Otimização da localização das bases de ambulâncias e do dimensionamento das suas regiões de cobertura em rodovias. - PDF
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Nathalia Casqueira Natal
1 Otmzação da localzação das bases de ambulâncas e do dmensonamento das suas regões de cobertura em rodovas. Ana Paula Iannon Renaldo Morabto Departamento de Engenhara de Produção Unversdade Federal de São Carlos ; Rod. Washngton Lus km 235, São Carlos, São Paulo CEP: Telefone: (16) Fax: (16) Resumo Neste artgo combnamos extensões do modelo hpercubo de flas com algortmos genétcos para otmzar a confguração e operação de sstemas médcos emergencas em rodovas. Incalmente apresentamos um método para localzar as bases de ambulâncas ao longo da rodova de forma a otmzar as prncpas meddas de desempenho do sstema. Em seguda estendemos a abordagem para apoar duas decsões combnadas: a localzação das bases de ambulâncas e o dmensonamento das regões de cobertura de cada base na rodova. Por exemplo, a abordagem permte determnar os locas para posconar as bases de ambulâncas e dmensonar os tamanhos das suas áreas de atuação, tas que mnmzem o tempo médo de resposta aos usuáros e/ou o desbalanceamento das cargas de trabalho das ambulâncas do sstema. Para lustrar a aplcação dos métodos propostos, analsamos os resultados de dos estudos de caso em rodovas brasleras. Palavras-chaves: localzação e despacho de ambulâncas, algortmo genétco, modelo hpercubo, flas espacalmente dstrbuídas, rodovas. Optmzng the locaton of ambulance bases and the dstrctng of ther coverng regons on hghways Abstract In ths paper we combne extensons of the hypercube queueng model wth genetc algorthms to optmze the confguraton and operaton of emergency medcal systems on hghways. Intally we present a method to locate the ambulance bases along the hghway so that the man system performance measures are optmzed. Then we extend the approach to support combned decsons: the locaton of ambulance bases and the dstrctng of the 1
2 coverng regons of each base on the hghway. For nstance, the approach can search for locals to place the ambulance bases and determne the szes of ther operaton areas, such that the mean user response tme and/or the ambulance workload mbalance are mnmzed. To llustrate the applcaton of the proposed methods, we analyze the results of two case studes of Brazlan hghways. Keywords: locaton and dspatchng of ambulances, genetc algorthm, hypercube model, spatally dstrbuted queues, hghways. 1. Introdução Os sstemas de atendmento emergencal (SAEs) em rodovas têm a função de socorrer as vítmas de acdentes nas rodovas e, se necessáro, realzar o transporte das mesmas aos hosptas das cdades mas próxmas. Estes sstemas em geral não admtem flas de espera e operam com polítcas partculares de despacho de ambulâncas, em que somente alguns veículos podem ser despachados para atender um chamado emergencal em uma regão da rodova (backup parcal), devdo às restrções de tempo e dstânca. Além dsso, algumas polítcas também envolvem múltplos despachos, sto é, em alguns casos, dependendo do tpo de chamada, é necessáro despachar mas de uma ambulânca para atender um acdente. Nos estudos de Swersey (1994), Owen e Daskn (1998), Chyosh et al. (2000) e Brotcorne et al. (2003), são revsados os prncpas modelos de localzação para analsar SAEs. Em partcular, o modelo hpercubo proposto em Larson (1974), baseado em teora de flas espacalmente dstrbuídas, tem se mostrado efetvo para analsar SAEs em rodovas. O modelo envolve a solução de um sstema lnear de O(2 N ) equações (em que N é o número de ambulâncas), cujas varáves envolvdas correspondem às probabldades de estado do sstema em equlíbro. Por meo destas probabldades, podem ser estmadas mportantes meddas de desempenho para análse e gerencamento do sstema. No Brasl, alguns exemplos de aplcação do modelo hpercubo em sstemas de atendmento médco aparecem em alguns SAEs urbanos (Costa, 2004, Takeda et al., 2007) e SAEs em rodovas do estado de São Paulo e Ro de Janero (Mendonça e Morabto, 2001; Iannon e Morabto, 2006c). O modelo hpercubo também vem sendo estudado para aplcação em SAEs que atuam em casos de ataques terrorstas e catástrofes naturas de grande escala (Larson, 2004). Em partcular, em um estudo anteror (Iannon e Morabto, 2006c), o modelo hpercubo múltplo despacho fo estenddo para analsar um dos estudos de caso do presente artgo, consderando duas dferentes confgurações do sstema: uma com servdores dêntcos (confguração aqu analsada) e outra com servdores dferencados. Os resultados obtdos 2
