Equações da reta e simetria
EQUAÇÕES DA RETA E ELEMENTOS DE SIMETRIA
Última Atualização 05/ 04/ 2005
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Este aplicativo permite executar uma seleção de operações de simetria sobre uma reta dada num sistema cartesiano bidimensional mediante um clique sobre qualquer um dos 7 botões contados de cima para baixo localizados no lado direito da figura. Os agentes que produzem as operações de simetria denominam-se elementos de simetria ou operadores, descritos na tabela 1.
Tabela 1. Descrição e orientação do conjunto selecionado de operadores de simetria.
Símbolo Descrição Orientação; contém a origem e:
m plano de reflexão perpendicular a x
m plano de reflexão perpendicular a y
2 eixo binário perpendicular ao plano xy
3 eixo ternário perpendicular ao plano xy
4 eixo quaternário perpendicular ao plano xy
6 eixo senário perpendicular ao plano xy
2m eixo binário contido no
plano de reflexão m eixo 2 perpendicular ao plano xy
e m perpendicular a x ou a y
Um clique próximo à reta original (em azul) mostrará a sua a equação geral, as coordenadas dos pontos das extremidades do segmento da reta e a sua equação reduzida (também em azul).
Cliques repetidos sobre os botões 3 ou 4ou 6 ou 2m produzirão as retas do conjunto resposta geradas pelo respectivo elemento de simetria. Os eixos de rotação 2, 3, 4 e 6 são operadores cíclicos, isto é, operam até completar o ciclo de 2p radianos, geram de 1 a 5 pontos equivalentes para cada ponto inicialmente considerado, conforme explicado aqui. O símbolo 2m representa um grupo de dois elementos de simetria, conforme apresentado na tabela 1.
Pontos equivalentes
As coordenadas dos pontos equivalentes ou resultantes após submeter um ponto inicial dado pelas suas coordenadas a um determinado elemento de simetria estão organizadas na tabela 2. A orientação dos elementos de simetria na tabela 2 é dada na tabela 1.
Tabela 2. Equações analíticas das coordenadas dos pontos equivalentes.
Elemento de simetria Ponto inicial Ponto equivalente
m [ x ; y] [ (-x) ; y]
m [ x ; y] [x ; (-y)]
eixo, a = p, p/2, 3p/2, 2p/3, 4p/3, p/3,... [ x ; y] [(y.sena + x.cosa) ; (y.cosa - x.sena)]
Escolheu-se a opção de rotação em sentido horário para os eixos na tabela 2.
1) Aplicar a equação de simetria analítica que caracteriza cada operador às coordenadas dos pontos extremos do segmento original em azul e calcular o conjunto completo das coordenadas dos pontos das extremidades de cada segmento de reta do respectivo conjunto resposta.
2) Obter para cada caso do exercício anterior a equação geral da reta e a equação reduzida da reta.
3) Porque cada um dos operadores m, m, e 2 numa dada orientação produz apenas um ponto equivalente quando aplicados à reta original?
4) Compare a inclinação de retas perpendiculares. Retas perpendiculares aparecem devido à ação de quais elementos de simetria?
5) Compare a inclinação de retas paralelas. Retas paralelas aparecem devido à ação de quais elementos de simetria?
6) O que se pode observar a respeito da comparação do termo independente de x e de y da equação geral da reta e da equação reduzida da reta para a reta original e a obtida pelo operador 2?
7) Qual a explicação para o fato da reta original e daquela obtida por m se interceptarem sobre o eixo y?
8) A equação da reta obtida pela aplicação do operador 2 sobre a reta original pode ser idêntica à equação de reta obtida por outros operadores ou agrupamento de operadores selecionados neste estudo? Quais são eles?
9) Qual a condição para que o resultado da aplicação do elemento de simetria 2 sobre a reta original coincida com a própria reta original?
10) Qual a informação interessante que se obtém ao calcular o ângulo relacionado à inclinação da reta obtida pela aplicação de um eixo de rotação em etapas sucessivas a partir de uma reta original?
11) Como se pode explicar que coordenadas de pontos de extremidades de segmentos de retas obtidas por alguns elementos de simetria são sempre números inteiros e quando obtidas por outros elementos de simetria podem ser não inteiros?
12) Seria verdadeiro ou falso considerar que o símbolo 2m pode significar igualmente 2mm, isto é, um eixo binário contido na interseção de um plano de reflexão perpendicular a um outro plano de reflexão?