: É importante alertar para a possibilidade de que, inicialmente, a medida realizada pode não coincidir com a medida calculada. Nesse caso, o professor, tem uma importante oportunidade para incentivar o levantamento de hipóteses. Aconselha-se o professor chame a atenção dos alunos para as definições dos pontos na realização das medidas.
Professor, como atividade de encerramento desta proposta, solicite que os alunos realizem uma busca sobre a biografia de Tales de Mileto, suas obras e estudos. Além de abordar a forma com que ele aplicou o seu teorema para a realização de medidas de distâncias inacessíveis e em Astronomia. Caso prefira, o professor pode indicar algumas fontes online, disponíveis em: <http://www.templodeapolo.net/Civilizacoes/grecia/filosofia/presocraticos/filosofia_presocraticos_tales.html#Egito> ou <http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/tales-de-mileto/tales-de-mileto-1.php>. Acesso em: 25 jul. 2013.
Comentário: A biografia de Tales de Mileto pode ser recolhida, exposta em forma de painéis ou socializadas na forma de leitura.
Como forma de enriquecer a presente proposta, pode-se trabalhar o processo histórico da cidade escolhida. Por isso, esta atividade pode ser trabalhada de forma interdisciplinar com a História e a Geografia. O professor de História pode solicitar que os alunos façam uma busca da biografia das pessoas que dão nome às ruas, caso seja nome de personalidades históricas ou ainda, solicitar uma busca da história da própria cidade. Já o professor de Geografia pode solicitar que os alunos utilizem a visualização via satélite para a caracterização do espaço urbano da cidade.
BONGIOVANNI, Vincenzo. O teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico. REVEMAT-Revista Eletrônica de Educação Matemática , v. 2, p. 94-106, 2007. Disponível em: < http://www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/documentos/documento_132.pdf>. Acesso em: 22 ago. 2013.
QUEIROGA, Alberto Luiz Fernandes; VITOR, Cláudio Barros. Desenho geométrico. Manaus/AM: UEA, 2007.
Como recurso complementar, o professor pode solicitar que os alunos realizem a construção das retas paralelas com o auxílio de régua e compasso ou com esquadros. As construções com esses objetos são abordadas na obra "Desenho Geométrico" (QUEIROGA; VITOR, 2007), disponível em: <http://docente.ifrn.edu.br/mailsoncarlos/desenho-geometrico>. Acesso em: 22 jul. 2013.
Recomenda-se, no processo avaliativo, que o professor observe o interesse, a motivação e o envolvimento dos alunos na realização das atividades, na discussão e emissão de opinião durante as situações propostas. O professor pode, ainda, adotar como critério avaliativo formal a elaboração da representação das regiões geográficas da cidade e suas respectivas medidas por meio da ilustração.
Aconselha-se, ainda, a utilização da autoavaliação, por ser um instrumento que permite aos alunos relatarem as facilidades e as dificuldades encontradas na realização das atividades propostas. É importante que todo o processo avaliativo possibilite ao professor perceber se os objetivos pretendidos inicialmente foram alcançados e quais as mudanças necessárias a serem adotadas em situações semelhantes posteriores para que os objetivos sejam conseguidos.