3 com as extensões do modelo hpercubo foram comparados com os resultados da análse dos dados reas do estudo de caso. No entanto, dferentemente do presente trabalho, aquele estudo não utlzou um método de otmzação para prescrever uma confguração ótma (ou perto da ótma) para o sstema. Alguns estudos também têm sdo desenvolvdos para ntegrar o modelo hpercubo aproxmado em procedmentos de otmzação; por exemplo, Batta et al. (1989), Saydam e Aytug (2003), Chyosh et al. (2003), Galvão et al. (2005) e Rajagopalan et al. (2006). Nestes estudos, abordagens de otmzação foram apresentadas para determnar a localzação das ambulâncas em SAEs, ou seja, resolver um problema de localzação probablístco (locaton problem), não tratando o problema de dmensonamento das áreas de cobertura das ambulâncas (dstrctng problem). Em partcular, em outro estudo anteror (Iannon e Morabto, 2006a), o modelo hpercubo com backup parcal fo ntegrado em um algortmo genétco (algortmo AG/hpercubo de dmensonamento) para apoar decsões de dmensonamento das áreas de cobertura de cada ambulânca, de forma a determnar uma confguração ótma (ou perto da ótma) defnda pelo tamanho destas áreas, sem modfcar a localzação orgnal das ambulâncas. O algortmo fo aplcado para analsar um dos estudos de caso analsado no presente artgo (com únco despacho). O estudo mostrou que as meddas de desempenho do sstema podem ser melhoradas somente modfcando as áreas de atuação de cada ambulânca, sto é, sem ter que re-posconar as ambulâncas. O presente estudo pode ser vsto como uma extensão do estudo anteror em Iannon e Morabto (2006a), em que ncalmente modfcamos o algortmo AG/hpercubo de dmensonamento para otmzar a localzação das bases de ambulâncas ao longo da rodova (locaton problem), aqu chamado algortmo AG/hpercubo de localzação. Depos estendemos este algortmo para otmzar as decsões combnadas de localzação das bases de ambulâncas (locaton problem) e dmensonamento das regões de cobertura de cada base (dstrctng problem), aqu chamado de algortmo AG/hpercubo de localzação e dmensonamento. Dscute-se também como adaptar os algortmos para gerar curvas de tradeoff entre dferentes meddas de desempenho do sstema. Para lustrar o desempenho dos algortmos, resultados computaconas são analsados aplcando-os a dos estudos de caso: o prmero é um SAE que operava em trechos da rodova Presdente Dutra (o antgo sstema Anjos do Asfalto), que fo ncalmente estudado em Mendonça e Morabto (2001), e o segundo é um SAE de uma concessonára de rodovas no estado de São Paulo (sstema Centrovas), recentemente estudado em Iannon e Morabto (2006c). Para verfcar a qualdade das soluções produzdas pelos algortmos, utlzamos um 3
4 smples procedmento enumeratvo, que também ncorpora o modelo hpercubo e que é capaz de obter a confguração ótma de problemas de tamanho pequeno. Para valdar as meddas de desempenho produzdas pelo modelo hpercubo, elas são comparadas com as obtdas va smulação dscreta. Este artgo está organzado da segunte forma: na seção 2 apresenta-se uma breve descrção dos SAEs em rodovas dos estudos de caso, e na seção 3 descreve-se resumdamente como o modelo hpercubo pode ser adaptado para analsar estes SAEs. Na seção 4 apresenta-se o algortmo AG/hpercubo de localzação para apoar as decsões de localzação das bases de ambulâncas (locaton problem), e na seção 5, este algortmo é estenddo para apoar as decsões combnadas de localzação e dmensonamento das áreas de cobertura das bases das ambulâncas (locaton and dstrctng problem). Na seção 6, apresentam-se e analsam-se os resultados computaconas obtdos com a aplcação dos algortmos nos estudos de caso e, fnalmente, na seção 7 dscutem-se as conclusões deste estudo e perspectvas para pesqusas futuras. 2. Estudos de caso de SAEs em rodovas 2.1 SAE Anjos do Asfalto O sstema Anjos do Asfalto, ncalmente estudado por Mendonça e Morabto (2001), forneca atendmento médco emergencal em parte da rodova Presdente Dutra entre as cdades de São Paulo e Ro de Janero. Este SAE possuía 6 bases fxas ao longo de um trecho lnear da rodova, sendo que em cada base fcava posconada uma ambulânca. A polítca de despacho conssta em envar a ambulânca da base mas próxma do local da chamada. Se a ambulânca estvesse ocupada, a segunda ambulânca mas próxma (chamada backup) era despachada. Se ela também estvesse ocupada, a chamada era transferda para outro SAE e era consderada perdda para o sstema. Além dsso, neste sstema apenas um servdor poda ser envado a cada chamada. Esta polítca partcular de despacho é chamada únco despacho com backup parcal. base átomo Fgura 1 Bases de ambulâncas e átomos do sstema 4
5 A Fgura 1 lustra a dstrbução das ses bases de ambulâncas do SAE Anjos do Asfalto. A dstânca entre duas bases adjacentes é dvdda em duas regões (chamadas átomos), cada uma com uma lsta de preferênca de despacho. De acordo com esta lsta e exceto para as ambulâncas 1 e 6, todas as ambulâncas são despachadas como preferencas para dos átomos (à esquerda e dreta de sua base) e como backup para outros dos átomos (dreta e esquerda das ambulâncas adjacentes à esquerda e dreta, respectvamente). Para mas detalhes deste sstema, o letor pode consultar Mendonça e Morabto (2001) e Iannon e Morabto (2006a). 2.2 SAE Centrovas Neste sstema localzado no nteror do estado de São Paulo e analsado em Iannon e Morabto (2006c), há 5 bases de ambulâncas (chamadas SAU - Servço de Atendmento ao Usuáro) ao longo dos trechos de concessão das rodovas, sendo que cada base possu uma ambulânca. As ambulâncas são todas dêntcas, e a central de operações está localzada em uma das bases. A polítca de despacho consste em envar a ambulânca da base mas próxma do local da chamada, se a chamada requer apenas uma ambulânca (únco despacho). Se a ambulânca estver ocupada, a segunda ambulânca mas próxma (backup) é despachada. Quando a chamada requer duplo despacho, as duas ambulâncas mas próxmas são aconadas. Se alguma delas estver ocupada, a ambulânca dsponível é despachada. Caso as duas ambulâncas mas próxmas estverem ocupadas, a chamada (seja únco ou duplo despacho) é transferda para outro SAE e é consderada perdda (backup parcal). A Fgura 2 lustra a área de atuação do SAE analsado, envolvendo trechos de rodovas do nteror do estado de São Paulo. 5
6 Fgura 2: SAE em trechos de rodovas do nteror do estado de São Paulo. 3. Modelo hpercubo para SAEs em rodovas Como os dos estudos de caso possuem algumas característcas dferentes, descrevemos brevemente a segur como o modelo hpercubo pode ser adaptado para análse do SAEs com únco despacho (modelo 1 SAE Anjos do Asfalto) e únco e duplo despacho (modelo 2 - SAE Centrovas). O modelo 2, por sua vez, é uma extensão do modelo hpercubo múltplo despacho de Chelst e Barlach (1981), desenvolvdo para aplcação em sstemas de patrulhamento polcal. 3.1 Hpóteses dos modelos 1 e 2 Algumas hpóteses específcas dos modelos 1 e 2 são: No modelo 1, as chamadas chegam em cada átomo j com taxa méda de chegada λ j, de acordo com um processo de Posson, ndependente dos demas átomos, e todas as chamadas são consderadas de um mesmo tpo (únco despacho). No modelo 2, há dos [1] tpos de chamadas: chamadas tpo 1 (únco despacho), com taxa méda de chegada λ j, e [2] chamadas tpo 2 (duplo despacho), com taxa méda de chegada λ j ; O despacho dos servdores é realzado de acordo com uma lsta de preferênca para cada átomo. De acordo com esta lsta, no caso de uma chamada tpo 1, a prmera ambulânca da lsta (a mas próxma) é despachada e, se esta estver ocupada, a segunda da lsta é envada (backup). Se a ambulânca backup estver ocupada, a chamada é perdda para o sstema, mesmo se houver outras ambulâncas dsponíves (backup parcal). No modelo 2, no caso de uma chamada tpo 2, as duas prmeras ambulâncas da lsta são despachadas e, 6
7 se apenas uma delas estver dsponível, esta deve atender à chamada soznha (possvelmente, com a ajuda de outro SAE). Se ambas as ambulâncas estverem ocupadas, tanto chamadas tpo 1 quanto tpo 2 são perddas, dado que uma tercera ambulânca nunca é despachada (backup parcal). Os modelos admtem que os tempos de atendmento têm dstrbução exponencal negatva. Como dscutdo em Chelst e Barlach (1981), no modelo 2, chamadas tpo 1 são atenddas por uma únca ambulânca com taxa méda de atendmento µ, e chamadas tpo 2 são atenddas por duas ambulâncas e k, que operam de forma ndependente entre s, com taxas médas de atendmento µ e µ k, respectvamente. Estas polítcas de despacho específcas dos SAEs em rodovas também requerem modfcações nas equações de equlíbro do sstema, com relação ao modelo hpercubo orgnal (a solução destas equações resulta nas probabldades de equlíbro de cada estado do sstema). Neste modelo, uma transção pode ocorrer somente com a mudança de estado de apenas um servdor do sstema, e uma chamada é perdda apenas quando todos os servdores estão ocupados. Por outro lado, no modelo 2, uma transção também ocorre quando dos servdores se tornam ocupados com a chegada de uma chamada tpo 2 no sstema. Além dsso, nos modelos 1 e 2, chamadas podem ser perddas se os servdores de sua lsta de despacho estão ocupados, mesmo que haja outros servdores dsponíves no sstema. Mas detalhes sobre as equações de equlíbro e a aplcação dos modelos 1 e 2 para análse dos dos estudos de caso podem ser encontrados em Mendonça e Morabto (2001) e Iannon e Morabto (2006c). 3.2 Meddas de desempenho dos modelos 1 e 2 A partr das probabldades de equlíbro dos modelos 1 e 2, é possível obter nteressantes meddas de desempenho para avalar o SAE, tas como: tempos médos de resposta ao usuáro, probabldades de perda de chamadas, cargas de trabalho das ambulâncas, frações de despachos de cada ambulânca para cada átomo, fração de despachos em que o tempo de vagem excede um tempo lmte, etc. Para o modelo 1, as deduções das fórmulas para calcular as meddas de desempenho são mas smples que para o modelo 2, e podem ser encontradas em Larson e Odon (1981) e Mendonça e Morabto (2001). Para o modelo 2, as fórmulas são apresentadas com mas detalhes em Iannon e Morabto (2006c), onde foram adaptadas das equações e formulações propostas em Larson e Odon (1981) e Chelst e Barlach (1981). Por exemplo, no modelo 1, o tempo médo de vagem é defndo por: 7
8 T = N N A = 1 j = 1 f j t j, onde f j é a fração de despachos do servdor ao átomo j (obtdo a partr das probabldades de equlíbro), t j é o tempo de vagem do servdor ao átomo j (calculado utlzando os dados de tempo de vagem entre os átomos), N é o número de servdores e N A é o número de átomos. T = No modelo 2, o tempo médo de vagem no sstema é defndo por: N A j = 1 N [1] [2] N 1 N [2] [ f ' j + f ' j ) tj + f '(, k ) j mn( tj, tkj )] = 1 (, onde = 1 k = + 1 [1] f ' j corresponde a fração de despachos em que a ambulânca é despachada para atender chamadas tpo 1 no átomo j (únco despacho), f ' é a fração de despachos em que ambulâncas e k são [2] (, k ) j despachadas smultaneamente para o átomo j para atender chamadas tpo 2, [2] f ' j é a fração de despachos em que somente a ambulânca é despachada para atender chamadas tpo 2 no átomo j (e.g., quando a ambulânca k está ocupada). O desbalanceamento das cargas de trabalho dos servdores pode ser estmado pelo desvo padrão das cargas de trabalho. Outra medda nteressante para análse do sstema é a fração de chamadas atenddas em mas de 10 mnutos. Por exemplo, no modelo 2, esta medda é calculada por: N N A [1] [2] [2] tv> 10 = = = f ' + f ' + > j j j f ' k j p t 1 1 (, ) ) ( j 10) P [1] [2] [2] (, onde o termo ( ' f ' + f ' ) p( t > 10) f j + j (, k ) j j é a fração de todos os despachos do servdor ao átomo j para os quas o tempo de vagem excede 10 mnutos. Neste estudo, calculamos p ( > 10) determnando para qual fração do átomo j uma chamada de emergênca é atendda pela ambulânca em tempo de vagem maor que 10 mnutos. Mas detalhes sobre o cálculo destas e outras meddas dos modelos 1 e 2 podem ser encontrados em Chelst e Barlach (1981) e Iannon e Morabto (2006a, 2006c). t j 4. Algortmo AG/hpercubo de localzação Conforme menconado, em Iannon e Morabto (2006a) fo proposta uma abordagem ntegrando o modelo hpercubo com um algortmo genétco, para otmzar o dmensonamento dos átomos do sstema (dstrctng problem) em termos das prncpas meddas de desempenho, preservando a localzação orgnal das ambulâncas. A segur modfcamos este algortmo AG/hpercubo de dmensonamento para localzar ambulâncas ao longo da rodova (locaton problem), aqu chamado de algortmo AG/hpercubo de localzação. Ao nvés de 8
9 consderar apenas um conjunto dscreto de possíves locas para posconar as ambulâncas, supomos que a localzação delas pode ocorrer em qualquer ponto da rodova. Trata-se de um algortmo smples e de fácl mplementação, que segue a estrutura básca descrta em textos clásscos de algortmos genétcos e populaconas, como Holland (1975), Goldberg (1989) e Mchalewcz (1996). Ao re-localzar as bases de ambulâncas, o algortmo re-dvde a rodova em átomos (ou regões) e re-calcula as taxas de chegada em cada átomo de forma a preservar a dstrbução orgnal da demanda ao longo da rodova. Por smplcdade, o algortmo dvde a dstânca entre duas bases em dos átomos guas (com exceção das extremdades). Em casos como o SAE Centrovas envolvendo mas de uma rodova, algumas extensões são necessáras no algortmo. Por exemplo, o algortmo consdera que há dos trechos lneares (ou um conjunto de trechos lneares): um trecho com n 1 ambulâncas e outro com n 2 ambulâncas. Ele também consdera que as ambulâncas de um trecho podem atender chamadas de outro trecho, como ocorre na prátca. Como o SAE Centrovas consdera múltplo despacho de ambulâncas e há dos tpos de chamadas no sstema (chamadas tpo 1 e tpo 2), ao re-calcular as taxas de chegadas em cada átomo, o algortmo consdera as duas taxas de chamadas em cada átomo. Além dsso, ao re-calcular as dstâncas entre as bases de ambulâncas ao centróde de cada átomo e as lstas de preferênca de despacho de cada átomo, o algortmo consdera que as ambulâncas de um trecho podem vajar a outro trecho. A segur, descrevemos brevemente os prncpas componentes consderados na mplementação do algortmo AG/hpercubo de localzação. 4.1 Geração e representação dos cromossomos O algortmo utlza uma representação decmal dos cromossomos. Por meo desta representação, cada cromossomo é representado pelo vetor y = (y 1, y 2,, y N ), onde y é referente à proporção do trecho analsado, sendo que y <,... < 1 y2 yn. Ele utlza um procedmento para gerar aleatoramente a população ncal, admtndo que 0 y 1. Para gerar possíves confgurações do sstema, este procedmento smplesmente adcona ncrementos k, para cada localzação, onde é fxo e k é um ntero sorteado aleatoramente dentro do ntervalo [0, M = 1/]. Portanto, há M+1 valores possíves para cada y. O mesmo vetor dscreto fo utlzado no processo de substtução dos genes no operador de mutação. Por exemplo, consderando o prmero estudo de caso da Fgura 1, se o trecho total da rodova é D = 100 km e o cromossomo y for gerado da forma descrta acma (.e. sendo = 0,01 e se os 9
10 valores sorteados aleatoramente para k no ntervalo [0, M = 100] são (10; 25; 40; 60;75;90)), então y = (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6 ) = (0,10; 0,25; 0,40; 0,60; 0,75; 0,90), e a confguração do sstema pode ser representada pela Fgura 3 abaxo: base km 10 km 25 km 40 km 60 km 75 km 90 km 100 km átomo Fgura 3 Localzação das ambulâncas de acordo com o vetor y do exemplo. Introduzmos também uma restrção na geração de novos cromossomos relaconada à dstânca mínma entre as bases. Assm, o algortmo leva em consderação a condção adconal de que a dstânca mínma entre as bases deve ser d mn, dependendo das característcas de operação do sstema analsado. Sendo o tamanho total do trecho analsado D, então: y. Por exemplo, se d mn = 20 km, cada confguração gerada deve d mn y 1 D satsfazer a condção de que dstânca mínma entre as bases adjacentes 1 e seja de pelo menos 20 km. No caso do SAE Centrovas, é necessáro consderar o parâmetro d mn para cada trecho e o cromossomo y é dvddo em partes (cada parte representando um trecho). Por exemplo, = y... y, y... y ), onde n 1 é o número de ambulâncas no trecho 1 e n 2 é o y + ( 1, n1 n1 + 1 n1 n 2 número de ambulâncas no trecho Avalação e função de aptdão (ftness) e seleção de cromossomos, crossover e mutação. O algortmo utlza os modelos hpercubos 1 e 2 da seção 3 para avalação das meddas de desempenho de cada confguração (representada por um cromossomo). Smlarmente ao estudo em Iannon e Morabto (2006a), analsamos separadamente três funções ftness representando três dferentes objetvos: o prmero objetvo é mnmzar o tempo médo de resposta no sstema: mn f ( y) = T ( y) ; o segundo objetvo é mnmzar o desbalanceamento das cargas de trabalho dos servdores: mn f ( y) = σ ( y) ; o tercero objetvo é mnmzar a fração de chamadas atenddas em mas de 10 mnutos: mn ( y ) = P 10( y ). As expressões que calculam estas meddas foram apresentadas na seção 3.2. f t > 10
11 De forma smlar ao algortmo AG/Hpercubo de dmensonamento, a seleção de cromossomos pas é baseada no método da roleta de probabldades (Goldberg, 1989; Mchalewcz, 1996). Após a escolha de um par de cromossomos pas, aplcamos com probabldade p c o conhecdo crossover de um ponto (e com probabldade 1- p c o par seleconado é preservado na próxma população). O procedmento de mutação é aplcado a cada gene do cromossomo com uma probabldade p m. Para substtur aleatoramente o gene, utlzou-se o mesmo procedmento dscreto de geração da população ncal descrto acma. Por exemplo, para cada y (com probabldade p m ) este valor é alterado para y = k, onde k é unformemente sorteado no ntervalo [0,...,M]. Devdo à restrção de dstânca mínma entre as bases, o crossover e mutação podem gerar cromossomos nváldos. Assm sendo, substtuímos um cromossomo pa por um cromossomo flho y somente se este flho y for vável, sto é, se satsfzer y no mesmo trecho lnear. d mn y 1 D Para uma escolha adequada dos prncpas parâmetros do algortmo, tas como probabldades de crossover (p c ) e mutação (p m ), número de gerações (G) e tamanho da população (Pop), realzamos ncalmente testes computaconas extensvos com dferentes combnações de valores dentro de ntervalos. Os melhores resultados foram obtdos com: p c = 0,7, p m = 0,1, G = 1000 gerações e P op = 200 ndvíduos. Os ntervalos = 0,03 e = 0,01 (.e., M = 33 e M = 100, respectvamente) foram testados para cada uma das três funções de aptdão. Um parâmetro adconal corresponde à dstânca mínma entre as bases forma, foram realzados dferentes expermentos para d mn. Desta d mn = 20 km e d mn = 30 km, respectvamente. Por exemplo, na confguração orgnal do SAE Anjos do Asfalto, a menor dstânca entre as bases é de 21 km. Város estudos, como Jaszkewcz (2002) e Arroyo e Armentano (2005), têm ressaltado a superordade dos algortmos genétcos híbrdos, os quas ncluem um procedmento de busca local para melhorar as soluções geradas após o crossover e a mutação. Esta alternatva não fo consderada no presente algortmo, dado que o processo de avalação de soluções, baseado na solução de sstemas lneares de O(2 N ) equações do modelo hpercubo, se tornara computaconalmente custoso. A Fgura 4 apresenta o esquema geral do algortmo AG/hpercubo de localzação. 11
12 1.Gerar a população ncal com P op ndvíduos 2. Aplcar o modelo hpercubo, para avalar cada ndvduo da população N de gerações < G 3. Seleconar cromossomos 4. Aplcar crossover com prob. p c, mutação com prob. p m e verfcar se a restrção de dstanca mínma é satsfeta. Caso satsfaça a restrção, substtur cromossomos pas pelos flhos. 5. Aplcar o modelo hpercubo (modelo 1 ou 2) para avalar a nova população. 6. Atualzar a melhor solução gerada até o momento e obter a melhor solução da geração atual Fgura 4 Passos do algortmo AG/hpercubo de localzação de ambulâncas 4.3 Geração de curvas de trade-off Algumas meddas de desempenho podem ser confltantes em termos dos dferentes nteresses das partes envolvdas na operação dos SAEs. Por exemplo, o tempo médo de resposta numa regão é uma medda de desempenho externa do sstema, que nteressa prncpalmente ao usuáro do sstema. Por outro lado, o balanço das cargas de trabalho dos servdores é uma medda de desempenho nterna do sstema, que nteressa partcularmente aos operadores do sstema. Smlarmente ao estudo em Iannon e Morabto (2006a), utlzamos o conceto de domnânca de soluções (chamado domnânca de Pareto) para analsar a relação entre estes objetvos confltantes. Um smples método de gerar soluções ótmas de Pareto é o método ε restrto (Cohon, 1978; Arroyo e Armentano, 2005). Este consste em otmzar um objetvo, enquanto os demas objetvos são lmtados por um valor ε. Por exemplo, 12
13 consderando os objetvos: mn f 1 ( y) = T ( y) e mn f 2 ( y) = σ ( y), temos a função objetvo: mn Z = ( f 1( y ), f ( y) ) = ( T (y), ) 2 σ (y ). Utlzando o método ε -restrto para mnmzar o tempo médo de vagem no sstema, e consderando o desvo padrão das cargas de trabalho como uma restrção, o problema pode ser formulado como: Mn Z = f ( y) = T ( ) s.a 1 y f ( y) = ( ) ε 2 σ y * y Y onde ε corresponde ao valor do lmte superor de σ. Para resolver este problema, o algortmo AG/hpercubo de localzação fo modfcado da segunte forma: durante uma smples rodada, varamos os valores de ε, e para cada valor o algortmo procura as melhores soluções durante um conjunto de G = 1000 gerações. A cada G gerações, o algortmo carrega (guarda na memóra) as melhores soluções encontradas durante a busca atual e as anterores para as próxmas G gerações. Para sso, o algortmo verfca se na busca atual ocorreu melhora nos melhores valores da função objetvo T encontrados até o momento para cada valor de σ, e atualza estes valores e os guarda para o próxmo conjunto de G gerações em uma tabela vrtual. Além dsso, modfcações adconas são fetas durante o processo de geração da população ncal e no procedmento de geração de cromossomos por meo de crossover e mutação, para garantr que sejam gerados apenas cromossomos váves para o problema. Por exemplo, após o procedmento de crossover e mutação, substtuímos um cromossomo pa por um cromossomo flho y somente se este flho for vável, sto é, se satsfzer σ (y) ε. Note que para verfcar sso, precsamos aplcar o modelo hpercubo para avalar cada flho y. Após varar todos os dferentes valores de ε, o algortmo obtém uma curva aproxmada de trade-off entre T e σ (ou seja, as funções não-domnadas encontradas durante toda a rodada consderando os possíves valores de ε ). 5. Algortmo AG/hpercubo de localzação e dmensonamento A segur estendemos o algortmo AG/hpercubo de localzação da seção 4 para consderar as duas decsões: () localzar as ambulâncas; () determnar suas áreas de cobertura (tamanho dos átomos do sstema). O algortmo AG/hpercubo de localzação e dmensonamento possu bascamente dos passos. No passo 1, o algortmo otmza a localzação das bases de ambulâncas aplcando o algortmo AG/hpercubo de localzação descrto na seção 4. Em seguda, partndo da solução do passo 1, o algortmo otmza o 13
14 dmensonamento dos tamanhos dos átomos desta solução aplcando o algortmo AG/hpercubo de dmensonamento ( passo 2) descrto em Iannon e Morabto (2006a). No passo 2, consderamos a localzação ncal da melhor solução encontrada no passo 1 (lembre-se que nas soluções do passo 1, a dstânca entre duas bases adjacentes é dvdda em dos átomos guas), e aplcamos um procedmento que modfca o tamanho dos átomos de forma a gerar dferentes confgurações para o sstema. Cada cromossomo do sstema pode ser representado por um vetor x = (x 1, x 2,, x N 1 ), onde cada x é a proporção da dstânca entre duas ambulâncas adjacentes e +1, que determna o tamanho do átomo preferencal da ambulânca. Se a dstânca entre estas duas bases é d, o tamanho do átomo preferencal para a ambulânca é x d. A dstânca resdual torna-se o átomo preferencal da base +1 (.e., d x d ). Conforme sugerdo pelos gerentes e operadores do sstema, admtmos que 0,2 x 0,8. O cromossomo x é gerado por um procedmento smlar ao utlzado no passo 1 para o cromossomo y. Neste procedmento, adconamos 0,2 (o lmte nferor do ntervalo) a um ncremento k, onde é fxo e k é um ntero sorteado aleatoramente dentro do ntervalo [0, M = (0,8-0,2)/]. Após determnar o novo tamanho dos átomos do sstema, aplcamos um procedmento para recalcular as taxas de chegada em cada átomo de forma a preservar a dstrbução de demanda ao longo da rodova. Os demas passos do algortmo AG/hpercubo de dmensonamento, tas como gerar possíves confgurações do sstema, avalação da ftness, seleção de cromossomos, crossover e mutação, são smlares aos descrtos para o algortmo AG/hpercubo de localzação. Note que dos algortmos genétcos (localzação e dmensonamento) são aplcados seqüencalmente, um em cada passo da abordagem. Alternatvamente, poder-se-a também aplcar o algortmo genétco de dmensonamento (passo 2) para cada solução (ndvíduo gerado) no algortmo genétco de localzação (passo 1). No entanto, esta alternatva tornara a abordagem muto custosa em termos dos tempos computaconas, como se pode verfcar pelos resultados da seção 6 adante. Para uma escolha adequada dos parâmetros dos dos algortmos genétcos envolvdos, tas como probabldades de crossover (pc 1 e pc 2 ) e mutação (pm 1 e pm 2 ), número de gerações (G 1 e G 2 ), tamanho da população (Pop 1 e Pop 2 ) e precsão 1 e 2, testes computaconas extensvos foram realzados com dferentes combnações de valores dentro de ntervalos. Os melhores resultados foram obtdos com: pc 1 = 0,7 e pc 2 = 0,5; pm 1 = 0,1 e pm 2 = 0,06; G 1 = 1000 e G 2 =
15 Também nvestgamos uma pequena modfcação do algortmo acma, em que no passo 1, ao nvés do algortmo AG/hpercubo de localzação guardar apenas a melhor solução (do ponto de vsta de localzação), ele guarda as nc melhores soluções, e no passo 2, o algortmo AG/hpercubo de dmensonamento é aplcado para cada uma destas nc confgurações do passo 1, retornando a melhor solução obtda (do ponto de vsta de localzação e dmensonamento). Note que, desta forma, a versão anteror do algortmo pode ser vsta como o caso partcular desta em que nc = Resultados computaconas Os algortmos AG/hpercubo de localzação (seção 4) e AG/hpercubo de localzação e dmensonamento (seção 5) foram mplementados em lnguagem Pascal e executados em um mcrocomputador Athlon 1.66 GHz. 6.1 Resultados do algortmo AG/hpercubo de localzação Resultados para o SAE Anjos do Asfalto: a confguração orgnal do sstema Anjos do Asfalto, com base nos dados reportados por Mendonça e Morabto (2001), é representada pelo cromossomo y = (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6 ) = (0,0; 0,2192; 0,3315; 0,4973; 0,7807; 1,0). O trecho todo tem uma extensão de 187 km. As meddas de desempenho desta confguração são: T = 7,912 mnutos, σ = 0,0551 e P t > 10 = 0,299 (conforme em Iannon e Morabto, 2006a). Para verfcar a qualdade das soluções produzdas pelo algortmo AG/hpercubo de localzação, desenvolvemos um smples algortmo enumeratvo que ncorpora o modelo hpercubo. Este procedmento exaustvo determna a confguração ótma em termos da localzação das bases (sob uma precsão de ), testando todas as confgurações possíves para o sstema (consderando também a restrção da dstânca mínma d mn ). Note que este algortmo enumeratvo é tratável computaconalmente somente para problemas de tamanho pequeno, como o SAE Anjos do Asfalto que tem apenas N = 6 ambulâncas, e consderando uma precsão de = 0,01. Incalmente realzamos expermentos otmzando separadamente as seguntes funções de aptdão dscutdas na seção 4.2: mn f ( y) = T ( y) ; mn f ( y) = σ ( y) ou mn f ( y ) = P 10( y t> ). Os correspondentes valores ótmos de T (y), σ (y) e P 10( y t> ) obtdos pelos algortmos AG/hpercubo e enumeratvo em cada expermento são apresentados na Tabela 1 (valores em negrto, onde AG é o algortmo genétco e AE é o algortmo enumeratvo). Estes resultados são também comparados com a confguração do sstema 15
16 orgnal. Os parâmetros adconas utlzados para obter os resultados são: = 0,01 e 20km. d mn = Tabela 1 Resultados do algortmo AG/hpercubo de localzação para as três funções ftness Sstema Objetvo Melhora Objetvo Melhora Objetvo Melhora Medda orgnal mn T ( y) mnσ ( y) mn 10 ( y) T (y) 7,912 AG AE σ ( y) 0,0551 AG AE P t > 10 ( y) 0,299 AG AE 6,231 6,231 0,0507 0,0507 0,166 0,166 21,25% 7,703 7,344 7,98% 0,0218 0, ,48% 0,268 0,271 P t > 2,64% 6,402 6,402 60,44% 0,0480 0, ,36% 0,147 0,147 19,08% 12,88% 50,84% Note na Tabela 1 que, nos três expermentos, as meddas T, σ e t> 10 P são todos melhoradas quando comparadas com a confguração orgnal do sstema. Estas meddas também são melhoradas quando comparadas com as soluções obtdas pelo algortmo AG/hpercubo de dmensonamento apresentado em Iannon e Morabto (2006a), que otmza as áreas de cobertura das ambulâncas na localzação orgnal do sstema (.e., apenas varando o tamanho dos átomos). Por exemplo, quando o objetvo é mnmzar o tempo médo de vagem T, o algortmo AG/hpercubo de localzação resulta em 6,2311 mnutos (Tabela 1), enquanto que o AG/hpercubo de dmensonamento em Iannon e Morabto (2006a) resulta em 7,778 mnutos (smlarmente para as demas meddas da Tabela 1). O algortmo AG/hpercubo de localzação encontra a mesma solução do algortmo enumeratvo para o prmero e tercero expermentos (Tabela 1). Note que no prmero expermento, T (sendo mnmzado) é reduzdo em 21,25%, e no tercero expermento, P t> ( ) (sendo mnmzado) é reduzdo em 50,84%. No segundo expermento, o algortmo 10 x AG/hpercubo encontra uma solução muto próxma da do algortmo enumeratvo (0,0218 e 0,0216, respectvamente). Com relação aos tempos computaconas, o algortmo AG/hpercubo consome em méda 650 segundos (10,8 mnutos), enquanto que o algortmo enumeratvo consome mas de 11 horas para testar todas as possbldades (ambos usando = 0,01 e d mn = 20km). A confguração (com 12 átomos) que mnmza o tempo médo de resposta no sstema ( mn f ( y) = T ( y) ) é representada pelo cromossomo y = (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6 ) = (0,07; 0,23; 0,37; 0,56; 0,74; 0,88). Smulação da confguração que mnmza o tempo médo de vagem: para valdar as meddas de desempenho desta confguração ótma, construímos um modelo de smulação 16
17 dscreta do sstema Anjos do Asfalto utlzando o software Arena. O procedmento utlzado para calcular a fase transente e o tamanho da smulação é o mesmo descrto em Iannon e Morabto (2006b). A Tabela 2 apresenta os resultados para o tempo de vagem de trabalho TU e a carga de cada ambulânca do sstema. Estes resultados são valdados por meo da análse do ntervalo de confança (nível de sgnfcânca α = 0, 05); note que todos os valores produzdos pelo modelo hpercubo estão dentro dos respectvos ntervalos. Em partcular, o tempo médo de vagem no sstema calculado pela smulação é de T = 6,3058 mn (Interv. conf. 6,1867 6,4248), enquanto que o resultado obtdo pelo modelo hpercubo na Tabela 1 é T = 6,2311 mn. Tabela 2 Tempo de vagem (mnutos) e carga de trabalho de cada servdor Servdor Modelo 1 hpercubo smulação (Interv. conf) 2 hpercubo smulação (Interv. conf) 3 hpercubo smulação (Interv. conf) 4 hpercubo smulação (Interv. conf) 5 hpercubo smulação (Interv. conf) 6 hpercubo smulação (Interv. conf) TU 4,680 4,687 4,517 4,857 6, ,753 7,064 7, ,501 5, , ,413 7,653 7,245 8,060 5,796 5,812 5,644 5,980 0,148 0,152 0,145 0,166 0,206 0,214 0,198 0,229 0,164 0,162 0,148 0,176 0,295 0,299 0,280 0,318 0,147 0,144 0,134 0,154 0,191 0,199 0,183 0,215 Curva de trade-off: a Fgura 5 mostra o gráfco das soluções efcentes obtdas com a aplcação do algortmo AG/hpercubo de localzação modfcado para soluconar o problema bobjetvo (objetvo mn f 1 ( y) = T ( y) e restrção σ (y) ), para dferentes valores de ε varando de 0,026 a 0,055 (usando = 0,01). Varando os valores da restrção σ para atualzar os valores de T em cada conjunto de gerações, obtemos os valores fnas para as soluções efcentes mostrados na Fgura 5. 17
18 7,60 T Tempo médo de vagem no sstema (mn) 7,40 7,20 7,00 6,80 6,60 6,40 6,20 σ 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 Desvo padrao das cargas de trabalho Fgura 5 Curva de trade-off entre T e σ obtda pelo algortmo AG/hpercubo de localzação Resultados para o SAE Centrovas: conforme Iannon e Morabto (2006c), a confguração orgnal do sstema é representada pelo cromossomo y = (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5 ) = (0,135; 0,622; 0,368; 0,750; 0,924), onde n 1 = 2 e n 2 = 3 (5 ambulâncas no total). O trecho 1 tem 74 km e o trecho 2 tem 144km. Os operadores do sstema consderam duas possíves confgurações para o sstema em termos da dvsão das áreas de nfluênca de cada ambulânca (tamanho dos átomos do sstema); veja Fguras 6 e 7. A prmera delas é analsada em Iannon e Morabto (2006c), onde se aplcou o algortmo hpercubo múltplo despacho para analsar as meddas de desempenho. Note na Fgura 6 que, nesta confguração, há 8 átomos no sstema (2 átomos no trecho 1 e 6 átomos no trecho 2, com 2 átomos entre o ponto de cruzamento e a ambulânca 3). Na segunda confguração há 10 átomos no sstema (a dstânca entre duas bases adjacentes é dvdda em dos átomos guas, com exceção das extremdades). Neste caso há apenas 1 átomo entre o ponto de cruzamento e a ambulânca 3, e o trecho 1 possu 4 átomos e o trecho 2 possu 6 átomos (veja Fgura 7). Consderando que a prmera confguração é muto específca para este estudo de caso, e que esta segunda confguração é mas smples e smlar ao prmero estudo de caso, no presente estudo aplcamos os algortmos apenas para esta segunda confguração. Ao aplcar o modelo hpercubo múltplo despacho nesta segunda confguração ncal, obtemos as seguntes meddas de desempenho: T = 7,1530 mnutos, σ = 0,0151 e t> 10 P = 0,
19 atomo base Fgura 6 Confguração ncal 1 do SAE Centrovas 2 atomo base 3 4 Fgura 7 Confguração ncal 2 do SAE Centrovas 74 Para verfcar a qualdade das soluções produzdas pelo algortmo AG/hpercubo de localzação, também aplcamos o algortmo enumeratvo, no entanto, este não fo capaz de testar todas as possbldades em menos de 24 horas de tempos de execução (com os mesmos parâmetros anterores = 0,01 e d mn = 20km.). Isso se deve ao fato que, para o SAE Centrovas, o número de combnações possíves é muto maor que para o SAE Anjos do Asfalto, pos o trecho é bem maor. Assm, apenas os valores de T (y), σ (y) e ( ) P t> 10 y obtdos pelo algortmo AG/hpercubo em cada expermento são apresentados na Tabela 3. O algortmo consumu em méda 183 segundos para encontrar estes resultados. Aplcando-se o algortmo enumeratvo para uma precsão menor = 0,03, obtém-se em cada expermento T (y) = 4,5182 mnutos, σ (y) = 0,01019 e P t> ( ) = 0,1492, respectvamente, dos deles pores e o outro muto próxmo dos valores (em negrto) das soluções da Tabela 3, atestando a qualdade das soluções do algortmo AG/hpercubo. 10 y Tabela 3 Resultados do algortmo AG/hpercubo de localzação para as três funções ftness Sstema Objetvo Melhora Objetvo Melhora Objetvo Melhora Medda orgnal mnt ( x) mnσ ( x) mn 10 ( x ) T (y) 7,1530 AG 4, ,92% 9, ,32% 6,497 9,17% σ ( y) 0,0151 AG 0, ,6% 0, ,38% 0, ,21% P t> ( ) 0,228 AG 0,205 10,13% 0, ,7% 0,143 37,28% 10 y P t> 19
20 Note na Tabela 3 que, nos três expermentos, T, σ e t> 10 P são todos melhorados quando comparados com a confguração orgnal do sstema. No prmero expermento, T (sendo mnmzado) é reduzdo em 36,92%, enquanto que σ aumenta sgnfcantemente em 108,6%. Smlarmente, no segundo expermento, σ (sendo mnmzado) é reduzdo em 32,38%, enquanto que T e P t > 10 aumentam em 33,32% e 101,7%, respectvamente, e no tercero expermento, P t> 10 (sendo mnmzado) é reduzdo em 37,28%, enquanto que σ aumenta em 17,21% e T dmnu em 9,17%. Note como estas dferentes meddas de desempenho são confltantes entre s, pos ao melhorar uma medda, poramos outra. Por exemplo, ao mnmzar T porarmos sgnfcantemente o valor de σ. Por exemplo, a confguração que mnmza o tempo médo de resposta no sstema ( mn f ( y) = T ( y) ) da Tabela 3 é representada pelo cromossomo y = (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5 ) = (0,59;0,87;0,0;0,55;0,87). Note que nesta confguração y 3 = 0.0 (a ambulânca 3 está localzada no níco do trecho 2), porém não há dvsão de átomos entre as ambulâncas 1 e 3, e a dvsão ocorre entre as ambulâncas 1 (km 43,7) e 2 (km 64,4). Smulação da confguração que mnmza o tempo médo de vagem: smlarmente ao estudo de caso anteror, avalamos a solução ótma desta confguração por meo de smulação. Como dscutdo em Iannon e Morabto (2006c), a hpótese de que a dstrbuções do tempo médo de servço é exponencal é rejetada para todos os servdores do sstema. Desta forma, realzamos análses estatístcas para determnar qual a melhor dstrbução que se ajusta aos dados por meo do software Best-Ft para o modelo de smulação. Foram encontradas as seguntes dstrbuções para o tempo de servço em cada servdor (que na smulação não nclu o tempo de vagem ao local da chamada): ambulânca 1 - Lognormal (41,10; 57,24); ambulânca 2 - Erlang (16,51; 3); ambulânca 3 Lognormal (69,46; 66,59); ambulânca 4 - Erlang (9,59; 5) e ambulânca 5 Lognormal (49,51; 39,13). Os resultados para o tempo médo de vagem para chamadas tpo 1 e a carga de trabalho para cada servdor obtdos va smulação e o ntervalo com 95% de confança de cada resultado são apresentados na Tabela 4. Note que todos os valores produzdos pelo modelo hpercubo estão dentro dos respectvos ntervalos. Em partcular, o tempo médo de vagem no sstema calculado pela smulação é de T = 4,5604 mn (Interv. conf. 4,4663 4,6545), enquanto que o resultado obtdo pelo modelo hpercubo na Tabela 3 é T = 4,5117 mn. 20
Francisco de Assis Corrêa Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE São José dos Campos SP, Brasil fcorrea@directnet.com.br
APLICAÇÃO DE RELAXAÇÃO LAGRANGEANA E DO ALGORITMO GENÉTICO CONSTRUTIVO NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA PROBABILÍSTICO DE LOCALIZAÇÃO- ALOCAÇÃO DE MÁXIMA COBERTURA Francsco de Asss Corrêa Insttuto Naconal de Pesqusas